Закон сохранения энергии: математический маятник

Отклони маятник и отпусти — смотри, как энергия «высоты» превращается в энергию движения и обратно. Сумма всё время одна и та же — это и есть закон сохранения энергии. Включи сопротивление, и увидишь, куда энергия уходит.

Суть явления за 30 секунд

Подняли — запасли

Чем выше поднят груз, тем больше в нём запас энергии. Это потенциальная энергия — «энергия положения»: Eп = mgh, где h — высота над самой нижней точкой.

Отпустили — превратили

Груз падает: высота уменьшается, скорость растёт. «Энергия высоты» превращается в энергию движения — кинетическую: Eк = mv²/2. В самой нижней точке она наибольшая.

Сумма не меняется

Энергия не исчезает и не появляется из ниоткуда — она лишь переходит из одного вида в другой: Eп + Eк = const. Если есть сопротивление, часть уходит в тепло Q, но вместе с теплом сумма прежняя.

Попробуй сам

Запусти маятник и смотри на столбик справа: оранжевая и зелёная части «переливаются» друг в друга, а общая высота столбика не меняется.
Нажми «m ×2»: все энергии стали вдвое больше, а скорость в нижней точке осталась прежней. Почему? Масса сократилась в формуле v = √(2gh).
Нажми «h ×2» — груз поднят вдвое выше. Скорость внизу выросла, но не вдвое, а в √2 ≈ 1,41 раза.
Выбери «Воздух» или «Вода»: красный сегмент (тепло Q) растёт, а груз поднимается всё ниже жёлтой линии h₀. Проверь, что Eп + Eк + Q всё равно равно E₀.

Где это встречается

Качели: в крайней точке вы на миг замираете (Eк = 0), внизу летите быстрее всего (Eп = 0). Чтобы раскачаться выше, нужно подкачивать энергию — толкаться в такт.
Маятниковые часы: из-за трения в подвесе маятник бы остановился, поэтому гиря или пружина на каждом размахе добавляет ему потерянную энергию.
Американские горки и трамплин: скорость внизу зависит только от высоты спуска, v = √(2gh), и не зависит от массы (если не считать сопротивления воздуха).

Графики: что и как меняется

Первый график — «потенциальная яма»: кривая Eп(θ), жёлтая линия — полная энергия E, зелёный отрезок — Eк. Груз всегда сидит на кривой и разворачивается там, где она упирается в жёлтую линию. Остальные графики рисуются вживую; серый пунктир на графике угла — приближение для малых колебаний: при большом размахе настоящий маятник от него отстаёт, потому что период зависит от амплитуды.

Потенциальная яма: почему маятник разворачивается

Энергия со временем: Eп и Eк перетекают, сумма ровная

Угол со временем θ(t) и сравнение с малыми колебаниями

Скорость со временем v(t): пики у нижней точки

θ₀ угол отпускания 60°

l длина нити 2,0 м

m масса груза 2,0 кг

Среда

b сопротивление среды 0,00 1/с

Эксперименты в один клик

Скорость показа 1×

Показывать

силу тяжести и скорость

уровни высоты h и h₀

след движения

линейку высоты

Режим «Предскажи скорость»

Нить считается невесомой и нерастяжимой, груз — материальной точкой. Сопротивление среды описывает коэффициент b (1/с): чем он больше, тем быстрее маятник теряет энергию. Потерянная механическая энергия превращается в тепло Q. Угол отпускания не больше 90°: выше горизонтали нить бы провисла.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Высота груза над нижней точкой

$$h = l\,(1-\cos\theta)$$

Высота отсчитывается от самой нижней точки дуги: там h = 0 и Eп = 0.

▶ Подробное объяснение

Нить длиной l отклонена на угол θ от вертикали. Нижняя точка находится на расстоянии l под подвесом, а сам груз — на l·cosθ. Значит, груз поднят над нижней точкой на h = l − l·cosθ = l(1 − cosθ).

Пример: l = 2 м, θ₀ = 60°. cos 60° = 0,5, поэтому h₀ = 2·(1 − 0,5) = 1,00 м. Крайние случаи: при θ = 0 высота h = 0 (нижняя точка); при θ = 90° (нить горизонтальна) h = l — выше груз подняться не может, поэтому в симуляторе предел 90°.

Закон сохранения энергии для маятника

$$E_{\text{п}} + E_{\text{к}} = mgh + \frac{mv^2}{2} = E_0 = \text{const}$$

Без сопротивления сумма потенциальной и кинетической энергии в любой точке дуги одна и та же.

▶ Подробное объяснение

Eп = mgh — энергия высоты, Eк = mv²/2 — энергия движения. Натяжение нити работы не совершает (оно всегда перпендикулярно скорости), а сила тяжести «возвратная»: что груз потерял по высоте, то получил по скорости. Поэтому в каждой точке Eп + Eк = E₀ = mgh₀, где h₀ — высота, с которой отпустили.

Пример: m = 2 кг, h₀ = 1,00 м ⇒ E₀ = 2·9,8·1,00 = 19,6 Дж. На высоте h = 0,40 м: Eп = 2·9,8·0,40 = 7,84 Дж, значит Eк = 19,6 − 7,84 = 11,76 Дж, а скорость v = √(2Eк/m) = √11,76 ≈ 3,43 м/с.

