Орбиты и космические скорости: гора Ньютона

Поставь пушку на вершину высокой горы и стреляй горизонтально, каждый раз всё быстрее. Медленное ядро падает рядом с горой, быстрое улетает дальше. Наступает момент, когда поверхность планеты «уходит из-под ядра» так же быстро, как оно падает, — и ядро больше никогда не упадёт. Это первая космическая скорость v₁, ядро летит по окружности. Ещё быстрее — орбита вытягивается в эллипс, а при второй космической скорости v₂ = √2·v₁ тело навсегда улетает от планеты. Пунктир заранее показывает, куда полетит ядро; нажми «Веер Ньютона», чтобы увидеть все случаи сразу, и включи «равные площади», чтобы проверить второй закон Кеплера.

падение на планету окружность (v₀ = v₁) эллипс парабола (v₀ = v₂) гипербола (v₀ > v₂) прогноз траектории →v— скорость →F— сила тяготения (к центру планеты)

Пушка стреляет горизонтально. Сила тяготения всегда направлена к центру планеты и меняет направление скорости; длина стрелки F растёт при приближении к планете как 1/r². Воздуха нет, планета не вращается — как в мысленном опыте Ньютона.

Планета

h высота горы 400

v₀ скорость выстрела 7.30

v₁v₂

Скорость показа

Прогноз траектории (пунктир)

Векторы v и F

Равные площади (2-й закон Кеплера)

Кнопки «= v₁» и «= v₂» ставят точное значение скорости для текущей высоты. Движение считается по точным формулам (уравнение Кеплера), поэтому окружность не «расплывается», а скорость показа не влияет на числа.

v₁ = √(GM/(R+h))

v₂ = √2·v₁

v₀ / v₁

e — эксцентриситет

h перигея

h апогея

a — большая полуось

T — период

E/m = v²/2 − GM/r

T²/a³

Реши задачу, введи ответ и нажми «Проверить» — симулятор сразу покажет этот случай выстрелом.

Графики полёта

Скорость, высота и энергия ядра в зависимости от времени. В перигее скорость наибольшая, в апогее — наименьшая. Кинетическая и потенциальная энергии перетекают друг в друга, а полная E остаётся постоянной: E < 0 — эллипс, E = 0 — парабола, E > 0 — гипербола.

Этот мысленный опыт придумал сам Исаак Ньютон. В книге «О системе мира» (опубликована в 1728 году, уже после его смерти) он нарисовал гору, с которой бросают камень всё сильнее и сильнее: камень падает всё дальше, пока не облетит Землю и не вернётся к вершине. Так Ньютон объяснил, почему Луна не падает на Землю: она тоже всё время «падает», но летит вбок так быстро, что промахивается мимо. Почти через 230 лет рисунок Ньютона стал реальностью. 4 октября 1957 года с Байконура в Казахстане стартовал первый искусственный спутник Земли, а 12 апреля 1961 года оттуда же полетел Юрий Гагарин: его «Восток» облетел планету за 108 минут. В январе 1959 года станция «Луна-1» первой разогналась до второй космической скорости и навсегда ушла от Земли, став искусственной планетой Солнечной системы.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Первая космическая скорость

$$\frac{GMm}{(R+h)^2} = \frac{mv_1^2}{R+h} \;\Rightarrow\; v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}, \qquad v_1\big|_{h=0} = \sqrt{gR}$$

G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг² — гравитационная постоянная; M и R — масса и радиус планеты; h — высота орбиты над поверхностью; g = GM/R² — ускорение свободного падения у поверхности; у поверхности Земли √(gR) ≈ 7,9 км/с

▶ Подробное объяснение

Первая космическая скорость — скорость, с которой тело, запущенное горизонтально, движется вокруг планеты по окружности. Сила тяготения здесь целиком играет роль центростремительной силы: она не меняет модуль скорости, а только поворачивает её. Так получается равномерное движение по окружности радиуса r = R + h.

Для Земли (GM = 3,986·10¹⁴ м³/с², R = 6 371 км) у поверхности v₁ = √(3,986·10¹⁴ / 6,371·10⁶) ≈ 7,91 км/с. На высоте МКС 400 км: v₁ = √(3,986·10¹⁴ / 6,771·10⁶) ≈ 7,67 км/с. Чем выше орбита, тем меньше v₁: спутник на высоте 36 000 км (геостационарная орбита) движется со скоростью всего 3,07 км/с. Масса самого спутника в формулу не входит — с одной высоты лёгкий и тяжёлый спутники летят одинаково.

