Закон сохранения энергии: горка

Вагонетка катится по рельсам без мотора. Потяни её выше или ниже и смотри, как «энергия высоты» превращается в энергию движения и обратно — и почему вагонетка никогда не заберётся выше жёлтого «потолка». Добавь трение, и увидишь, куда энергия уходит.

Суть за 30 секунд

Высота — это «запас» энергии

Чтобы втащить вагонетку на горку, нужна работа, и она не пропадает: вагонетка на высоте h хранит энергию Eп = mgh. На самой вершине вся энергия лежит «в высоте». Мотора на спуске нет — вагонетку катит именно этот запас.

Высота ⇄ скорость

Едет вниз — высота тает, скорость растёт: Eп → Eк. Едет вверх — наоборот. Сумма Eп + Eк всё время одна и та же, поэтому вагонетка никогда не поднимется выше жёлтого «потолка» — высоты, с которой начала. А скорость в любой точке зависит только от разности высот: v = √(2g·Δh), масса не важна.

Трение и «лишняя» сила

Если есть трение, часть энергии уходит в тепло Q (красное). «Потолок» медленно опускается, и вагонетка перестаёт добираться до вершин. А на поворотах есть ещё сила давления рельса N: в яме она больше веса (G > 1, вжимает в сиденье), на гребне — меньше (G < 1), а при G = 0 наступает невесомость.

Попробуй сам

Нажми «m ×2»: масса вдвое больше, энергии выросли вдвое, а скорость внизу осталась той же — смотри на табло: v не изменилась.
Нажми «h₀ ÷2»: высота вдвое меньше, а скорость внизу меньше не вдвое, а в √2 ≈ 1,41 раза. Скорость растёт медленнее высоты.
Выбери трассу «Горки» и потяни вагонетку на высоту 6 м — ниже вершины (7 м). Она не перевалит через гребень и вернётся: рельс выше жёлтого «потолка» погашен. Энергии не хватает!
Выбери «Петля» и нажми «предел петли»: старт с h₀ = 2,5R. Наверху G = 0 — это самая граница. Чуть ниже — свободный шарик сорвался бы. Попробуй h₀ = 7 м при R = 3 м и посмотри на G наверху.
Включи «Обычное» или «Ржавый»: смотри, как красный столбик растёт, а «потолок» опускается. В «Чаше» вагонетка в конце остановится на дне — вся энергия ушла в тепло.

Где это в жизни

Американские горки: первая горка всегда самая высокая. Дальше вагонетку ведёт только энергия, накопленная на подъёме, поэтому ни одна следующая вершина не может быть выше первой.
Перегрузки в аттракционах и в самолёте: в яме петли пилот «тяжелеет» в несколько раз, а на гребне горки чувствует почти невесомость. Поэтому гребни делают закруглёнными, а не острыми.
Скейт-парк и ГЭС: в «чаше» скейтера то же самое — внизу быстро, наверху замираешь. На ГЭС вода сверху плотины хранит потенциальную энергию, скатывается вниз и вращает турбину.

Графики: то же самое в числах

Оранжевое — Eп, зелёное — Eк, красное — тепло Q; жёлтый пунктир — «потолок» E/mg. На профиле трассы вагонетка — оранжевая точка, а зелёный зазор до «потолка» и есть её Eк.

Где вагонетка на трассе? Профиль h(s) и «потолок»

Куда переходит энергия? E(t)

Как быстро она едет? v(t)

Что чувствует пассажир? Перегрузка G(t)

Трасса

R радиус петли 3,0 м

h₀ высота старта 8,6 м

v₀ стартовый толчок 0,0 м/с

m масса вагонетки 500 кг

Трение колёс о рельс

μ коэффициент трения 0,00

Быстрые опыты

скорость показа 1×

Показывать

стрелки сил и скорости

«потолок» E/mg и столбик энергии над вагонеткой

след вагонетки

линейку высоты

Режим «Предскажи»

Смена трассы, высоты или толчка заново запускает вагонетку из начала, а массу и трение можно менять на ходу. Движение считается по точным уравнениям с шагом 1/240 с, поэтому числа не зависят ни от частоты кадров, ни от скорости показа.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Потенциальная энергия на высоте h

$$E_{\text{п}} = mgh$$

Энергия «запасена» в высоте над самой низкой точкой трассы: там h = 0 и Eп = 0.

