Вихревое электрическое поле

Переменное магнитное поле порождает электрическое поле особого вида — вихревое. Его линии не начинаются на зарядах, а замыкаются в кольца вокруг области, где меняется B. Меняй скорость изменения поля dB/dt, двигай пробный контур и смотри, как кольца E разворачиваются в тот момент, когда B начинает убывать.

Что есть что на сцене

Синие стрелки и цилиндр — магнитное поле B: оно есть только внутри цилиндра радиусом R = 10 см и направлено вверх или вниз. Длина стрелки пропорциональна |B|, а когда B = 0, стрелки исчезают.
Оранжевые кольца с бегущими огоньками — линии вихревого поля E: это электрическое поле без зарядов: линии замкнуты и опоясывают область, где меняется B. Огоньки бегут туда, куда поле толкает положительный заряд; чем ярче и быстрее — тем сильнее E.
Красные стрелки — вектор E в точке: стрелка касается кольца, её длина пропорциональна |E|, а направление меняется вместе со знаком dB/dt.
Зелёное кольцо с «+» — твой пробный контур: проволочная петля, её радиус r задаёт ползунок. Поле E гонит по ней положительные заряды; работа поля за один обход — это ЭДС ℰ.
Свечение на полу — карта силы |E|: ярче там, где поле сильнее: тёмный центр, максимум у синей границы R и постепенное затухание наружу.

dB/dt — скорость изменения B 0,34 Тл/с

Как меняется B

B — индукция (двигай сам) 0,000 Тл

r — радиус пробного контура 14,0 см (1,40 R)

Скорость показа (замедление) 1,00×

Показывать

Магнитное поле B

Векторы E

Пробный контур

Карту |E| на полу

Автовращение камеры

Масштаб реальный: R = 10 см, B ≤ 0,2 Тл, поэтому E измеряется в милливольтах на метр. Модель — длинный цилиндр: поле одинаково на любой высоте.

Суть за 30 секунд

Меняется B — рождается E

Электрическое поле бывает не только у зарядов. Если магнитное поле меняется (растёт или убывает), вокруг него возникает вихревое электрическое поле — даже в пустоте, без единого заряда. Пока B постоянно, пусть даже самое сильное, E = 0: важна не величина B, а скорость её изменения dB/dt.

Линии E — замкнутые кольца

У поля заряда линии начинаются на «+» и кончаются на «−». У вихревого поля начала нет: линии кружат вокруг области, где меняется B. Направление даёт правило Ленца: B растёт — E идёт по часовой стрелке (вид сверху), B убывает — против. Развернулось B — развернулось всё кольцо.

Снаружи B нет, а E есть

Внутри цилиндра E растёт от нуля на оси до максимума на границе: E = r/2·|dB/dt|. За границей магнитного поля нет, но E не пропадает, а убывает как 1/r: E = R²/(2r)·|dB/dt|. Любое кольцо вокруг цилиндра «чувствует» изменение потока внутри — на этом работает трансформатор.

Попробуй сам

Нажми «dB/dt ×2»: поле E станет вдвое сильнее — кольца побегут быстрее, красные стрелки удлинятся, а пик на графике |E|(r) вырастет вдвое.
Нажми «dB/dt = 0»: B остаётся, но вихревое поле исчезает — кольца замерли и погасли. Постоянное магнитное поле вихревого E не создаёт.
Следи за моментом, когда синие стрелки разворачиваются: ровно тогда E меняет направление (на сцене появится подсказка). Включи «Синусоидально» — когда B максимально, E = 0 (B есть, а E нет!).
Передвинь пробный контур внутрь (R/2), на границу (R) и наружу (2R): ЭДС растёт как r², пока контур внутри, и перестаёт расти, когда он охватил всё поле. А напряжённость E на самой проволоке максимальна на границе.
Выбери режим «Руками» и двигай ползунок B: быстро — E сильное, медленно — слабое, остановился — E исчезло. Так работает рука, которая вдвигает магнит в катушку.

Графики: как E зависит от места и времени

Слева — сила поля вдоль радиуса: на оси ноль, пик на границе цилиндра, дальше спад как 1/r. В центре — B(t) и скорость её изменения dB/dt(t): E подчиняется именно второй кривой, а не первой. Справа — E в трёх точках: знак у всех один и меняется одновременно, потому что все они реагируют на одно и то же изменение потока.

|E| на разных расстояниях r от оси (зелёная точка — твой контур)

B(t) и скорость её изменения dB/dt(t)

E в трёх точках со временем

Где это работает в жизни

ТрансформаторПеременный ток в первичной обмотке постоянно меняет B в сердечнике. Вихревое E гонит ток по вторичной обмотке — без проводов между ними.

