Сообщающиеся сосуды и давление p = ρgh

Налей в U-трубку с водой масло или керосин — или воду поверх ртути — и посмотри, как устанавливаются уровни: столбы разной высоты уравновешивают друг друга, ρ₁h₁ = ρ₂h₂. В сосудах разной формы вода стоит на одном уровне, и давление на дно одинаково, хотя воды в них разное количество. Перетаскивай зонд-манометр: он покажет давление p = ρgh в любой точке, а кольца отметят, где давление такое же.

◉зонд— манометр в жидкости; кольца — точки с таким же давлением

Цвет жидкости показывает давление (шкала слева внизу). Длины стрелок сил не в масштабе (∝ ∛F), числа — точные.

Жидкости

h₁ столб лёгкой жидкости 15 см

Перетащи красный зонд по жидкости: он покажет давление p = ρgh, а кольца — где давление такое же.

Давление цветом

Стрелки и подписи

Проверь себя

Давление без учёта атмосферного: p = ρgh, h — глубина под поверхностью своей жидкости. В U-трубке колена одинакового сечения, поэтому уровень нижней жидкости слева опускается на столько же, на сколько поднимается справа. Колебания после доливания затухают, числа в «Измерениях» — для равновесия.

ρ₁

лёгкая жидкость (слева сверху)

h₁

её столб над уровнем раздела

ρ₂

тяжёлая жидкость (внизу)

h₂ = ρ₁h₁/ρ₂

столб справа над уровнем раздела

Δh = h₁ − h₂

разница верхних уровней

p = ρ₁gh₁

давление на уровне раздела — одно в обоих коленах

p_зонд

давление в точке зонда (без атмосферного)

Фонтаны Петергофа под Санкт-Петербургом бьют с 1721 года без единого насоса. Вода собирается в прудах на Ропшинских возвышенностях и по водоводу длиной более 20 километров стекает к паркам, а там поднимается в фонтанах сама — как в сообщающихся сосудах, к уровню, с которого пришла. По тому же принципу устроены водонапорные башни, водопровод в многоэтажных домах, шлюзы на реках и каналах, по которым корабли переходят с одного уровня воды на другой, водомерное стекло на котлах и обычный чайник: вода в носике всегда стоит на том же уровне, что и в самом чайнике.

Смотри также

Гидравлический прессПодними автомобиль рукой и раздави кирпич: F₂/F₁ = S₂/S₁ и «золотое правило» Закон Паскаля: шар ПаскаляЗакон Паскаля: струи бьют во все стороны одинаково, p = F/S + ρgh Закон АрхимедаТело в жидкости: тонет, плавает или всплывает — сила Архимеда и вес

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Гидростатическое давление

$$p = \rho g h$$

ρ — плотность жидкости, кг/м³; g ≈ 9,8 м/с²; h — глубина под свободной поверхностью, м

▶ Подробное объяснение

Каждый слой жидкости давит своим весом на слои под ним, поэтому давление растёт с глубиной линейно. В воде оно увеличивается примерно на 10 кПа на каждый метр глубины, а в ртути, которая в 13,6 раза плотнее, — в 13,6 раза быстрее.

Давление на дно зависит только от высоты столба и плотности жидкости, но не от формы сосуда и не от количества жидкости. Это называют гидростатическим парадоксом: в сосудах разной формы с одинаковым дном, налитых до одного уровня, давление и сила давления на дно одинаковы.

Сообщающиеся сосуды с разными жидкостями

$$\rho_1 h_1 = \rho_2 h_2 \quad\Rightarrow\quad \frac{h_1}{h_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$$

h₁, h₂ — высоты столбов жидкостей над уровнем их раздела, м; ρ₁, ρ₂ — плотности жидкостей, кг/м³

▶ Подробное объяснение

В сообщающихся сосудах с одной жидкостью уровни одинаковы. Если же в одно колено налить другую, несмешивающуюся жидкость, сравнивают давления на уровне их раздела: в одной и той же жидкости на одной высоте давление одинаково. Отсюда ρ₁gh₁ = ρ₂gh₂, и высоты столбов обратно пропорциональны плотностям.

Столб масла (900 кг/м³) высотой 15 см уравновешивает 13,5 см воды, а 30 см воды — всего 2,2 см ртути. Так устроены жидкостные манометры: по разности уровней в U-трубке определяют давление.