Вторая космическая скорость

$$\frac{mv_2^2}{2} - \frac{GMm}{R+h} = 0 \;\Rightarrow\; v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R+h}} = \sqrt{2}\,v_1$$

v₂ — наименьшая скорость, с которой тело навсегда уходит от планеты; при v = v₂ траектория — парабола, при v > v₂ — гипербола. У поверхности Земли v₂ ≈ 11,2 км/с

▶ Подробное объяснение

Потенциальная энергия тела в поле планеты Eп = −GMm/r: она отрицательна и стремится к нулю при удалении на бесконечность. Чтобы улететь, телу нужно, чтобы полная энергия была не меньше нуля: mv²/2 − GMm/r ≥ 0. Отсюда v₂ = √(2GM/r).

Направление скорости здесь не важно: с какой бы стороны ни стрелять (лишь бы не в планету), при v ≥ v₂ тело уйдёт. Для Земли у поверхности v₂ ≈ 11,2 км/с, для Луны — 2,38 км/с, для Юпитера — 60 км/с. Если v > v₂, вдали от планеты у тела остаётся скорость v∞ = √(v² − v₂²) — так рассчитывают полёты к другим планетам.

Энергия и форма орбиты

$$E = \frac{mv^2}{2} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2a}; \qquad E<0:\ e<1, \qquad E=0:\ e=1, \qquad E>0:\ e>1$$

a — большая полуось; e — эксцентриситет орбиты: e = 0 — окружность, 0 < e < 1 — эллипс, e = 1 — парабола, e > 1 — гипербола. Полная энергия сохраняется

▶ Подробное объяснение

Пока тело летит, его кинетическая и потенциальная энергии перетекают друг в друга, а сумма не меняется (на графике энергии — горизонтальная линия). Знак этой суммы определяет судьбу тела. При E < 0 оно связано с планетой и движется по эллипсу (окружность — частный случай); при E = 0 — по параболе; при E > 0 — по гиперболе.

Из закона сохранения энергии следует формула скорости на орбите: v² = GM(2/r − 1/a). В перигее r мало — скорость наибольшая, в апогее — наименьшая. Для круговой орбиты r = a и получаем v₁; при a → ∞ получаем v₂.

Второй закон Кеплера (закон площадей)

$$\frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{1}{2}\,r\,v_\perp = \text{const}$$

ΔS — площадь, которую заметает отрезок «центр планеты — спутник» за время Δt; v⊥ — составляющая скорости, перпендикулярная этому отрезку

▶ Подробное объяснение

За малое время Δt спутник смещается на v·Δt, и отрезок от центра планеты заметает тонкий треугольник площадью ½·r·v⊥·Δt. Сила тяготения направлена к центру и не создаёт момента, поэтому момент импульса L = m·r·v⊥ сохраняется — а значит, и скорость заметания площади одинакова в любой точке орбиты.

В симуляторе орбита разбита на 12 равных промежутков времени, сектора окрашены через один. В перигее спутник быстрый и близкий — сектор короткий и широкий, в апогее медленный и далёкий — длинный и узкий. Площади, измеренные по нарисованным секторам, совпадают с ½·r₀·v₀·Δt.

Третий закон Кеплера и период обращения

$$\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM}; \qquad e=0:\quad T = \frac{2\pi (R+h)}{v_1} = 2\pi\sqrt{\frac{(R+h)^3}{GM}}$$

T — период обращения; a — большая полуось орбиты (для круговой орбиты, e = 0, a = R + h)

▶ Подробное объяснение

Квадраты периодов обращения относятся как кубы больших полуосей. Отношение T²/a³ одинаково для всех спутников одной планеты и зависит только от её массы — поэтому, измерив период и радиус орбиты Луны, можно «взвесить» Землю.

Пример: на высоте 400 км (a = 6 771 км) T = 2π·√((6,771·10⁶)³ / 3,986·10¹⁴) ≈ 5 545 с ≈ 92 мин. При скорости 9 км/с с той же высоты a ≈ 10 850 км и T ≈ 3 ч 07 мин: большая полуось выросла в 1,6 раза, период — в 1,6^1,5 ≈ 2 раза.

