Полная электрическая цепь: ЭДС и внутреннее сопротивление

Батарейка — не идеальный «насос»: у неё есть внутреннее сопротивление r. Крути ЭДС ε, r и нагрузку R, размыкай ключ, устраивай короткое замыкание — и смотри, куда уходят вольты и ватты. Провода окрашены по потенциалу, а белый кружок показывает путь одного заряда по всей цепи.

цвет провода — потенциал: синий = 0 В, красный = ε ●движущиеся заряды (больше ток — быстрее) белый кружок — один и тот же заряд на схеме и на профиле ✱искры — тепло (в R — польза, в r — потери)

Профиль потенциала: путь одного заряда

Белый кружок — один заряд. Источник «поднимает» его на ε (как насос), дальше он скатывается по двум склонам: сначала внутри источника (на r), потом по внешней цепи (на R). Чем круче склон, тем больше сопротивление. После полного круга заряд возвращается на тот же уровень.

Суть за 30 секунд

ЭДС — это «насос» для заряда

Батарейка не создаёт заряды — они уже есть в проводах. Она работает как насос в водопроводе: поднимает заряд на «высоту» ε (вольт — это высота, измеренная в энергии на единицу заряда). Дальше заряд сам скатывается по цепи и по пути отдаёт энергию — греет лампочку, нагревает провода.

У батарейки есть своё сопротивление

Внутри любого источника — химия, электролит, пластины: току они тоже мешают. Это внутреннее сопротивление r. Поэтому часть «высоты» ε теряется ещё внутри: ε = U_R + U_r. На клеммах остаётся U_R = ε − I·r — это видит вольтметр и это получает нагрузка.

Нагрузка меняет всё

Чем больше R, тем меньше ток и меньше потери внутри — напряжение на клеммах приближается к ε (при обрыве оно равно ε). Чем меньше R, тем больше ток и тем сильнее «проседает» напряжение. При R = 0 — короткое замыкание: ток ε/r, и всё тепло выделяется внутри источника.

Попробуй сам

Нажми на ключ на схеме — цепь разомкнётся, и вольтметр покажет полную ЭДС ε. Замкни ключ: показание станет меньше. Куда делась разница? Посмотри на оранжевую часть полоски «Куда делась ЭДС».
Двигай R от 50 Ом к нулю. Ток растёт, а напряжение на клеммах падает. Это и есть «просадка» батарейки под нагрузкой — и красная точка на графике U(R) бежит вниз.
Включи опыт «Короткое замыкание» (R = 0): вольтметр показывает 0 В, ток максимален, батарейка краснеет. Почему соединять клеммы проводом — плохая идея?
Найди R, при котором мощность на нагрузке наибольшая (зелёная кривая на правом нижнем графике). Проверь: это R = r. А какой КПД? Всего 50 %!
Подними r до 8 Ом — получилась «севшая» батарейка: ток мал, и на клеммах остаётся меньше половины ЭДС. Теперь выбери режим «Лаборатория» и найди ε и r спрятанной батарейки.

Где это встречается

Автомобильный аккумулятор: его r — сотые доли ома, поэтому он даёт стартёру сотни ампер. Но замкнуть его клеммы ключом нельзя — металл раскалится.
Почему «садится» батарейка: со временем её r растёт, и фонарик получает всё меньше напряжения. Вольтметр без нагрузки покажет почти те же 1,5 В — а под нагрузкой они «проваливаются».
Предохранители и автоматы в щитке: они обрывают цепь, когда ток слишком велик, — раньше, чем короткое замыкание успеет всё расплавить.
Радиотехника: передатчик и антенну согласуют (R ≈ r), чтобы передать максимум мощности — пусть КПД при этом всего 50 %.

Четыре графика цепи

Жёлтая точка — текущее состояние. Двигай ползунки и следи за ней.

U(I): прямая источника и прямая нагрузки. Их пересечение — рабочая точка. Зелёный прямоугольник — полезная мощность, красный — потери внутри

I(R): с ростом R ток убывает; при R = 0 его ограничивает только r (пунктир — ток короткого замыкания)

U(R): напряжение на клеммах растёт к ε, но не достигает его; оранжевая кривая — потери внутри источника

Универсальная картина (по оси — R/r): мощность на нагрузке максимальна при R = r, но КПД там лишь 50 %

Режим

Быстрые опыты

ε ЭДС источника

r внутреннее сопротивление

R сопротивление нагрузки

Что бежит по проводу

Скорость показа

Числа считаются по точным формулам и не зависят от частоты кадров и «скорости показа». Скорость бегущих точек условная: чем больше ток, тем быстрее, но при огромных токах она ограничена, чтобы точки не слились в полосу. Настоящая скорость дрейфа электронов в проводе — доли миллиметра в секунду. Направление тока — условное: от «+» источника по внешней цепи к «−».

