Заряженная частица в однородном магнитном поле

Магнитное поле не разгоняет заряженную частицу — оно только поворачивает её. Сила Лоренца F = |q|vB всегда перпендикулярна скорости, поэтому частица идёт по окружности радиуса r = mv/(|q|B), а время одного оборота T = 2πm/(|q|B) от скорости не зависит.
Потяни стрелку v₀, меняй заряд, массу и поле — и смотри, как перестраивается окружность. Три опыта: круговая орбита, влёт в полосу поля и масс-спектрометр.

Суть явления за 30 секунд

Магнит «чувствует» только движущийся заряд

Неподвижный заряд магнитное поле не замечает. Как только заряд полетел, на него начинает действовать сила Лоренца: F = |q|·v·B (когда v ⟂ B). Чем больше заряд, скорость и поле — тем сильнее сила.

Сила всегда поперёк скорости

Она не толкает вперёд и не тормозит — только поворачивает. Поэтому скорость и кинетическая энергия не меняются, а путь изгибается в окружность. Работа этой силы равна нулю.

Быстрее и тяжелее — шире, сильнее поле — уже

Радиус r = mv/(|q|B). А время одного оборота T = 2πm/(|q|B) от скорости не зависит: быстрая частица бежит по большому кругу, медленная — по малому, но за одно и то же время.

Что попробовать

Нажми «v ×2» и посмотри на графики ниже: радиус вырос вдвое, а точка на графике T(v) осталась на той же горизонтали.
Переключи знак заряда или направление поля прямо на ходу: частица развернётся, а центр окружности окажется по другую сторону от стрелки v.
Выбери «Влёт в поле» и увеличивай B: сначала частица вылетает с отклонением, а когда радиус станет меньше ширины полосы, поле разворачивает её назад.
Выбери «Масс-спектрометр»: три частицы разной массы упали на пластину в разных местах. Какая упала дальше всех и почему?

Графики: что меняется, а что нет

Сверху слева — координаты частицы: две волны, сдвинутые на четверть периода. Сверху справа — энергия: в магнитном поле она горизонтальна (пунктир показывает, как она росла бы в электрическом). Внизу — главное: радиус r растёт со скоростью, а период T — нет.

Координаты x(t) и y(t): две волны со сдвигом на ¼ периода

Энергия Eк(t): магнитное поле её не меняет

Радиус r(v): растёт вместе со скоростью

Период T(v): не зависит от скорости

Опыт

|q| модуль заряда 1,0 Кл

m масса 1,0 кг

|B| индукция поля 1,0 Тл

v скорость 3,00 м/с

α угол влёта 0°

d ширина поля 3,5 м

Что будет, если…

Замедление / ускорение показа

Тяни влево — всё замедлится (физика не меняется). Двойной щелчок — вернуть 1×

1×

0,05×1×4×

Показать

стрелка скорости v

стрелка силы Лоренца F

радиус r

след частицы

сетка в метрах

Испытание

Рисунок подгоняется под размер сцены, а числа в панели точные — они считаются по формулам. Числа в опыте учебные: у настоящего электрона заряд 1,6·10⁻¹⁹ Кл, а масса 9,1·10⁻³¹ кг.

Коротко о главном: поле заставляет частицу поворачивать, но не меняет её скорость и энергию. Пример: m = 1 кг, |q| = 1 Кл, B = 1 Тл, v = 3 м/с — радиус r = 3 м, период T = 2π ≈ 6,28 с, сила F = 3 Н. Поставь эти числа и сверь с табло. Удвой скорость кнопкой «v ×2»: радиус станет 6 м, а период останется 6,28 с.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Сила Лоренца

$$\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B},\qquad F = qvB\sin\alpha$$

Сила, с которой магнитное поле действует на движущийся заряд; при v ⟂ B её модуль F = |q|vB

▶ Подробное объяснение

Сила Лоренца — векторное произведение: F = q·v×B. Её модуль F = |q|·v·B·sin α, где α — угол между v и B. При α = 90° (частица летит поперёк поля, как в симуляторе) сила наибольшая и равна |q|vB; при α = 0° (вдоль линий поля) она равна нулю — поле такую частицу «не замечает» и она летит прямо. Направление: F ⊥ v и F ⊥ B одновременно. Для положительного заряда его находят по правилу левой руки: линии B входят в ладонь, четыре пальца направлены по скорости, отогнутый большой палец показывает силу. У отрицательного заряда сила направлена в противоположную сторону — в симуляторе это единственное, что меняет переключатель знака «+ / −». Поскольку F ⊥ v, сила не может ни разогнать, ни затормозить частицу — только повернуть её.

