Закон Паскаля: шар Паскаля

Надави на поршень — и вода брызнет из всех отверстий шара сразу, во все стороны с одинаковой скоростью. Меняй силу F и площадь поршня S: давление p = F/S передаётся в каждую точку жидкости без изменения. Стрелки внутри шара показывают давление на стенки, а график под сценой — из чего оно складывается: одинаковая для всех отверстий добавка F/S и вес воды ρgh, который растёт с глубиной.

←F— сила, которой давят на поршень ↗p— давление воды на стенки шара

Цвет жидкости показывает давление (шкала слева внизу). Длины стрелок сил не в масштабе (∝ ∛F), числа — точные.

F сила на поршень 15 Н

S площадь поршня 30 см²

Отверстия диаметром 1,2 мм, вода, ρ = 1000 кг/м³.

Давление цветом

Стрелки и подписи

Проверь себя

Давление у отверстия p = F/S + ρg(y_оси − y), скорость струи v = √(2p/ρ), полёт капель — точная формула броска. Расход Q = Σμ·A·v (μ = 0,62) опускает поршень; когда вода кончится, «Запустить» нальёт заново.

p = F / S

добавка давления — одна для всех отверстий

расход воды через все отверстия

p_верх = F/S − ρgR

p_низ = F/S + ρgR

v_верх = √(2p/ρ)

v_низ = √(2p/ρ)

L = v·√(2H/g)

дальность струи вбок с высоты H = 62 см

воды хватит ещё на

Блез Паскаль (1623–1662) — французский математик и физик, в 19 лет построивший одну из первых счётных машин. По легенде, он вставил в крышку бочки, полной воды, узкую трубку высотой около 10 метров и вылил в неё всего одну кружку воды — и бочку разорвало. Давление зависит от высоты столба жидкости, а не от того, сколько её налито. В 1648 году по просьбе Паскаля его родственник Флорен Перье поднялся с ртутным барометром на гору Пюи-де-Дом и показал, что наверху ртуть стоит ниже: давление воздуха уменьшается с высотой. В честь учёного названа единица давления — паскаль.

Смотри также

Гидравлический прессПодними автомобиль рукой и раздави кирпич: F₂/F₁ = S₂/S₁ и «золотое правило» Сообщающиеся сосудыU-трубка с двумя жидкостями, сосуды разной формы и зонд-манометр: p = ρgh Закон АрхимедаТело в жидкости: тонет, плавает или всплывает — сила Архимеда и вес

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Давление

$$p = \frac{F}{S}$$

F — сила, действующая перпендикулярно поверхности, Н; S — площадь поверхности, м²; p — давление, Па (1 Па = 1 Н/м²)

▶ Подробное объяснение

Давление показывает, какая сила приходится на каждый квадратный метр поверхности. Одна и та же сила, распределённая по меньшей площади, создаёт большее давление. Рука, давящая на малый поршень площадью 4 см² с силой 300 Н, создаёт в масле давление 300 / 0,0004 = 750 000 Па = 750 кПа.

1 Па — очень маленькое давление: примерно так давит лист бумаги, лежащий на столе. Поэтому на практике пользуются килопаскалями и мегапаскалями. Атмосферное давление у поверхности Земли — около 101 кПа.

Закон Паскаля

$$\Delta p_A = \Delta p_B = \Delta p = \frac{F}{S}$$

Δp — добавочное давление, созданное поршнем (Па); A и B — любые точки жидкости

▶ Подробное объяснение

Давление, производимое на жидкость или газ, передаётся без изменения в каждую точку жидкости и во всех направлениях. Если поршень увеличил давление под собой на 5 кПа, то и у дна, и у боковых стенок, и у любого отверстия давление выросло ровно на 5 кПа.

Твёрдое тело так не умеет: оно передаёт силу только в направлении её действия. Жидкость же «растекается» давлением во все стороны, потому что её частицы свободно сдвигаются друг относительно друга. В шаре Паскаля поэтому струи бьют во все стороны одинаково, а в прессе давление масла в малом и большом цилиндрах одно и то же.

Давление в жидкости под поршнем

$$p = \frac{F}{S} + \rho g h$$

F/S — давление поршня, одинаковое во всех точках жидкости; ρgh — давление веса жидкости, h — глубина точки под поршнем (в шаре — под осью цилиндра), м

▶ Подробное объяснение

Давление внутри жидкости складывается из двух частей. Первая — давление, которое создаёт поршень: по закону Паскаля оно одинаково в каждой точке. Вторая — давление веса самой жидкости: чем глубже точка, тем больше над ней жидкости и тем больше давление.