▶ Подробное объяснение

Высоту h отсчитываем от нулевого уровня — самой низкой точки трассы. Чем выше вагонетка, тем больше работы потрачено на подъём и тем больше запас Eп = mgh. Важна только высота, а не путь: на пологом и на крутом подъёме на одну и ту же высоту запас получается одинаковым.

Пример: m = 500 кг, h = 9 м ⇒ Eп = 500·9,8·9 = 44 100 Дж = 44,1 кДж. На высоте 7 м (вершина горки) Eп = 500·9,8·7 = 34,3 кДж.

Кинетическая энергия

$$E_{\text{к}} = \frac{mv^2}{2}$$

Энергия движения растёт как квадрат скорости.

▶ Подробное объяснение

Вдвое быстрее — вчетверо больше энергии. Поэтому внизу горки, где скорость наибольшая, запас Eк тоже наибольший, а на вершине (v = 0) Eк = 0.

Пример: m = 500 кг, v = 13,28 м/с ⇒ Eк = 500·13,28²/2 ≈ 44,1 кДж — вся энергия, которую вагонетка запасла на высоте 9 м.

Закон сохранения энергии на горке

$$E_{\text{п}} + E_{\text{к}} = mgh + \frac{mv^2}{2} = E_0 = \text{const}$$

Без трения сумма потенциальной и кинетической энергии в любой точке трассы одна и та же.

▶ Подробное объяснение

Сила тяжести «возвратная»: что вагонетка теряет по высоте, то получает по скорости, и наоборот. Сила реакции рельса всегда перпендикулярна скорости и работы не совершает. Поэтому в каждой точке Eп + Eк = E₀ = mgh₀ (при толчке E₀ = mgh₀ + mv₀²/2). Отсюда вагонетка не может подняться выше h₀: на этой высоте Eп = E₀, для Eк ничего не остаётся — вагонетка останавливается. На экране это жёлтая линия «потолок».

Пример: E₀ = 44,1 кДж. На высоте 7 м: Eп = 34,3 кДж, значит Eк = 44,1 − 34,3 = 9,8 кДж, а v = √(2Eк/m) = √(2·9800/500) = 6,26 м/с.

Скорость по разности высот

$$v = \sqrt{v_0^2 + 2g\,(h_0 - h)}$$

Масса сокращается: тяжёлая и лёгкая вагонетки с одной высоты едут одинаково.

▶ Подробное объяснение

Из mgh₀ + mv₀²/2 = mgh + mv²/2 делим на m и получаем v² = v₀² + 2g(h₀ − h). Без толчка (v₀ = 0): v = √(2g(h₀ − h)). Скорость зависит только от того, на сколько вагонетка опустилась, а не от массы и не от формы спуска.

Пример: старт с h₀ = 9 м. Внизу (h = 0): v = √(2·9,8·9) = 13,28 м/с. На вершине 7 м: v = √(2·9,8·2) = 6,26 м/с. С высоты вдвое меньше (4,5 м) скорость внизу √(2·9,8·4,5) = 9,39 м/с — не вдвое меньше, а в √2 раза. С толчком v₀ = 6 м/с с высоты 4 м: v внизу = √(36 + 2·9,8·4) = 10,7 м/с.

Трение: энергия уходит в тепло

$$E_{\text{п}} + E_{\text{к}} + Q = E_0,\qquad Q = \mu\int N\,ds$$

Сила трения μN работает против движения, и эта работа становится теплом Q.

▶ Подробное объяснение

Сила трения колёс о рельс F = μN направлена против скорости и на каждом участке пути ds «съедает» часть механической энергии: Q = ∫μN ds. Энергия Eп + Eк убывает, жёлтый «потолок» опускается, красный сегмент растёт, но в сумме Eп + Eк + Q = E₀: энергия не исчезает, а рассеивается (нагреваются колёса и рельс).

Пример для ровного наклонного участка: Q = μ·mg·cosα·s. При μ = 0,06, m = 500 кг, α = 30° и пути s = 10 м: Q = 0,06·500·9,8·0,866·10 ≈ 2,55 кДж. Остановившись, вагонетка остаётся стоять, если tg α ≤ μ (трение покоя).

Реакция рельса и перегрузка

$$N = m\left(g\cos\theta + \frac{v^2}{R}\right),\qquad G = \frac{N}{mg}$$

На изгибе рельс давит на вагонетку сильнее или слабее её веса — это и чувствует пассажир.

