Закон Архимеда

Опусти тело на динамометре в сосуд, налитый до носика, и посмотри, как вытесненная жидкость стекает в мерный стакан. На сколько «полегчало» тело — ровно столько весит эта жидкость. А потом перережь нить и узнай, утонет тело, всплывёт или повиснет в толще жидкости.

Высота динамометра (опустить ↔ поднять)

Тело

Плотность тела ρ 2700 кг/м³

Жидкость

Плотность жидкости ρ 1000 кг/м³

Объём тела V 1,0 л

Форма тела

Стрелки сил (P, Fₐ, T, N)

Давление жидкости на тело — откуда берётся Fₐ

Замедленно ×¼

Проверь себя: вопрос + опыт

Сосуд налит до носика: всё, что тело вытесняет, стекает в мерный стакан, а весы показывают вес этой жидкости. g = 9,8 м/с². Стрелки сил нарисованы в одном масштабе.

Что попробовать:
1) Нажми «Опыт с динамометром» и следи за стрелкой: пока тело входит в воду, показания падают, а когда оно целиком под водой — перестают меняться.
2) Сравни число на весах под стаканом с силой Архимеда Fₐ — они равны.
3) Включи «Давление жидкости»: снизу на тело давят сильнее, чем сверху, — эта разница и создаёт Fₐ.
4) Выбери пробку, лёд или сталь, нажми «Отпустить» и проверь правило: тело плавает, если его плотность меньше плотности жидкости.

Смотри также

Сообщающиеся сосудыU-трубка с двумя жидкостями, сосуды разной формы и зонд-манометр: p = ρgh Закон Паскаля: шар ПаскаляЗакон Паскаля: струи бьют во все стороны одинаково, p = F/S + ρgh Гидравлический прессПодними автомобиль рукой и раздави кирпич: F₂/F₁ = S₂/S₁ и «золотое правило»

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Сила Архимеда

$$F_A = \rho_{\text{ж}}\,g\,V_{\text{погр}}$$

Выталкивающая сила равна весу жидкости, вытесненной телом, и направлена вверх. ρ_ж — плотность жидкости (не тела!), V_погр — объём погружённой части тела, g = 9,8 м/с²

▶ Подробное объяснение

Масса вытесненной жидкости m_ж = ρ_ж·V_погр, её вес m_ж·g — это и есть F_A. В формулу не входят ни масса тела, ни его плотность, ни глубина: важны только жидкость и погружённый объём.

Пример: шар объёмом 1 л наполовину погружён в воду. V_погр = 0,5 л = 5·10⁻⁴ м³, F_A = 1000·9,8·5·10⁻⁴ = 4,9 Н. Если тот же шар целиком погрузить в ртуть (13 600 кг/м³), F_A = 13 600·9,8·10⁻³ ≈ 133 Н. В симуляторе это число совпадает с показаниями весов под стаканом, куда стекла вытесненная жидкость.

Откуда берётся сила Архимеда: разность давлений

$$F_A = (p_2 - p_1)\,S = \rho_{\text{ж}}\,g\,(h_2 - h_1)\,S = \rho_{\text{ж}}\,g\,V$$

p₁ = ρ_жgh₁ — давление на верхнюю грань, p₂ = ρ_жgh₂ — на нижнюю, S — площадь грани, (h₂ − h₁)·S = V — объём тела

▶ Подробное объяснение

Жидкость давит на тело со всех сторон, и давление растёт с глубиной. Силы давления на боковые грани равны и направлены навстречу — они уравновешиваются. На нижнюю грань, которая глубже, жидкость давит сильнее, чем на верхнюю. Разность этих сил направлена вверх — это и есть выталкивающая сила.

Пример: куб с ребром a = 10 см целиком в воде, верхняя грань на глубине h₁ = 5 см, нижняя на h₂ = 15 см. p₁ = 1000·9,8·0,05 = 490 Па, p₂ = 1000·9,8·0,15 = 1470 Па, S = 0,01 м². F_A = (1470 − 490)·0,01 = 9,8 Н = ρ_ж·g·V. Опусти куб глубже — оба давления вырастут на одну и ту же величину, а разность не изменится. Поэтому сила Архимеда от глубины не зависит. Включи в симуляторе «Давление жидкости», чтобы увидеть стрелки давления на гранях.

