Закон Кулона

Два заряженных шарика на одной линии. Меняй величину и знак зарядов, двигай их ближе или дальше — и смотри, как меняется сила: растёт при сближении и разворачивается при смене знака. Нажми «Отпустить заряды» — и увидишь, как шарики разгоняются под действием этой силы.

Суть за 30 секунд

Заряды бывают двух сортов

Красный шарик — положительный заряд «+», синий — отрицательный «−». Одинаковые заряды отталкиваются, разные притягиваются. Это видно по стрелкам: переключи знак — и они развернутся.

Сила зависит от зарядов и расстояния

F = k·|q₁|·|q₂|/r². Заряд вдвое больше — сила вдвое больше. Расстояние вдвое больше — сила в 4 раза меньше, втрое — в 9 раз. Вблизи сила огромна, вдали почти исчезает.

Силы всегда идут парой

Первый заряд действует на второй с той же силой, с какой второй на первый, только в обратную сторону — это третий закон Ньютона. Даже если один заряд в 40 раз больше другого, стрелки одной длины.

Попробуй сам

Нажми «r ×2»: расстояние вырастет вдвое, а сила упадёт в 4 раза. Сверь с блоком «F · r²» под сценой — произведение не изменилось.
Нажми «q₁ ×2»: сила стала вдвое больше. Теперь удвой ещё и q₂ слайдером — сила выросла уже в 4 раза.
Выбери сцену «Большой и малый» (20 и 0,5 нКл). У какого шарика стрелка длиннее? У обоих одинаковая — третий закон Ньютона.
Нажми «Отпустить заряды» для притяжения и для отталкивания. При сближении сила растёт и шарики разгоняются всё быстрее, при разлёте сила тает и скорость почти перестаёт расти.

Где это встречается

Расчёска и бумажки: расчёска, потёртая о волосы, набирает заряд в несколько нанокулонов и притягивает обрывки бумаги. Это тот же закон Кулона: в бумаге «наводится» заряд противоположного знака, который ближе к расчёске.
Атом: электрон удерживается у ядра силой Кулона. В атоме водорода (r ≈ 5,3·10⁻¹¹ м) она всего ≈ 8·10⁻⁸ Н, но для электрона массой 9,1·10⁻³¹ кг это ускорение порядка 10²³ м/с².
Электрофильтры на заводах и лазерные принтеры: заряженные частицы пыли или тонера притягиваются к пластине или барабану с противоположным зарядом.

Графики: как сила зависит от расстояния и заряда

Слева — F(r), гипербола 1/r². Ромбики показывают «а что, если r вдвое меньше или вдвое больше»: сила ×4 и ÷4. Справа — F(q₁): прямая, потому что сила прямо пропорциональна заряду. Внизу — энергия во время движения после «Отпустить заряды».

Сила от расстояния F(r): обратный квадрат

Сила от заряда F(q₁): прямая пропорциональность

Энергия при движении: потенциальная переходит в кинетическую, полная не меняется

Нажми «Отпустить заряды» — здесь появится график энергии

Готовые сцены

q₁ первый заряд 5,0 нКл

+ −

q₂ второй заряд 5,0 нКл

+ −

+ + / − − — одинаковые знаки — отталкивание
+ − — разные знаки — притяжение

r расстояние между центрами 0,40 м

Попробуй в один клик

m масса каждого шарика 0,20 г

Скорость показа

Показывать

силовые линии поля и бегущие точки

свечение — потенциал поля

линейку расстояния r

Модель: два точечных заряда в вакууме, k = 9·10⁹ Н·м²/Кл² (школьное значение). В режиме «Отпустить заряды» шарики одинаковой массы m стартуют без скорости; тяжести и сопротивления воздуха нет, шарики касаются при r ≈ 0,08–0,12 м. Движение считается точной формулой, а не по шагам.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Закон Кулона