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Закон Ома для полной цепи

$$I = \frac{\varepsilon}{R + r}$$

Ток определяется ЭДС и суммой внешнего и внутреннего сопротивлений

▶ Подробное объяснение

r — сопротивление самого источника (батарейки, аккумулятора, генератора): в нём электрическая энергия частично превращается в тепло, ещё до того как ток дойдёт до нагрузки. Поэтому в знаменателе стоит не только R, а R + r — сопротивление всего круга целиком. Числа: ε = 12 В, r = 1 Ом, R = 5 Ом → I = 12/(5 + 1) = 2 А. Если забыть про внутреннее сопротивление, получится 12/5 = 2,4 А — на 20 % больше, и именно такая ошибка стоит балла на экзамене. Предельные случаи: R = 0 (короткое замыкание) даёт наибольший возможный ток ε/r; R → ∞ (обрыв) даёт I → 0.

Напряжение на клеммах и разложение ЭДС

$$\varepsilon = U_R + U_r,\qquad U_R = IR = \varepsilon - Ir$$

ЭДС делится на напряжение на клеммах (его получает нагрузка) и потерю внутри источника

▶ Подробное объяснение

Вольтметр на клеммах показывает не ЭДС, а U_R = ε − I·r: на пути через сам источник заряд теряет U_r = I·r. Чем больше ток, тем сильнее «просадка». Числа: ε = 12 В, I = 2 А, r = 1 Ом → U_r = 2 В, U_R = 12 − 2 = 10 В. Проверка через нагрузку: I·R = 2·5 = 10 В. Совпало. Только при разомкнутой цепи I = 0, поэтому U_r = 0 и U_R = ε: именно так ЭДС и измеряют вольтметром. Полоска «Куда делась ЭДС» в симуляторе всё время делится на эти две части.

Правило обхода контура

$$\varepsilon - Ir - IR = 0$$

За полный круг заряд возвращается на тот же потенциал: подъём в источнике равен сумме падений

▶ Подробное объяснение

Это закон Ома для полной цепи, записанный как «баланс высот». Источник поднимает заряд на ε; на внутреннем сопротивлении потенциал падает на I·r, на нагрузке — на I·R. После полного круга заряд оказывается на том же уровне, с которого начал, значит подъёмы и падения равны. Числа: +12 − 2 − 10 = 0. На «профиле потенциала» это видно как замкнувшаяся ломаная: белый кружок возвращается в ту же точку. Крутизна склона на профиле — это сопротивление: нагрузка 5 Ом «круче» внутреннего 1 Ом. При разомкнутом ключе тока нет, и все ε падают на промежутке ключа.

Короткое замыкание и обрыв цепи

$$R = 0:\ I_{\text{кз}} = \frac{\varepsilon}{r},\ U_R = 0;\qquad R \to \infty:\ I = 0,\ U_R = \varepsilon$$

Два крайних случая: ток ограничен только r, либо тока нет вовсе

▶ Подробное объяснение

При R = 0 у тока нет нагрузки, и его ограничивает только внутреннее сопротивление. Для ε = 12 В и r = 1 Ом это 12 А, а вся мощность I²r = 144 Вт выделяется внутри источника — он быстро перегревается. У автомобильного аккумулятора r ≈ 0,01 Ом, и ток короткого замыкания достигает сотен ампер. При обрыве (R → ∞ или разомкнутый ключ) тока нет, внутри источника ничего не теряется, и вольтметр на клеммах показывает ровно ε. На этом основано измерение: ε — вольтметром на разомкнутой батарейке; r = (ε − U)/I — по одному замкнутому измерению. Именно это нужно сделать в режиме «Лаборатория».

Вольт-амперная характеристика источника

$$U = \varepsilon - I\,r$$

Напряжение на клеммах линейно убывает с ростом тока; наклон прямой равен r

▶ Подробное объяснение

На графике U(I) источник — прямая, которая стартует из точки (0; ε) и доходит до оси токов в точке I_кз = ε/r. Нагрузка — другая прямая, U = I·R, проходящая через начало координат. Рабочая точка цепи — их пересечение: именно там выполняются сразу оба уравнения. Меняя R, ты поворачиваешь прямую нагрузки, как стрелку, а рабочая точка скользит вдоль прямой источника. Площадь зелёного прямоугольника U·I — полезная мощность на нагрузке; красный прямоугольник над ним (высота I·r, ширина I) — потери внутри. Вместе они образуют прямоугольник ε·I — полную мощность.

