Пружинный маятник: почему груз качается и от чего зависит период

Оттяни груз и отпусти — пружина раскачает его по синусоиде. Крути жёсткость и массу, перелети на Луну или в невесомость, включи сопротивление среды — и увидишь главное: период T = 2π√(m/k) не зависит ни от размаха, ни от ускорения свободного падения.

Суть за 30 секунд

Пружина тянет назад

Оттянул груз — пружина сопротивляется и тянет его обратно; сжал — выталкивает. Чем сильнее оттянул, тем сильнее тянет: F = −kx. Знак «минус» значит: сила всегда направлена к положению равновесия, куда груз «хочет» вернуться.

Разгон, пролёт, торможение

К равновесию груз разгоняется, а в самом равновесии сила равна нулю — но скорость там наибольшая, и по инерции груз летит дальше. Теперь пружина тормозит его с другой стороны, он замирает в крайней точке (сила наибольшая, скорость нуль) и едет назад. Энергия при этом перетекает: Eп ⇄ Eк.

Период — только k и m

Время одного качания T = 2π√(m/k) не зависит от того, насколько оттянули груз: дальше оттянул — сильнее разгоняется, и время то же. Тяжёлый груз качается медленнее, жёсткая пружина — быстрее. И от g период не зависит: на Луне и в невесомости он тот же.

Попробуй сам

Нажми «A ×2»: груз летит вдвое дальше, но период не меняется — смотри на метки времени на ленте и график T(A): точка скользит по горизонтальной прямой.
Нажми «m ×4»: груз тяжелее в 4 раза, а качается медленнее лишь в 2 раза — это корень в формуле T = 2π√(m/k). То же с «k ×4».
Переключай «Земля», «Луна», «Юпитер», «Невесомость»: пружина провисает по-разному (Δl = mg/k), а период тот же. У математического маятника всё иначе — его период T = 2π√(l/g) зависит от g.
Выбери «Воздух», «Масло», «Мёд»: смотри, как растёт красный столбик (тепло Q) и затухает синусоида. В меде колебаний нет вообще — груз просто ползёт к равновесию.
Нажми «Сравнить»: рядом повиснет второй груз с амплитудой вдвое меньше. Он медленнее по скорости, но в равновесие и в крайние точки оба приходят одновременно.

Где это в жизни

Подвеска автомобиля: пружина + амортизатор. Пружина даёт колебания, амортизатор (вязкая среда, как «Масло») гасит их — иначе машину качало бы после каждой кочки.
Космические «весы»: на станции всё невесомо, и взвесить астронавта нельзя. Его сажают на пружинное кресло и измеряют период T = 2π√(m/k) — по нему находят массу.
Батут и тарзанка: упругая сетка или шнур — та же пружина с силой F = −kx. Чем жёстче и чем легче прыгун, тем чаще он подпрыгивает.

Графики: то же самое в числах

Кривые построены по точным формулам. Яркая часть — то, что уже было, бледная — то, что будет; вертикальная пунктирная линия — «сейчас». Цвета те же, что на сцене: оранжевый — Eп, зелёный — Eк, красный — тепло Q.

Где груз в каждый момент? x(t)

Как быстро он движется? v(t)

Куда переходит энергия? E(t)

«Яма» энергии Eп(x): груз катается по параболе

Как период зависит от k? T(k)

Как период зависит от амплитуды? T(A)

k жёсткость пружины 20 Н/м

m масса груза 1,0 кг

A амплитуда (на сколько оттянули) 0,15 м

Где проводим опыт? (ускорение g)

Среда (сопротивление)

ζ затухание (чем больше — тем гуще среда) 0,00

Быстрые опыты

скорость показа 1×

Показывать

стрелки сил и скорости

ленту-самописец (синусоида)

уровни: x = 0, ±A, свободная длина

линейку

след груза

Режим «Предскажи период»

Любое изменение параметров заново отпускает груз из покоя. Движение считается по точным формулам, поэтому период и амплитуда не «плывут» ни при какой частоте кадров.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Период пружинного маятника

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Время одного полного качания зависит только от массы груза и жёсткости пружины — не от амплитуды и не от g

▶ Подробное объяснение

Период — время одного полного колебания. Он пропорционален корню из массы и обратно пропорционален корню из жёсткости: чем тяжелее груз — тем медленнее, чем жёстче пружина — тем быстрее. Числа из симулятора: k = 20 Н/м, m = 1 кг → T = 2π√(1/20) ≈ 1,40 с, f = 1/T ≈ 0,71 Гц. Массу ×4 — период ×2 (T ≈ 2,81 с); жёсткость ×4 — период ÷2 (T ≈ 0,70 с). Амплитуда A и ускорение g в формулу не входят: оттяните груз на 5 см или на 25 см, проведите опыт на Земле, Луне или в невесомости — T останется 1,40 с. Это изохронность. Обратите внимание на отличие от математического маятника, где T = 2π√(l/g) зависит от g.