$$F = k\,\frac{|q_1|\,|q_2|}{r^2}$$

Модуль силы, с которой два точечных заряда в вакууме действуют друг на друга

▶ Подробное объяснение

Сила, с которой один точечный заряд действует на другой, пропорциональна произведению модулей зарядов |q₁|·|q₂| и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними. Знаки в формулу не входят — они задают лишь направление: одинаковые знаки — отталкивание, разные — притяжение (на сцене стрелки F₁ и F₂ либо расходятся, либо сходятся). Силы на оба заряда равны по модулю и противоположны по направлению — это третий закон Ньютона. Обратный квадрат — главная часть формулы: расстояние вдвое меньше — сила в 4 раза больше, втрое меньше — в 9 раз. Пример: q₁ = q₂ = 5 нКл = 5·10⁻⁹ Кл, r = 0,4 м → F = 9·10⁹ · (5·10⁻⁹)² / 0,4² ≈ 1,4·10⁻⁶ Н. Закон верен для точечных зарядов (или шариков, много меньших r) в вакууме.

Постоянная Кулона

$$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9\cdot10^{9}$$

Коэффициент в законе Кулона для вакуума: k ≈ 9·10⁹ Н·м²/Кл², ε₀ ≈ 8,85·10⁻¹² Ф/м

▶ Подробное объяснение

Постоянная k связывает заряды, расстояние и силу в СИ: k = 1/(4πε₀) ≈ 9·10⁹ Н·м²/Кл² (точнее 8,99·10⁹; в школьных задачах берут 9·10⁹, и симулятор считает именно так). Она почти на 20 порядков больше гравитационной постоянной G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг², поэтому электрические силы почти всегда сильнее гравитационных: на уровне атомов гравитацией можно пренебречь, а на уровне планет заряды нейтрализуют друг друга, и побеждает тяготение. В среде с диэлектрической проницаемостью ε сила уменьшается в ε раз: F = k·|q₁q₂| / (ε·r²). Для воды ε ≈ 81, поэтому в воде заряды взаимодействуют почти в 80 раз слабее, чем в вакууме, — именно поэтому соль в воде распадается на ионы.

Взаимодействие через электрическое поле

$$E = k\,\frac{|Q|}{r^2},\qquad F = |q|\,E$$

Один заряд создаёт электрическое поле, другой чувствует силу в этом поле: «действие на расстоянии» заменено полем

▶ Подробное объяснение

Закон Кулона удобно записывать через поле. Заряд Q на расстоянии r создаёт электрическое поле напряжённостью E = k·|Q|/r² (единица — Н/Кл), а на заряд q в этом поле действует сила F = |q|·E. Подставь E — и получится исходный закон Кулона. Поле объясняет, как заряды «знают» друг о друге: взаимодействие передаётся полем со скоростью света, а не мгновенно. На сцене силовые линии — это и есть картинка поля: чем гуще линии, тем сильнее поле. Если вдвое уменьшить r, поле в точке второго заряда вырастет в 4 раза, а с ним и сила F = qE. Пример: Q = 5 нКл, r = 0,4 м → E = 9·10⁹ · 5·10⁻⁹ / 0,4² ≈ 280 Н/Кл; на такой же заряд q = 5 нКл действует F = 280 · 5·10⁻⁹ ≈ 1,4·10⁻⁶ Н — то же число, что в панели измерений.

Сравнение с законом всемирного тяготения

$$F_g = G\frac{m_1m_2}{r^2},\qquad G \approx 6.67\cdot10^{-11}$$

Оба закона обратно квадратичны, но электрическая сила на много порядков больше, а гравитация только притягивает

▶ Подробное объяснение

Закон Кулона и закон всемирного тяготения устроены одинаково: произведение «источников» в числителе, квадрат расстояния в знаменателе. Различаются константы и знаки: k ≈ 9·10⁹ против G ≈ 6,67·10⁻¹¹ (в G масса в кг, Н·м²/кг²), а электрические заряды бывают двух знаков и могут отталкиваться, тогда как масса только притягивает. Пример: два шарика по 1 г с зарядом по 1 мкКл на расстоянии 1 см взаимодействуют с силой F = 9·10⁹ · (10⁻⁶)² / (10⁻²)² = 90 Н. Вес каждого шарика всего 0,0098 Н — электрическая сила примерно в 9000 раз больше. А сила их гравитационного притяжения G·m²/r² ≈ 6,7·10⁻¹³ Н меньше кулоновской примерно в 10¹⁴ раз. Для двух протонов это отношение ≈ 10³⁶.