Индукционная плитаКатушка под стеклом создаёт быстро меняющееся B. Вихревое E разгоняет электроны в дне кастрюли по кругу — металл греется сам, а стекло остаётся холодным.

БетатронУскоритель электронов, в котором частицу разгоняет само вихревое электрическое поле, пока растёт магнитное поле, — ровно как красные стрелки на сцене.

Беспроводная зарядкаКатушка в зарядке создаёт переменное B, а в катушке телефона вихревое E наводит ЭДС и заряжает батарею.

МеталлоискательПеременное B катушки наводит вихревые токи в найденной монете, а их собственное поле ловит детектор.

Что почитать дальше

Магнит и катушкаТот же закон Фарадея в реальном опыте: магнит проходит сквозь катушку, а гальванометр показывает ток. Полная цепь с ЭДСКак ЭДС гонит ток по замкнутой цепи: здесь ты видел само поле, там — его результат. Электромагнитная волнаМеняющееся B порождает E, а меняющееся E — снова B: так рождается свет.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Закон Фарадея: циркуляция вихревого поля

$$\oint \vec{E}\, d\vec{l} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$$

Работа поля E по замкнутому контуру равна ЭДС индукции и не равна нулю — поле непотенциальное

▶ Подробное объяснение

Левая часть — работа электрического поля, когда единичный положительный заряд проводят один раз вокруг контура; правая — скорость изменения магнитного потока через контур. Минус — правило Ленца: индуцированное поле противодействует изменению потока. Для контура радиусом R = 0,1 м при dB/dt = 1 Тл/с циркуляция равна πR²·dB/dt ≈ 31 мВ. Это ненулевая работа по замкнутому пути — именно то, чего электростатическое поле дать не может: у него линии начинаются и заканчиваются на зарядах, и ∮E·dl = 0 всегда.

Напряжённость внутри области магнитного поля

$$E = \frac{r}{2}\left|\frac{dB}{dt}\right|, \qquad r < R$$

Линейный рост от нуля на оси до максимума на границе r = R

▶ Подробное объяснение

Для контура радиуса r внутри цилиндра магнитный поток Φ = B·πr², поэтому E·2πr = πr²·|dB/dt| и E = (r/2)·|dB/dt|. На оси (r = 0) вихревого поля нет вовсе, на границе r = R оно максимально: при R = 0,1 м и dB/dt = 1 Тл/с получаем E = 50 мВ/м. Обрати внимание: напряжённость определяется скоростью изменения B, а не величиной самого поля — при постоянном B (dB/dt = 0) она равна нулю, хотя магнитное поле никуда не делось.

Напряжённость вне области магнитного поля

$$E = \frac{R^{2}}{2r}\left|\frac{dB}{dt}\right|, \qquad r > R$$

Поток через контур больше не растёт — поле убывает обратно пропорционально, как 1/r

▶ Подробное объяснение

Снаружи цилиндра изменяющаяся магнитная индукция целиком заключена внутри контура: Φ = B·πR² не зависит от радиуса окружности, поэтому E·2πr = πR²·|dB/dt| и E = (R²/2r)·|dB/dt|. Для R = 0,1 м и dB/dt = 1 Тл/с на расстоянии r = 2R = 0,2 м остаётся 25 мВ/м, на r = 10R — уже 5 мВ/м. Поэтому свечение на полу тускнеет к периферии, а на графике |E|(r) кривая после пика на границе спадает гиперболой.

ЭДС индукции для контура, охватывающего всё поле

$$\mathcal{E} = -\pi R^{2}\,\frac{dB}{dt}, \qquad r \ge R$$

Вне цилиндра ЭДС одинакова для любых контуров: поток через них больше не зависит от радиуса

▶ Подробное объяснение

Как только контур охватывает весь цилиндр, увеличивать его радиус бессмысленно: лишняя площадь оказывается вне поля B, и поток остаётся Φ = B·πR². Тогда ℰ = −πR²·dB/dt: при R = 0,1 м и dB/dt = 1 Тл/с получаем ℰ ≈ −31 мВ — и это значение не изменится, будет ли радиус контура 2R или 10R. На этом свойстве работают витки трансформатора и индукционные датчики: важен не размер контура, а скорость изменения потока внутри него.