Скорость в нижней точке

$$v = \sqrt{2gh_0} = \sqrt{2gl\,(1-\cos\theta_0)}$$

Из mgh₀ = mv²/2: масса сокращается, скорость зависит только от высоты, с которой отпустили.

▶ Подробное объяснение

В нижней точке вся энергия кинетическая: mgh₀ = mv²/2. Сократив m, получаем v = √(2gh₀). Тяжёлый и лёгкий маятники, отпущенные с одной высоты, проходят низ с одной скоростью.

Пример: l = 2 м, θ₀ = 60° ⇒ h₀ = 1,00 м, v = √(2·9,8·1,00) = 4,43 м/с. Если поднять груз вдвое выше (h₀ = 2 м; для этого нужна нить l = 2 м и θ₀ = 90°), скорость вырастет только в √2 ≈ 1,41 раза — до 6,26 м/с. Скорость растёт медленнее высоты. Предельный случай θ₀ = 90°: v = √(2gl).

Энергия при сопротивлении: куда уходит остальное

$$E_{\text{п}} + E_{\text{к}} + Q = E_0,\qquad Q = E_0 - (E_{\text{п}} + E_{\text{к}})$$

Сопротивление превращает часть механической энергии в тепло, но полная энергия вместе с теплом не меняется.

▶ Подробное объяснение

Из-за сопротивления воздуха и трения в подвесе каждое колебание чуть ниже предыдущего. Механическая энергия Eп + Eк убывает, но не исчезает: она превращается в тепло Q (нагреваются воздух и подвес). В симуляторе Q считается из уравнений движения как работа силы сопротивления — это красный сегмент столбика.

Пример: E₀ = 19,6 Дж. После нескольких размахов Eп + Eк = 14,2 Дж — значит, Q = 19,6 − 14,2 = 5,4 Дж ушло в тепло. Когда маятник остановится, Q = E₀ = 19,6 Дж, а баланс E₀ − Eп − Eк − Q остаётся нулевым.

Период маятника и размах

$$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}},\qquad T \approx T_0\left(1+\frac{\theta_0^{2}}{16}\right)$$

Период зависит от длины нити, а при большом размахе ещё и немного от угла (θ₀ в радианах).

▶ Подробное объяснение

T₀ = 2π√(l/g) — период при малых углах: он не зависит ни от массы, ни от размаха. Но настоящий маятник нелинеен (угловое ускорение пропорционально sin θ, а не θ), и при большом размахе колебания чуть медленнее. Поправка: T ≈ T₀(1 + θ₀²/16), где θ₀ — в радианах.

Пример: l = 2 м ⇒ T₀ = 2π√(2/9,8) ≈ 2,84 с. При θ₀ = 60° (1,047 рад) точный период 3,05 с — на 7 % больше; при θ₀ = 90° — 3,35 с, на 18 % больше. Серый пунктир на графике угла — колебания с периодом T₀: при большом размахе настоящая кривая от него отстаёт.

Что здесь происходит. Математический маятник — это груз на тонкой нерастяжимой нити. Когда мы отклоняем его от вертикали, груз поднимается на высоту h над самой нижней точкой дуги, и мы «запасаем» в нём энергию положения — потенциальную: Eп = mgh. Если отпустить груз без толчка, в этот момент вся энергия потенциальная, а скорость равна нулю.

Превращение и сохранение. Груз опускается: высота уменьшается, скорость растёт, и потенциальная энергия превращается в кинетическую Eк = mv²/2. В самой нижней точке h = 0, Eп = 0, вся энергия кинетическая — поэтому скорость здесь наибольшая: v = √(2gh₀). Дальше груз по инерции поднимается на другую сторону — снова до высоты h₀, и всё повторяется. Пока нет сопротивления, сумма Eп + Eк в любой точке одна и та же: это закон сохранения механической энергии. Пример: m = 2 кг, l = 2 м, θ₀ = 60° ⇒ h₀ = 1,00 м, E₀ = 19,6 Дж, скорость внизу v = 4,43 м/с — и она не зависит от массы.

Сопротивление и тепло. Включи среду «Воздух» или «Вода»: из-за сопротивления воздуха и трения в подвесе каждый размах немного ниже предыдущего. Механическая энергия Eп + Eк убывает, но не исчезает — она превращается в тепло Q (красный сегмент в столбике). С учётом тепла сумма прежняя: Eп + Eк + Q = E₀.

Почему не больше 90° и при чём тут период. Если отпустить груз выше горизонтали, нить провисла бы (её натяжение T = mg·cosθ было бы отрицательным), поэтому угол отпускания ограничен 90°. Уравнение маятника нелинейное: угловое ускорение пропорционально sin θ, а не θ. При малых углах период T₀ = 2π√(l/g) не зависит ни от массы, ни от размаха; при большом размахе маятник качается чуть медленнее (при 60° период больше на 7 %, при 90° — на 18 %) — это видно по серому пунктиру на графике угла. Тренажёр считает точное нелинейное движение, а не приближение.

Сравните с симуляторами «Пружинный маятник: гармонические колебания» и «Закон сохранения энергии: горка»: там период пружинного маятника строго не зависит от амплитуды, а на горке груз скатывается по произвольному рельефу — но закон сохранения энергии работает точно так же.