Равномерное движение по окружности

Запусти камень на нити, машину в повороте или карусель и посмотри, почему вращающееся тело всё время ускоряется к центру, хотя его скорость не меняется. Перережь нить — и тело улетит по прямой. Тени на осях, графики и числа на табло помогут сверить всё с формулами из учебника.

Суть явления за 30 секунд

Скорость — это стрелка

Тело идёт по кругу с одним и тем же модулем скорости, но стрелка скорости всё время поворачивается: она всегда лежит по касательной к кругу.

Поворот стрелки — это ускорение

Ускорением называют любое изменение скорости — и по величине, и по направлению. Здесь скорость только поворачивается, а ускорение смотрит к центру: a = v²/R. Включи «Откуда берётся a_ц» — и увидишь это на рисунке.

К центру тянет сила

Чтобы тело поворачивало, на него должна действовать сила к центру: нить, трение шин, сиденье карусели. Убери её — и тело поедет по прямой, а не «вылетит наружу».

Что попробовать

Нажми красную кнопку под «Запустить» — сила к центру исчезнет. Куда полетит тело? Затем верни силу.
Нажми «v × 2». Во сколько раз изменилось ускорение? А после «R × 2»?
Подвигай ползунок R при той же v: радиус на рисунке не меняется, а ускорение и стрелки — да. Как они зависят от R?
Выбери «Машина», поставь «Лёд» и разгоняй машину: при какой скорости её занесёт?

Графики: что меняется, а что нет

Точка на каждой кривой движется вместе с телом. Координаты и проекции скорости колеблются, а модуль v остаётся постоянным. Нижние графики показывают, как a_ц зависит от v и от R.

Что вращается

R радиус 1,5 м

задать через v задать через T

v скорость 4,00 м/с

T период 2,36 с

m масса 0,5 кг

F_max прочность нити 30 Н

Что будет, если…

Замедление / ускорение показа

Тяни влево — всё замедлится (физика не меняется). Двойной щелчок — вернуть 1×

1×

0,05×1×4×

Показать

Векторы v и a_ц

Силу F_ц

Откуда берётся a_ц (Δv)

Тени на осях x и y

Угол θ

След

Испытание

Рисунок подгоняется под размер сцены, а числа в панели точные — они считаются по формулам.

Коротко о главном: при равномерном движении по окружности скорость не меняется по величине, но меняется по направлению, а значит, есть ускорение a_ц = v²/R, направленное к центру. Пример: R = 2 м, v = 3 м/с — период T = 2πR/v ≈ 4,19 с, ускорение a_ц = 4,5 м/с², а при m = 1 кг сила F_ц = 4,5 Н. Выбери «Камень» и «задать через v», поставь эти числа и проверь на табло.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Центростремительное ускорение

$$a_ц = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$$

Ускорение тела при равномерном движении по окружности: всегда направлено к центру и перпендикулярно скорости

▶ Подробное объяснение

Скорость при вращении меняет только направление, но любое изменение скорости — это ускорение, и оно направлено к центру окружности: a_ц = v²/R = ω²R. Модуль ускорения постоянен — на табло a_ц не меняется со временем, поворачивается только стрелка. Чем меньше радиус и больше скорость, тем ускорение больше: при v = 3 м/с и R = 2 м оно равно 4,5 м/с² — почти вдвое меньше g, а при v = 10 м/с и R = 2 м уже 50 м/с², то есть примерно 5g.

Период, частота и угловая скорость

$$T = \frac{2\pi R}{v}, \quad f = \frac{1}{T}, \quad \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f, \quad v = \omega R$$

Все связи между v, R, T, f и ω при равномерном движении по окружности

▶ Подробное объяснение

Период T — время одного оборота: тело проходит длину окружности 2πR со скоростью v, поэтому T = 2πR/v. Частота f = 1/T — число оборотов в секунду. Угловая скорость ω = 2π/T = 2πf показывает, на какой угол в радианах тело поворачивается за секунду; линейная скорость v = ωR. В симуляторе переключатель «задать через v / T» пересчитывает вторую величину этими же формулами. Проверь: при R = 2 м и v = 3 м/с получается T ≈ 4,19 с, f ≈ 0,24 Гц, ω = 1,5 рад/с.

Центростремительная сила

$$F_ц = ma_ц = m\frac{v^2}{R} = m\omega^2 R$$

Сила по второму закону Ньютона, которая поворачивает скорость тела на окружности

▶ Подробное объяснение

Центростремительная сила — не новый вид взаимодействия, а результат действия обычных сил: натяжения нити, трения, силы реакции опоры или притяжения. По второму закону Ньютона F_ц = ma_ц = mv²/R: именно эта сила каждое мгновение отклоняет скорость от прямолинейного движения. Задай массу m, и в панели «Измерения» появится F_ц: при v = 3 м/с, R = 2 м и m = 1 кг она равна 4,5 Н. Для спутника на околоземной орбите эту роль играет притяжение Земли — спутник всё время «падает» на Землю, но, двигаясь вбок, каждый раз промахивается. Уберёшь силу — тело поедет по прямой.