Вес тела в жидкости (показания динамометра)

$$P_1 = P - F_A = (\rho_{\text{т}} - \rho_{\text{ж}})\,g\,V$$

P — вес тела в воздухе, P₁ — показания динамометра, когда тело целиком в жидкости; ρ_т — плотность тела. «Потеря веса» P − P₁ равна силе Архимеда

▶ Подробное объяснение

Так силу Архимеда измеряют на опыте: взвешивают тело в воздухе, потом в жидкости и вычитают. F_A = P − P₁. Масса тела при этом не меняется — меняется сила, с которой оно растягивает пружину.

Пример: алюминиевый кубик объёмом 1 л в воздухе весит P = 2700·9,8·0,001 = 26,5 Н. В воде динамометр показывает P₁ = (2700 − 1000)·9,8·0,001 = 16,7 Н. Значит, F_A = 26,5 − 16,7 = 9,8 Н. Столько весит 1 л воды, вылившийся в стакан. Если тело касается дна, часть веса держит дно, и динамометр показывает меньше, чем P − F_A.

Вес тела

$$P = mg = \rho_{\text{т}}\,g\,V$$

m — масса тела, ρ_т — плотность вещества тела, V — его полный объём. Вес не зависит от того, в какой жидкости тело и насколько оно погружено

▶ Подробное объяснение

Сила тяжести mg действует на тело всегда одна и та же. В жидкости меняется не она, а сила Архимеда — за счёт глубины погружения. Поэтому плавающее тело и находит такое положение, при котором F_A сравнивается с весом.

Пример: брусок объёмом 2 л с плотностью 600 кг/м³ имеет массу m = 600·0,002 = 1,2 кг и вес P = 1,2·9,8 ≈ 11,8 Н. В воде он всплывёт и погрузится на 60 %: тогда V_погр = 1,2 л и F_A = 1000·9,8·0,0012 ≈ 11,8 Н. Стрелки P и F_A в симуляторе станут одинаковой длины.

Плавающее тело: какая часть под водой

$$F_A = P \;\Rightarrow\; \frac{V_{\text{погр}}}{V} = \frac{\rho_{\text{т}}}{\rho_{\text{ж}}}$$

Доля объёма плавающего тела под поверхностью равна отношению плотности тела к плотности жидкости

▶ Подробное объяснение

Плавающее тело в равновесии: F_A = P. Подставим формулы: ρ_ж·g·V_погр = ρ_т·g·V. Ускорение g сокращается, и получается V_погр/V = ρ_т/ρ_ж. Глубина погружения зависит только от отношения плотностей, а не от размера тела: маленький брусок и большая доска из одного дерева погружены на одинаковую долю.

Примеры: пробка (240 кг/м³) в воде погружена на 24 %, лёд (900 кг/м³) — на 90 % (над водой лишь 10 %, отсюда «вершина айсберга»). Дерево (800 кг/м³) в масле (900 кг/м³) погружено на 89 %, сталь (7800 кг/м³) в ртути (13 600 кг/м³) — на 57 %. Равновесие устойчиво: притопи тело — F_A вырастет и вытолкнет его обратно, приподними — F_A уменьшится, и тело опустится. В симуляторе это видно как затухающие покачивания.

Условие плавания тел

$$\frac{V_{\text{погр}}}{V} = \min\left(1,\ \frac{\rho_{\text{т}}}{\rho_{\text{ж}}}\right)$$

ρ_т > ρ_ж — тело тонет; ρ_т = ρ_ж — висит в толще жидкости; ρ_т < ρ_ж — плавает, частично погрузившись

▶ Подробное объяснение

Сравним вес тела P = ρ_т·g·V с наибольшей силой Архимеда, когда тело целиком в жидкости: F_A = ρ_ж·g·V. Если ρ_т > ρ_ж, то даже при полном погружении F_A < P: тело идёт на дно, а дно поддерживает его силой N = P − F_A. Если ρ_т = ρ_ж, при полном погружении F_A = P, и тело остаётся на любой глубине, где его оставили. Так ведут себя рыбы с плавательным пузырём и подводная лодка с заполненными цистернами. Если ρ_т < ρ_ж, тело всплывает и плавает, погрузившись на долю ρ_т/ρ_ж.

Пример: сталь (7800 кг/м³) в воде тонет, а в ртути (13 600 кг/м³) плавает. Свинец (11 300 кг/м³) в ртути тоже плавает, а золото (19 300 кг/м³) тонет даже в ртути. График справа под сценой показывает всё сразу: до единицы прямая (плавает), после — горизонталь на 100 % (тонет).