Циклическая частота и частота

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$

ω — сколько радиан проходит фаза колебания за секунду; f — сколько полных качаний за секунду

▶ Подробное объяснение

ω показывает, как быстро меняется фаза: за один период фаза проходит 2π, отсюда ω = 2πf = 2π/T. Единицы: ω — рад/с, f — Гц (1/с). Для пружинного маятника ω = √(k/m) зависит только от двух параметров: k ×4 → ω ×2, m ×4 → ω ÷2. Для k = 20 Н/м, m = 1 кг: ω ≈ 4,47 рад/с. Наибольшая скорость груза vmax = Aω, наибольшее ускорение amax = Aω²: при A = 0,15 м это 0,67 м/с и 3,0 м/с². Именно эти числа показывает симулятор в панели «Измерения» и по ним сверяются показания в положении равновесия и в крайних точках.

Закон гармонических колебаний

$$\begin{aligned} x(t) &= A\cos\omega t \\ v(t) &= -A\omega\sin\omega t \\ a(t) &= -A\omega^{2}\cos\omega t \end{aligned}$$

Смещение меняется по косинусу, скорость — по синусу (на четверть периода раньше), ускорение — как смещение с обратным знаком

▶ Подробное объяснение

Груз оттянули на A и отпустили без толчка — тогда x(t) = A·cos(ωt). Скорость — производная смещения: v = −Aω·sin(ωt); ускорение — производная скорости: a = −Aω²·cos(ωt) = −ω²x. Когда |x| наибольшее (крайние точки), v = 0; когда x = 0, |v| наибольшая. Лента-«самописец» на симуляторе рисует именно этот косинус: груз оставляет след, а бумага уезжает вбок. В симуляторе движение считается по этим формулам, а не интегрированием: поэтому период и амплитуда не накапливают ошибку, а моменты прохождения равновесия (ωt = π/2 + nπ) и крайних точек (ωt = nπ) известны точно.

Сила упругости (возвращающая сила)

$$F = -kx,\qquad ma = -kx \;\Rightarrow\; a = -\frac{k}{m}\,x$$

Сила пропорциональна смещению и всегда направлена к положению равновесия

▶ Подробное объяснение

Закон Гука: F = −kx. Минус — весь смысл: сила направлена против смещения. Оттянули груз вниз (x > 0) — сила тянет вверх (F < 0); подняли вверх (x < 0) — сила тянет вниз. Поэтому её называют возвращающей: она не даёт грузу улететь. Подставим в ma = F: a = −(k/m)x — ускорение пропорционально смещению и противоположно ему по знаку; это определение гармонических колебаний. Пример: k = 20 Н/м, x = 0,15 м → F = 3,0 Н. На симуляторе это оранжевая стрелка F: у крайних точек она самая длинная, в равновесии её нет. С учётом тяжести F — это равнодействующая пружины и силы тяжести (см. формулу Δl = mg/k).

Равновесие под тяжестью: Δl = mg/k

$$\begin{aligned} mg &= k\,\Delta l \;\Rightarrow\; \Delta l = \frac{mg}{k} \\ F_{\text{net}} &= mg - k(\Delta l + x) = -kx \end{aligned}$$

Тяжесть лишь сдвигает положение равновесия: колебания около него идут по тому же закону F = −kx

▶ Подробное объяснение

Вертикальная пружина с грузом растягивается тяжестью, пока сила упругости не уравновесит mg: kΔl = mg. Это положение равновесия, от него отсчитывают x. Для m = 1 кг, k = 20 Н/м: на Земле Δl = 9,8/20 = 0,49 м; на Луне (g = 1,62 м/с²) Δl ≈ 0,081 м; на Юпитере (g = 24,8 м/с²) Δl ≈ 1,24 м; в невесомости Δl = 0. Сместим груз на x от равновесия — равнодействующая mg − k(Δl + x) = −kx: g сократилась. Поэтому T = 2π√(m/k) на Луне, на Земле и в невесомости одинаков. На космических станциях массу астронавта измеряют именно так: по периоду колебаний на пружине, ведь взвесить в невесомости нельзя.

Обмен энергии при колебаниях

$$E = \frac{kA^2}{2} = \underbrace{\frac{kx^2}{2}}_{E_{\text{п}}} + \underbrace{\frac{mv^2}{2}}_{E_{\text{к}}} = \text{const}$$

Полная энергия колебаний постоянна: потенциальная переходит в кинетическую и обратно

▶ Подробное объяснение

Потенциальная энергия Eп = kx²/2 зависит только от смещения, кинетическая Eк = mv²/2 — только от скорости, а сумма равна энергии, вложенной при растяжении на амплитуду: E = kA²/2. В крайних точках x = ±A, v = 0 — вся энергия потенциальная; в положении равновесия x = 0, |v| = Aω — вся кинетическая. Для k = 20 Н/м, A = 0,15 м: E = 0,225 Дж, vmax = 0,67 м/с — симулятор показывает именно эти числа. На вертикальной пружине Eп — это упругая энергия и энергия в поле тяжести вместе, отсчитанные от положения равновесия. На графиках: оранжевая кривая — Eп, зелёная — Eк, пунктир — их сумма. На «яме» Eп(x) груз катается по параболе, а зазор до уровня E — это Eк.