▶ Подробное объяснение

θ — угол наклона рельса к горизонту, R — радиус изгиба (со знаком «+» для впадины и внутренней стороны петли, со знаком «−» для гребня). На ровном участке N = mg, G = 1. В нижней точке впадины N = m(g + v²/R): тебя вжимает в сиденье (G > 1). На гребне N = m(g − v²/R): чем быстрее, тем легче, а при v² = gR получаем N = 0 — невесомость.

Пример: в нижней точке петли R = 3 м при старте с h₀ = 7,5 м v² = 2gh₀ = 147 м²/с², N = m(9,8 + 147/3) = 58,8·m, G = 6 — шестикратная перегрузка.

Петля: минимальная высота 2,5R

$$mgh_0 = mg\cdot 2R + \frac{mv^2}{2},\quad v^2 \ge gR \;\Rightarrow\; h_0 \ge \frac{5}{2}R$$

Чтобы не оторваться наверху, нужна скорость v ≥ √(gR), а для неё — старт не ниже 2,5R.

▶ Подробное объяснение

Наверху петли рельс прижимает вагонетку вниз с силой N, и вместе с тяжестью они создают центростремительное ускорение: N + mg = mv²/R. Без отрыва N ≥ 0, то есть v² ≥ gR. Высота вершины 2R, поэтому по закону сохранения энергии mgh₀ = mg·2R + mv²/2 ≥ mg·2R + mgR/2 = 2,5·mgR. Отсюда h₀ ≥ 2,5R.

Пример: R = 3 м ⇒ h₀ ≥ 7,5 м; на границе наверху v = √(gR) = √(9,8·3) = 5,42 м/с. С меньшей высоты свободный шарик сорвался бы, а настоящую вагонетку держат предохранительные колёса (рельс «тянет» её, G < 0). Со стартовым толчком условие такое: h₀ + v₀²/(2g) ≥ 2,5R.

Что здесь происходит. Вагонетка едет по рельсам без мотора — только за счёт силы тяжести. Чтобы втащить её на высоту h над самой низкой точкой трассы, нужна работа, и она не пропадает: вагонетка «запасает» потенциальную энергию Eп = mgh. Если отпустить её без толчка, в верхней точке вся энергия потенциальная, а скорость равна нулю.

Превращение и «потолок». Вагонетка едет вниз: высота уменьшается, скорость растёт, и Eп превращается в кинетическую Eк = mv²/2. Внизу h = 0, вся энергия кинетическая — скорость наибольшая. На подъёме всё идёт в обратную сторону. Пока нет трения, сумма Eп + Eк в любой точке равна E₀ = mgh₀ — это закон сохранения механической энергии. Отсюда главное правило горок: вагонетка не поднимется выше высоты h₀, с которой стартовала (жёлтая линия «потолок» на экране), а скорость в любой точке зависит только от разности высот: v = √(2g(h₀ − h)). Масса в эту формулу не входит. Пример: m = 500 кг, h₀ = 9 м ⇒ E₀ = 500·9,8·9 = 44,1 кДж; внизу v = √(2·9,8·9) = 13,28 м/с, на вершине горки (7 м) v = √(2·9,8·2) = 6,26 м/с.

Трение и тепло. Включи трение колёс о рельс: часть механической энергии на каждом метре пути уходит в тепло Q (красный сегмент). «Потолок» медленно опускается, и вагонетка перестаёт добираться до вершин: сначала не берёт вершину, потом начинает «болтаться» в ложбине и в конце концов останавливается. Энергия при этом не исчезает: Eп + Eк + Q = E₀. Если рельс слишком пологий, вагонетку удерживает трение покоя (tg α ≤ μ) — она просто не поедет.

Петля и перегрузка. На изгибе рельса на вагонетку действует сила реакции N, и пассажир чувствует её как перегрузку G = N/(mg). В нижней точке впадины G больше единицы (тебя вжимает в сиденье), на гребне — меньше, а при G = 0 наступает невесомость. Наверху вертикальной петли радиуса R нужна скорость v ≥ √(gR), иначе свободное тело сорвалось бы. Из закона сохранения энергии отсюда следует знаменитое правило: без толчка петлю проходят со старта не ниже h₀ = 2,5R. Пример: R = 3 м ⇒ h₀ = 7,5 м, наверху v = 5,42 м/с, внизу перегрузка G = 6.

Тренажёр считает точное движение по рельсам с дугами и прямыми (а не приближение), поэтому числа на экране совпадают с формулами. Сравните с симуляторами «Закон сохранения энергии: математический маятник» и «Наклонная плоскость с трением».