Проекции координат при вращении

$$\begin{aligned} x(t) &= R\cos\omega t \\ y(t) &= R\sin\omega t \end{aligned}$$

Проекции равномерного движения по окружности на оси — две синусоиды, сдвинутые по фазе на π/2

▶ Подробное объяснение

Начальное положение выбрано на оси x, поэтому x = R cos ωt, а y = R sin ωt — проекции одного и того же равномерного движения. Обе зависимости — гармонические колебания одной частоты, сдвинутые по фазе на π/2 (четверть периода). Это видно на графиках: синусоиды x(t) и y(t) одинаковы, но вторая отстаёт от первой на T/4. Включи «Тени на осях x и y»: синяя и зелёная точки колеблются, как груз на пружине. Представление вращения через две проекции лежит в основе всей темы колебаний и волн.

Угол поворота и длина дуги

$$\theta = \omega t, \qquad s = R\theta = vt, \qquad N = \frac{t}{T}$$

Как растут угол, пройденный путь и число оборотов при равномерном вращении

▶ Подробное объяснение

Угол поворота θ растёт пропорционально времени: θ = ωt. Он измеряется в радианах: 1 рад — угол, при котором длина дуги равна радиусу, а полный оборот — 2π рад ≈ 6,28 рад (360°). Длина дуги, пройденной телом, s = Rθ; поскольку v = ωR, получается s = vt — то же, что и при равномерном движении по прямой. Число оборотов N = t/T. Пример: при R = 2 м и v = 3 м/с за t = 10 с тело пройдёт s = 30 м, повернётся на θ = 15 рад и сделает N ≈ 2,4 оборота. В симуляторе жёлтый сектор показывает θ, а на табло и в панели «Измерения» видны t, N и s.

Что такое равномерное движение по окружности. Тело движется по окружности радиуса R, и модуль его скорости v не меняется. Скорость — вектор, и у него всё время меняется направление: оно всегда лежит по касательной к окружности, то есть перпендикулярно радиусу. Так движутся конец секундной стрелки, камень на нити, автомобиль на круговом перекрёстке, кабинка карусели, спутник на круговой орбите.

Почему есть ускорение. Ускорением называют любое изменение скорости, в том числе только по направлению. Скорость поворачивается, значит, ускорение есть. Его называют центростремительным: оно направлено к центру окружности, перпендикулярно скорости, поэтому не меняет её величину, а только поворачивает. Модуль: a_ц = v²/R = ω²R = 4π²R/T². Включи в симуляторе пункт «Откуда берётся a_ц (Δv)» — на рисунке видно, что разность двух скоростей Δv = v₂ − v₁ смотрит к центру.

Сила к центру. По второму закону Ньютона для такого ускорения нужна сила F_ц = m·a_ц = mv²/R, направленная к центру. Это не «ещё одна» сила, а результат действия обычных: натяжение нити у камня, трение шин у машины, сила, с которой сиденье и поручень действуют на катающегося, притяжение Земли у спутника. Если эта сила пропадает (нить оборвалась, на дороге лёд), тело не «вылетает наружу», а едет по прямой по касательной с той же скоростью — это закон инерции. Нажми красную кнопку под «Запустить» и убедись.

Период, частота, угловая скорость. Период T — время одного оборота: T = 2πR/v. Частота f = 1/T — число оборотов в секунду. Угловая скорость ω = 2π/T = 2πf показывает, на какой угол (в радианах) поворачивается тело за секунду; полный оборот — это 2π рад ≈ 6,28 рад. Угол растёт равномерно: θ = ωt, путь по дуге s = Rθ = vt, а линейная скорость v = ωR.

Проекции и колебания. Тени тела на осях движутся по законам x = R cos ωt и y = R sin ωt. Это две одинаковые синусоиды, сдвинутые на четверть периода: так равномерное вращение связано с гармоническими колебаниями.

От чего зависит ускорение. Оно растёт как квадрат скорости (вдвое быстрее — в 4 раза больше) и уменьшается с радиусом (вдвое круче поворот — вдвое больше). Нижние графики и кнопки «v × 2», «R × 2» показывают это на опыте. Масса на ускорение не влияет, зато от неё зависит сила F_ц.

Как считает симулятор. Равномерное вращение описывается точной формулой θ = ωt, поэтому в расчётах нет приближений: частота кадров и скорость показа на числа не влияют. Масштаб рисунка подгоняется под размер сцены, а числа в панели точные. Занос машины определяется условием a_ц ≤ μg, нить рвётся при F_ц > F_max; после этого тело едет по прямой с постоянной скоростью (торможение при скольжении не учитывается).