Почему спутник не падает. На ядро, вылетевшее из пушки, действует только сила тяготения F = GMm/r², направленная к центру планеты (сопротивление воздуха в опыте Ньютона не учитывается). Под её действием ядро всё время падает. Но поверхность планеты круглая: пока ядро пролетает вбок, земля под ним «загибается» вниз. Если скорость достаточно велика, ядро за время падения смещается вбок настолько, что расстояние до поверхности не меняется. Оно падает, но не может упасть — это и есть орбитальное движение. Космонавты на МКС невесомы именно потому, что вместе со станцией непрерывно свободно падают.

Первая космическая скорость. На круговой орбите радиуса r = R + h сила тяготения сообщает телу центростремительное ускорение: GMm/r² = mv²/r. Отсюда v₁ = √(GM/(R+h)). У поверхности Земли (h = 0) это √(gR) ≈ 7,9 км/с, на высоте МКС 400 км — 7,67 км/с, а один оборот занимает около 92 минут. Чем выше орбита, тем меньше нужная скорость и тем больше период. На Луне v₁ всего 1,68 км/с, на Юпитере — 42 км/с.

Скорость меньше v₁. Ядро движется по участку эллипса, у которого точка выстрела — самая дальняя от центра точка (апогей). Если этот эллипс пересекает поверхность, ядро падает: при v = 7,0 км/с с высоты 400 км — через 12,6 минуты, пролетев 5 170 км, а при 7,5 км/с — уже через 28 минут и 12 280 км. Но высоко над планетой можно летать и медленнее v₁: с высоты 2 000 км ядро со скоростью 6,8 км/с (v₁ там 6,90 км/с) не упадёт, а опустится до 1 530 км и вернётся.

Между v₁ и v₂ — эллипс. Теперь точка выстрела — ближайшая к планете (перигей), а орбита вытягивается в эллипс, в одном из фокусов которого находится центр планеты (первый закон Кеплера). При 9 км/с с высоты 400 км спутник поднимается до 8 560 км и возвращается через 3 ч 07 мин. По закону сохранения энергии v²/2 − GM/r = const: удаляясь, тело замедляется, приближаясь — разгоняется.

Вторая космическая скорость. Чтобы улететь навсегда, кинетической энергии должно хватить на преодоление притяжения: mv²/2 ≥ GMm/r, то есть v ≥ v₂ = √(2GM/r) = √2·v₁. У поверхности Земли v₂ ≈ 11,2 км/с. При v = v₂ тело улетает по параболе, а её скорость на бесконечности стремится к нулю. При v > v₂ траектория — гипербола, и вдали от планеты остаётся скорость v∞ = √(v² − v₂²). Удобно смотреть на полную энергию: E < 0 — тело связано с планетой (эллипс), E = 0 — парабола, E > 0 — гипербола.

Законы Кеплера. Включи «равные площади»: отрезок от центра планеты до спутника за равные промежутки времени Δt заметает одинаковые площади (второй закон). Около перигея сектор короткий и широкий, около апогея — длинный и узкий. Это следствие сохранения момента импульса: r·v⊥ = const. Третий закон: T²/a³ = 4π²/GM — одинаково для всех орбит вокруг одной планеты, сравни это число во вкладке «Измерения» для разных выстрелов.

Как считает симулятор. Движение не интегрируется по шагам, а вычисляется точно: по скорости и высоте находятся эксцентриситет и большая полуось орбиты, а положение в момент t — из уравнения Кеплера. Поэтому круговая орбита остаётся идеальной окружностью сколько угодно витков, а время и место падения находятся точно, не «на ближайшем кадре».

Что попробовать. 1) Нажми «v₁» и выстрели — ядро вернётся к горе через период T. 2) Медленно тяни скорость от 7 до 11 км/с и смотри, как пунктир превращается из дуги в окружность, эллипс и параболу. 3) Включи равные площади при 9,5 км/с. 4) Подними гору до 2 000 км и проверь: скорость меньше 7,9 км/с, а ядро не падает. 5) Перенеси опыт на Луну и Юпитер. 6) Во вкладке «Проверь себя» сначала посчитай, потом проверь выстрелом.