Уравнение Максвелла: вихрь E и изменение B

$$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

Дифференциальная форма закона Фарадея: ротор E равен скорости изменения магнитного поля, взятой с минусом

▶ Подробное объяснение

Интегральный закон Фарадея и это локальное равенство — одно и то же уравнение, записанное по-разному. Ненулевой ротор E означает, что линии поля свёрнуты в кольца и поле не может быть потенциальным: ∮E·dl ≠ 0. Обрати внимание на связь: вихрь E порождается именно изменением B. Исчезнет dB/dt — ротор станет равен нулю, и электрическое поле либо пропадёт вовсе, либо останется кулоновским, у которого ∇×E = 0 и линии начинаются на зарядах.

Сила на заряд и ЭДС как работа поля

$$\vec F = q\vec E, \qquad \mathcal{E} = \frac{A}{q} = \oint \vec E\, d\vec l$$

Вихревое поле толкает заряд, как любое электрическое; работа на единицу заряда за один обход — это ЭДС

▶ Подробное объяснение

Вихревое поле действует на заряд q обычной силой F = qE: положительный заряд толкается по направлению E, отрицательный — против. Поэтому в проволочном кольце свободные электроны приходят в движение и возникает индукционный ток. Работа поля над зарядом за один полный обход кольца, делённая на этот заряд, и есть ЭДС: ℰ = A/q = ∮E·dl. На сцене зелёные «+» бегут по твоему контуру именно потому, что на них действует сила qE; чем длиннее красные стрелки, тем сильнее этот «толчок».

Вихревое электрическое поле возникает всякий раз, когда магнитное поле меняется во времени. Закон Фарадея в интегральной форме гласит: циркуляция электрического поля по замкнутому контуру равна скорости изменения магнитного потока через этот контур, взятой с обратным знаком, ∮E·dl = −dΦ/dt. Линии такого поля не начинаются и не заканчиваются на зарядах — это замкнутые кольца вокруг области, где меняется B. Поэтому его нельзя описать потенциалом: работа поля по замкнутому пути не равна нулю, а напряжённость в каждой точке определяется не расстоянием до заряда, а скоростью изменения магнитного поля.

Направление колец задаёт правило Ленца: индуцированное поле противодействует изменению потока. Если B направлено вверх и растёт, то при взгляде сверху E идёт по часовой стрелке; как только B начинает убывать, все кольца разворачиваются в обратную сторону. Поэтому на графике знак E повторяет знак dB/dt, а в панели измерений направление меняется ровно в те моменты, когда dB/dt проходит через ноль. При синусоидальном B это случается в моменты максимума самого B — в эти мгновения магнитное поле наибольшее, а вихревое электрическое равно нулю.

Внутри цилиндра (r < R) закон Фарадея для окружности радиуса r даёт E·2πr = πr²·|dB/dt|, то есть E = (r/2)·|dB/dt|: напряжённость растёт линейно от нуля на оси до максимума на границе. Снаружи (r > R) поток через контур больше не растёт — вся связь с B «заперта» внутри цилиндра, поэтому E = (R²/2r)·|dB/dt| убывает как 1/r. Для R = 0,1 м и dB/dt = 1 Тл/с максимум равен 50 мВ/м, а ЭДС любого контура, охватывающего цилиндр, — около 31 мВ.

В 3D-модели синие стрелки — магнитное поле B внутри прозрачного цилиндра, оранжевые кольца с бегущими огоньками — замкнутые линии E, красные стрелки — вектор напряжённости, зелёное кольцо с «+» — пробный контур, который ты двигаешь ползунком. Свечение на полу показывает, как сила поля зависит от расстояния до оси. Ползунок dB/dt задаёт скорость изменения B: при нуле поле E исчезает, хотя само магнитное поле остаётся на месте.

Посмотри на графики: слева профиль |E|(r) с пиком на границе r = R, в центре ход B(t) и dB/dt(t), справа E в трёх точках — внутри (R/2), на твоём контуре и снаружи (2R); знаки у них меняются синхронно, потому что все точки реагируют на одно и то же изменение потока. Сравни с симулятором «Магнит и катушка»: там тот же закон работает в реальном устройстве, а в симуляторе «Полная электрическая цепь» видно, как ЭДС индукции гонит ток по цепи; здесь же ты видишь само поле, которое эту ЭДС создаёт.