Сообщающиеся сосуды с одной жидкостью

$$\rho g h_1 = \rho g h_2 \quad\Rightarrow\quad h_1 = h_2$$

h₁, h₂ — высоты уровней жидкости в сосудах над соединительной трубкой, м

▶ Подробное объяснение

Жидкость в соединительной трубке неподвижна, только если давления на неё слева и справа равны. Давление в каждом сосуде на уровне трубки равно ρgh, где h — высота столба над трубкой. Для одной и той же жидкости равенство давлений означает равенство высот: уровни одинаковы.

Форма сосудов, их ширина и количество воды роли не играют: в широком сосуде, узком и наклонной трубке вода встанет на одной высоте. Поэтому вода в носике чайника стоит вровень с водой в чайнике, а водомерное стекло на котле показывает уровень воды внутри.

Сила давления жидкости на дно

$$F = pS = \rho g h S$$

p — давление на дно, Па; S — площадь дна, м²; h — высота уровня жидкости над дном, м

▶ Подробное объяснение

Сила, с которой жидкость давит на дно, равна давлению, умноженному на площадь дна. Она зависит от плотности, высоты уровня и площади дна, но не от формы сосуда и не от веса налитой жидкости. В симуляторе у трёх сосудов дно площадью 38,5 см²; при уровне воды 40 см на каждое дно действует сила около 15 Н.

Вес воды в этих сосудах разный: в расширяющемся её больше, в сужающемся меньше. Это гидростатический парадокс. Разницу берут на себя стенки: в расширяющемся сосуде они поддерживают часть воды, в сужающемся — давят на неё вниз. Сила на дно при этом всегда равна весу воображаемого столба жидкости над дном.

Давление внутри жидкости. Каждый слой жидкости давит своим весом на слои под ним, поэтому давление растёт с глубиной: p = ρgh, где h — глубина под свободной поверхностью. В воде давление увеличивается примерно на 10 кПа на каждый метр глубины: на глубине 10 м оно равно 98 кПа — почти ещё одна атмосфера. Ртуть в 13,6 раза плотнее воды, и давление в ней растёт в 13,6 раза быстрее. На одной глубине в одной жидкости давление одинаково во всех направлениях.

Давление не зависит от формы сосуда. Давление на дно определяется только высотой столба и плотностью жидкости. В сосудах разной формы с одинаковым дном, налитых до одного уровня, давление на дно одинаково, а значит, одинакова и сила давления F = pS — хотя воды в широком сосуде в несколько раз больше, чем в узком. Это называют гидростатическим парадоксом. Стенки широкого сосуда сами держат «лишнюю» воду, а в сужающемся сосуде стенки давят на воду сверху вниз.

Сообщающиеся сосуды. Так называют сосуды, соединённые между собой снизу. Однородная жидкость в них устанавливается на одном уровне, какой бы ни была форма сосудов. Если бы уровни различались, на дне соединительной трубки давления с двух сторон были бы разными, и жидкость перетекала бы, пока они не сравняются. В симуляторе это видно по зонду: в одной жидкости точки с одинаковым давлением всегда лежат на одной высоте.

Две разные жидкости. Если в одно колено U-трубки с водой налить масло, сравнивают давления на уровне раздела жидкостей: здесь в обоих коленах внизу одна и та же вода, и давления равны. Над этим уровнем слева столб масла h₁, справа — столб воды h₂, поэтому ρ₁gh₁ = ρ₂gh₂, или ρ₁h₁ = ρ₂h₂. Высоты столбов обратно пропорциональны плотностям: 15 см масла (900 кг/м³) уравновешивают 13,5 см воды, а 30 см воды — всего 2,2 см ртути. Так устроен жидкостный манометр: по разнице уровней в U-трубке измеряют давление.

Попробуй сам. Начни с пустого левого колена (h₁ = 0) — уровни одинаковы. Добавляй масло и следи, как уровень раздела опускается, а вода справа поднимается. Поставь зонд на уровень раздела — кольцо в правом колене окажется на той же высоте. Подними зонд в масло — точка с таким же давлением в воде окажется ниже. Выбери пару «ртуть + вода»: при той же высоте столба воды ртуть сдвинется совсем чуть-чуть. Во вкладке «Разной формы» добавляй воду и сравни объёмы в «Измерениях»: воды в сосудах разное количество, а давление на дно одно.