В шаре Паскаля радиусом 7,5 см вес воды меняет давление между верхом и низом шара всего на 2·ρgR ≈ 1,5 кПа, а поршень с силой 15 Н на площади 30 см² добавляет 5 кПа. Поэтому струи почти одинаковые, а нижние лишь чуть сильнее. Если убрать силу, останется только ρgh, и вода потечёт лишь из нижних отверстий.

Скорость струи из отверстия

$$v = \sqrt{\frac{2p}{\rho}}, \qquad p = \rho g h \;\Rightarrow\; v = \sqrt{2gh}$$

p — давление жидкости у отверстия, Па; ρ — плотность жидкости, кг/м³; v — скорость струи, м/с

▶ Подробное объяснение

Когда объём воды V выходит через отверстие, давление совершает работу p·V, и она переходит в кинетическую энергию струи ρV·v²/2. Отсюда v = √(2p/ρ). При давлении 5 кПа вода вылетает со скоростью около 3,2 м/с, при 20 кПа — вдвое быстрее, 6,3 м/с: скорость растёт как корень из давления.

Если давление создаёт только столб воды высотой h, то p = ρgh и v = √(2gh). Это формула Торричелли (1643): вода вытекает из отверстия с той же скоростью, которую набрало бы тело, свободно падая с высоты h.

Закон Паскаля. Давление, производимое на жидкость или газ, передаётся без изменения в каждую точку жидкости и во всех направлениях. Если поршень увеличил давление под собой на 5 кПа, то и у дна, и у боковых стенок, и у любого отверстия давление выросло ровно на 5 кПа. Частицы жидкости подвижны: если сжать её с одной стороны, они «расталкивают» друг друга во все стороны, пока давление не выровняется. Твёрдое тело так не умеет — оно передаёт силу только в направлении её действия.

Шар Паскаля. Это полый шар с мелкими отверстиями, соединённый с цилиндром, в котором ходит поршень. Поршень давит на воду только в одном направлении — вдоль цилиндра, — а вода вырывается из отверстий во все стороны: вверх, вниз, вбок и даже назад, к поршню. Струи одинаковые, потому что давление у всех отверстий почти одно и то же. В симуляторе вода окрашена по давлению, а жёлтые стрелки внутри шара показывают, как она давит на стенки: стрелки одинаковой длины смотрят во все стороны.

Давление поршня и вес воды. Давление поршня p = F/S зависит не только от силы, но и от площади: та же сила на вдвое меньшем поршне создаёт вдвое большее давление. К нему добавляется давление веса самой воды ρgh, которое растёт с глубиной. Поэтому у отверстия на высоте y давление p = F/S + ρg(y_оси − y): у нижних отверстий чуть больше, у верхних чуть меньше. При F = 15 Н и S = 30 см² поршень создаёт 5 кПа, а вес воды добавляет внизу шара и отнимает вверху всего по 0,74 кПа. График под сценой показывает обе части: зелёный прямоугольник F/S одинаков для всех отверстий, синий клин ρgh зависит от высоты.

Скорость струи. Вода вылетает из отверстия со скоростью v = √(2p/ρ): работа давления переходит в кинетическую энергию воды. При 5 кПа это 3,2 м/с, а горизонтальная струя с высоты 62 см улетает на 1,1 м. Если давление создаёт только вес воды, p = ρgh, формула превращается в формулу Торричелли v = √(2gh) — вода вытекает из отверстия так же быстро, как падала бы с высоты h. Капли в симуляторе летят по точной формуле броска, а расход воды опускает поршень: когда цилиндр опустеет, струи прекратятся.

Где работает закон Паскаля. На нём основаны гидравлический пресс и домкрат, тормоза автомобиля, где нажатие педали передаётся маслом сразу ко всем четырём колёсам, гидравлика экскаваторов и подъёмных кранов. Тот же закон объясняет, почему накачанный мяч и мыльный пузырь круглые: газ давит изнутри на каждый участок оболочки одинаково.

Попробуй сам. Убери силу до нуля — вода будет вытекать только из отверстий ниже оси шара, под собственным весом, а из верхних не прольётся ни капли. Удвой силу — струи станут быстрее и дальше, но останутся одинаковыми во все стороны. Уменьши площадь поршня при той же силе — давление вырастет, хотя давишь ты так же. Сравни скорости верхней и нижней струи в «Измерениях»: разница — это и есть вклад ρgh.