Баланс мощности

$$P = \varepsilon I = I^2 R + I^2 r$$

Вся мощность источника делится на полезную (на нагрузке) и потери (нагрев внутри источника)

▶ Подробное объяснение

Если умножить правило обхода ε = I·R + I·r на ток I, получится баланс мощности: то, что источник отдаёт (εI), равно сумме тепла на нагрузке (I²R) и тепла внутри источника (I²r). Числа: ε = 12 В, I = 2 А → P = 24 Вт. Нагрузка получает I²R = 4·5 = 20 Вт, внутри источника теряется I²r = 4·1 = 4 Вт: 20 + 4 = 24. Эти два числа показаны в полоске «Куда уходит мощность». При коротком замыкании полезная мощность равна нулю, и вся мощность εI = ε²/r греет сам источник.

КПД источника

$$\eta = \frac{P_R}{P} = \frac{R}{R + r} = \frac{U_R}{\varepsilon}$$

Доля мощности, которая достаётся нагрузке; растёт с ростом R

▶ Подробное объяснение

КПД — это отношение полезной мощности к полной. Так как ток один и тот же, оно сводится к отношению сопротивлений R/(R + r) или к отношению напряжений U_R/ε. Числа: R = 5 Ом, r = 1 Ом → η = 5/6 ≈ 83 %. Чтобы получить 90 %, нужно R = 9r = 9 Ом. При R = r КПД ровно 50 %, а при R ≪ r почти вся энергия греет сам источник. Обрати внимание: КПД не зависит от ЭДС. Если удвоить ε, ток и все мощности вырастут, но доля, которая достаётся нагрузке, останется той же.

Максимальная мощность на нагрузке

$$P_R = \frac{\varepsilon^2 R}{(R + r)^2}\ \le\ \frac{\varepsilon^2}{4r},\qquad P_{\max}\ \Leftrightarrow\ R = r$$

Мощность на нагрузке максимальна при R = r, но КПД тогда всего 50 %

▶ Подробное объяснение

Мощность на нагрузке P_R = I²R сначала растёт с R (ток почти не падает, а R больше), потом убывает (ток падает быстрее). Максимум — ровно при R = r. Это можно показать и без производной: (R + r)² ≥ 4Rr, поэтому P_R ≤ ε²/(4r), равенство — при R = r. Числа: ε = 12 В, r = 1 Ом. R = 1 Ом: I = 6 А, P_R = 36 Вт = ε²/(4r) — максимум. R = 5 Ом: P_R = 20 Вт. R = 0,5 Ом: I = 8 А, P_R = 32 Вт. Видно: и меньше, и больше r — мощность меньше. На универсальном графике (по оси — R/r) кривая мощности и кривая КПД пересекаются при R = 3r, где обе равны 75 %. Согласование R ≈ r выгодно, когда важна мощность (радиопередатчик), и невыгодно, когда важна экономия энергии.

Закон Ома для полной цепи: I = ε/(R + r). Источник тока — не идеальный «кран с напряжением»: внутри него есть своё сопротивление r. Поэтому ток ограничен не только нагрузкой R, но и самой батарейкой, а реальный ток всегда меньше, чем ε/R. Самое частое заблуждение — путать ЭДС и напряжение на клеммах. ЭДС ε — это энергия, которую источник сообщает единице заряда (измеряется в вольтах). А вольтметр на клеммах работающего источника показывает U_R = ε − I·r = I·R. Часть ЭДС, U_r = I·r, «съедается» внутри источника, и всегда выполняется ε = U_R + U_r. Только при разомкнутой цепи (I = 0) вольтметр показывает ровно ε — так ЭДС и измеряют. Нагрузка управляет всем. Чем больше R, тем меньше ток, меньше потери внутри и выше напряжение на клеммах; чем меньше R, тем больше ток и сильнее «просадка» напряжения. При R = 0 (короткое замыкание) ток достигает I_кз = ε/r, на клеммах 0 В, а вся мощность εI превращается в тепло внутри источника. Именно поэтому короткое замыкание опасно, а цепи защищают предохранителями. Энергетика цепи. Полная мощность источника P = εI делится на полезную P_R = I²R и потери P_r = I²r. КПД источника η = P_R/P = R/(R + r) растёт с ростом R, но мощность на нагрузке P_R = ε²R/(R + r)² имеет максимум при R = r: P_max = ε²/(4r), а КПД при этом всего 50 %. Поэтому, чтобы не тратить энергию зря, берут R ≫ r, а чтобы получить максимум мощности (например, в радиотехнике), — R ≈ r. Как пользоваться симулятором. Крути три ползунка или нажимай на ключ прямо на схеме. Цвет провода показывает потенциал (синий — 0 В, красный — ε), а на «профиле потенциала» видно, как один заряд поднимается на ε в источнике и скатывается по двум склонам — на r и на R. Режим «Угадай» проверит, понимаешь ли ты, как меняются ток, напряжение, КПД и мощность; в «Лаборатории» по показаниям вольтметра и амперметра ты найдёшь спрятанные ε и r — так их измеряют и в школьной лаборатории.