Потенциальная энергия двух зарядов

$$E_{\text{п}} = k\,\frac{q_1 q_2}{r}$$

Энергия взаимодействия пары точечных зарядов: положительна при отталкивании, отрицательна при притяжении

▶ Подробное объяснение

Энергия взаимодействия двух точечных зарядов равна Eп = k·q₁q₂/r, причём заряды берутся со знаками. При отталкивании (q₁q₂ > 0) энергия положительна и растёт при сближении: чтобы сдвинуть одноимённые заряды, надо совершить работу. При притяжении (q₁q₂ < 0) энергия отрицательна: чем ближе заряды, тем она меньше. Если отпустить заряды, потенциальная энергия переходит в кинетическую: Eп + Eк = const. Так в режиме «Отпустить заряды»: при разлёте Eп падает до нуля, и вся энергия становится кинетической, а скорость каждого шарика стремится к v = √(k|q₁q₂| / (m·r₀)). Пример: q₁ = q₂ = 5 нКл, r = 0,4 м → Eп = 9·10⁹ · 25·10⁻¹⁸ / 0,4 ≈ 5,6·10⁻⁷ Дж.

Что здесь происходит. Два маленьких заряженных шарика лежат на одной линии. Красный — положительный заряд «+», синий — отрицательный «−». Каждый шарик действует на другой силой — это сила Кулона. Если знаки одинаковые (+ + или − −), шарики отталкиваются; если разные — притягиваются. На сцене силу показывают стрелки F₁ и F₂: зелёные при притяжении, оранжевые при отталкивании. Цветные линии — электрическое поле зарядов: они выходят из «+» и входят в «−», а бегущие по ним точки показывают направление поля.

Закон Кулона: F = k·|q₁|·|q₂| / r². Сила пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Заряд вдвое больше — сила вдвое больше. Расстояние вдвое больше — сила в 4 раза меньше, втрое — в 9 раз. Проверить это просто: блок «F · r²» под сценой показывает, что при любом расстоянии произведение остаётся равным k·|q₁|·|q₂|, пока заряды не менялись. Постоянная k ≈ 9·10⁹ Н·м²/Кл² огромна, а заряды здесь крошечные — нанокулоны (1 нКл = 10⁻⁹ Кл, это около 6 миллиардов электронов), поэтому и сила получается в микроньютонах. Для сравнения: два заряда по 1 Кл на расстоянии 1 м отталкивались бы с силой 9·10⁹ Н — это вес около 900 тысяч тонн.

Третий закон Ньютона. Первый заряд действует на второй с той же силой, с какой второй действует на первый, только в обратную сторону. Поэтому стрелки F₁ и F₂ всегда одной длины — даже если один заряд в 40 раз больше другого (сцена «Большой и малый»). Большой заряд не «сильнее»: сила зависит от произведения q₁·q₂, а оно у пары общее.

Режим «Отпустить заряды». Шарики одинаковой массы m стартуют без скорости. При притяжении сила растёт по мере сближения, поэтому шарики разгоняются всё быстрее и сталкиваются. При отталкивании сила убывает с расстоянием, и скорость стремится к предельному значению. Движение считается точными формулами из закона сохранения энергии, а не по шагам. Потенциальная энергия пары Eп = k·q₁q₂/r превращается в кинетическую, а их сумма остаётся постоянной — это видно на графике энергии.

Как пользоваться. Перетащи любой шарик мышью или пальцем, подвигай слайдеры q₁, q₂, r. Кнопки «r ×2», «r ÷2», «q₁ ×2» и «знак q₂» ставят эксперимент в один клик и сразу объясняют результат. На вкладке «Измерения» — силы, поле, «вес-эквивалент» и прогноз движения. Проверь себя: при q₁ = q₂ = 5 нКл и r = 0,40 м сила равна примерно 1,4·10⁻⁶ Н, а при r = 0,20 м — уже 5,6·10⁻⁶ Н.