Что говорит закон. На любое тело, погружённое в жидкость или газ, действует выталкивающая сила — сила Архимеда. Она направлена вверх и равна весу жидкости, которую вытеснило тело: F_A = ρ_ж·g·V_погр. В формуле стоит плотность жидкости, а не тела, и объём только погружённой части тела. Из чего сделано тело и сколько оно весит, на силу Архимеда не влияет: алюминиевый и свинцовый шары одного объёма в воде выталкиваются одинаково.

Откуда берётся выталкивающая сила. Давление в жидкости растёт с глубиной: p = ρ_ж·g·h. Нижняя грань тела глубже верхней, поэтому снизу жидкость давит сильнее, чем сверху. Силы давления на боковые грани одинаковы и гасят друг друга. Остаётся разность: F_A = (p₂ − p₁)·S = ρ_ж·g·(h₂ − h₁)·S = ρ_ж·g·V. Пример: куб с ребром 10 см целиком в воде, верхняя грань на глубине 5 см. Сверху давление 490 Па, снизу (на глубине 15 см) 1470 Па. Разность (1470 − 490)·0,01 м² = 9,8 Н — это и есть ρ_ж·g·V = 1000·9,8·0,001. Включи в симуляторе стрелки давления, чтобы увидеть это своими глазами.

Опыт с динамометром. В воздухе динамометр показывает вес тела P. Когда тело опускают в жидкость, показания уменьшаются до P − F_A: тело как будто «теряет» в весе. Вытесненная жидкость переливается через носик в стакан, и весы под стаканом показывают её вес — ровно ту же величину F_A. Например, алюминиевый кубик объёмом 1 л весит 26,5 Н, а в воде динамометр показывает 16,7 Н. Разница 9,8 Н — это вес 1 л воды (1 кг), которая вылилась в стакан.

Глубина не важна. Пока тело входит в жидкость, V_погр растёт — растёт и F_A, а показания динамометра падают. Как только тело погрузилось целиком, F_A больше не меняется, как глубоко его ни опускай: давление растёт и сверху, и снизу одинаково, а их разность остаётся прежней. Это видно на левом графике под сценой: после отметки «целиком» линии идут горизонтально.

Тонет, плавает или висит. Сравним вес P = ρ_т·g·V с наибольшей силой Архимеда ρ_ж·g·V (тело целиком в жидкости). Объём и g одинаковы, поэтому всё решает отношение плотностей. Если ρ_т > ρ_ж, тело тонет и ложится на дно, а дно давит на него с силой N = P − F_A. Если ρ_т = ρ_ж, тело висит в толще жидкости на любой глубине. Если ρ_т < ρ_ж, тело всплывает и погружается ровно настолько, чтобы F_A = P: V_погр/V = ρ_т/ρ_ж. Лёд (900 кг/м³) в воде погружён на 90 %, сосна (500 кг/м³) — на 50 %. Стальной шар (7800 кг/м³) в ртути (13 600 кг/м³) плавает, погрузившись на 57 %, а пробка в ртути — всего на 1,8 %.

Где это встречается. Стальной корабль плавает, потому что его корпус полый: он вытесняет столько воды, что средняя плотность судна вместе с воздухом внутри меньше плотности воды. Подводная лодка погружается и всплывает, набирая воду в балластные цистерны или выдувая её сжатым воздухом. Рыба меняет объём плавательного пузыря. Ареометр плавает тем глубже, чем легче жидкость, — по нему измеряют плотность молока, аккумуляторной кислоты, антифриза. Закон Архимеда работает и в газах: воздушный шар с горячим воздухом или гелием поднимается, потому что легче вытесненного им воздуха.

Типичные ошибки в задачах. Подставляют в F_A плотность тела вместо плотности жидкости. Для плавающего тела берут полный объём V вместо погружённой части. Считают, что на глубине выталкивающая сила больше. Путают вес тела в жидкости (показания динамометра P − F_A) с силой Архимеда. Проверить себя можно в режиме «Проверь себя»: после каждого ответа симулятор ставит опыт и показывает, как всё происходит на самом деле.

Как устроен симулятор. Сосуд налит до носика: всё, что вытесняет тело, стекает в мерный стакан. Уровень жидкости рассчитывается точно из сохранения объёма. Движение тела учитывает вес, силу Архимеда, натяжение нити, сопротивление жидкости и удар о дно. Числа на табло и в панели «Измерения» совпадают с формулами учебника, g = 9,8 м/с².