Затухающие колебания

$$\begin{aligned} x(t) &= A\,e^{-\gamma t}\!\left(\cos\omega_d t + \frac{\gamma}{\omega_d}\sin\omega_d t\right) \\ \gamma &= \zeta\omega,\quad \omega_d = \omega\sqrt{1-\zeta^2},\quad \zeta = \frac{b}{2\sqrt{km}} \end{aligned}$$

Сопротивление среды гасит колебания: размах убывает по экспоненте, а энергия уходит в тепло

▶ Подробное объяснение

Сила сопротивления вязкой среды F = −bv. Число ζ = b/(2√(km)) показывает, насколько среда «густая». При ζ < 1 груз качается, размах убывает как e^(−γt), а частота чуть меньше: ωд = ω√(1−ζ²). При k = 20 Н/м, m = 1 кг и ζ = 0,25 (режим «Масло»): ωд ≈ 4,33 рад/с, Tд ≈ 1,45 с (вместо 1,40 с), энергия падает вдвое каждые ≈ 0,31 с. При ζ = 1 — критическое затухание: груз быстрее всего приходит к равновесию без колебаний (b = 2√(km) ≈ 8,9 кг/с). При ζ > 1 (режим «Мёд») колебаний нет — груз ползёт к равновесию. Потерянная энергия не исчезает: Eп + Eк + Q = E₀, где тепло Q = ∫bv²dt. В симуляторе все три режима считаются точными формулами, а Q копится интегралом по точной v(t) — баланс сходится до 10⁻¹² Дж.

Пружинный маятник — это груз массой m на пружине жёсткостью k. Оттянул груз от положения равновесия на расстояние x — пружина тянет его обратно с силой F = −kx (закон Гука). Знак «минус» означает, что сила всегда направлена к равновесию, а величина растёт с отклонением. По второму закону Ньютона ma = −kx, то есть a = −(k/m)·x: ускорение пропорционально смещению и противоположно ему по знаку. Такое движение называют гармоническими колебаниями, а его решение — x(t) = A·cos(ωt), где ω = √(k/m).

Почему качание идёт именно около положения равновесия, а не около свободной длины пружины? Потому что на груз действует ещё и сила тяжести mg. Она растягивает пружину на Δl = mg/k, и груз покоится там, где mg = kΔl, — это и есть положение равновесия. Сместим груз ещё на x: равнодействующая mg − k(Δl + x) = −kx. Тяжесть «спряталась» в положении равновесия, а колебания описываются тем же законом, что и без неё. Поэтому период от g не зависит: на Луне пружина провисает меньше, на Юпитере больше, в невесомости — совсем не провисает, а качается груз с тем же T.

На симуляторе хорошо видно, как сила и скорость «меняются местами». В крайних точках x = ±A: сила F = kA наибольшая, а скорость равна нулю — вся энергия запасена в пружине, Eп = kA²/2. В положении равновесия x = 0: сила равна нулю, зато скорость наибольшая — |v| = Aω, и вся энергия кинетическая, Eк = mv²/2. Груз пролетает равновесие по инерции, пружина начинает тормозить его с другой стороны — и всё повторяется. Сумма Eп + Eк = kA²/2 не меняется (Eп = kx²/2 — это энергия пружины и тяжести вместе, отсчитанная от положения равновесия).

Главный факт страницы — изохронность: период T = 2π√(m/k) не зависит от амплитуды. Оттянешь груз вдвое дальше — он вдвое дальше летит, но и скорость у него вдвое больше, а время одного качания то же. Режим «Сравнить» показывает это буквально: два груза с амплитудами A и A/2 приходят в равновесие и в крайние точки в один и тот же миг. Четырёхкратная масса делает период вдвое больше, четырёхкратная жёсткость — вдвое меньше: это корень в формуле. Движение на странице считается не численным интегрированием, а точными формулами, поэтому период не может «плыть» при любой частоте кадров.

Если среда сопротивляется (воздух, масло, мёд), колебания затухают. Степень затухания описывает безразмерное число ζ = b/(2√(km)). При ζ < 1 груз качается, но размах уменьшается — энергия уходит в тепло Q. При ζ = 1 (критическое затухание) груз быстрее всего возвращается к равновесию и не перелетает его — так устроены доводчики дверей и амортизаторы автомобиля. При ζ > 1 колебаний нет вообще: груз медленно ползёт к равновесию. Баланс Eп + Eк + Q = E₀ выполняется в любой момент.

Для сравнения откройте симулятор «Закон сохранения энергии: математический маятник»: там период T = 2π√(l/g) зависит от g, а при больших углах — ещё и от амплитуды. У пружинного маятника не так: g и амплитуда на период не влияют.