Радиус окружности (радиус Лармора)

$$r = \frac{mv}{|q|B}$$

Радиус окружности, по которой движется частица при v ⟂ B — из равенства mv²/r = |q|vB

▶ Подробное объяснение

Сила Лоренца играет роль центростремительной силы: m·v²/r = |q|·v·B. Сократим v — получим r = mv/(|q|B). Читать формулу просто: радиус больше у более быстрой и более тяжёлой частицы (её труднее повернуть: v и m в числителе) и меньше при сильном поле и большом заряде (B и |q| в знаменателе). Проверь кнопками «v ×2», «m ×2», «B ×2», «q ×2». Пример: m = 1 кг, |q| = 1 Кл, B = 1 Тл, v = 3 м/с даёт r = 3 м — именно эта окружность стоит по умолчанию. Если v → 0, то и r → 0: частица стоит на месте, потому что на неподвижный заряд сила Лоренца не действует.

Период, частота и циклотронная частота

$$T = \frac{2\pi m}{|q|B},\qquad f = \frac{1}{T},\qquad \omega = \frac{|q|B}{m}$$

Период обращения, частота и угловая частота — ни одна из них не зависит от скорости v

▶ Подробное объяснение

Период — это длина окружности, делённая на скорость: T = 2πr/v. Подставим r = mv/(|q|B): скорость v в числителе и знаменателе сокращается, остаётся T = 2πm/(|q|B). Это главное «чудо» формулы: быстрая частица описывает большую окружность, медленная — малую, но оборот занимает одно и то же время. Проверь: нажми «v ×2» — радиус вырастет вдвое, а точка на графике T(v) останется на горизонтальной линии. Частота f = 1/T — число оборотов в секунду, а угловая (циклотронная) частота ω = 2π/T = |q|B/m показывает, на какой угол поворачивается скорость за секунду. На этом работает циклотрон: частица обегает кольцо за одно и то же время, поэтому ускоряющее электрическое поле можно включать с постоянной частотой f = |q|B/(2πm), хотя скорость растёт. Пример: m = 1 кг, |q| = 1 Кл, B = 1 Тл даёт T = 2π ≈ 6,28 с при любой скорости.

Работа магнитной силы и кинетическая энергия

$$A = 0,\qquad E_k = \frac{mv^2}{2} = \mathrm{const}$$

Сила Лоренца перпендикулярна перемещению, поэтому её работа равна нулю и кинетическая энергия частицы постоянна

▶ Подробное объяснение

Работа силы — это A = F·s·cos β, где β — угол между силой и перемещением. У силы Лоренца β = 90° в каждой точке пути, cos 90° = 0, поэтому A = 0. По теореме о кинетической энергии ΔEк = A = 0 — значит, модуль скорости и Eк = mv²/2 не меняются. На графике Eк(t) — горизонтальная линия, а оранжевый пунктир для сравнения показывает, как росла бы энергия, если бы такая же по модулю сила действовала вдоль скорости (так ведёт себя электрическое поле: F = qE разгоняет заряд). Магнитное поле умеет только поворачивать. Импульс при этом не постоянен как вектор: его модуль mv прежний, а направление всё время меняется. Вопрос для ЕНТ: «может ли магнитное поле изменить кинетическую энергию заряженной частицы?» — нет, не может.

Влёт в полосу поля: угол отклонения

$$\sin\varphi = \frac{d}{r},\qquad r = \frac{mv}{|q|B}$$

Частица влетает перпендикулярно границе поля шириной d и вылетает, отклонившись на угол φ; при r ≤ d поле разворачивает её назад

▶ Подробное объяснение

Вне поля частица летит прямо, внутри — по дуге радиуса r. Если она входит перпендикулярно границе полосы шириной d, центр дуги лежит на линии входной границы, и из прямоугольного треугольника с гипотенузой r и катетом d получаем sin φ = d/r. Чем сильнее поле (меньше r), тем больше угол. Когда r ≤ d, частица не успевает дойти до дальней границы: она делает полуокружность и возвращается через ту же границу на расстоянии 2r от точки входа. Пример: v = 5 м/с, m = |q| = B = 1, d = 3,5 м даёт r = 5 м, sin φ = 0,7, φ ≈ 44,4°. Такие задачи про магнитное поле конечной ширины часто встречаются на ЕНТ.

Масс-спектрометр

$$x = 2r = \frac{2mv}{|q|B},\qquad m = \frac{|q|Bx}{2v}$$

Частица описывает полуокружность и падает на пластину на расстоянии x = 2r от щели — по этому расстоянию определяют массу

▶ Подробное объяснение

Частицы с одинаковой скоростью v влетают через щель в пластине перпендикулярно полю. Каждая описывает полуокружность диаметром 2r и падает на пластину на расстоянии x = 2r = 2mv/(|q|B) от щели. При одинаковых q, v и B расстояние пропорционально массе: частица вдвое тяжелее падает вдвое дальше. Измерив x, находят массу m = |q|Bx/(2v). Так разделяют изотопы (например, ¹²C и ¹³C) и определяют состав вещества в химии, медицине и криминалистике. В симуляторе при v = 3 м/с и остальных параметрах, равных 1, частицы с массами m, 1,5m и 2m падают на расстояниях 6, 9 и 12 м.

Что здесь происходит. Заряженная частица летит в магнитном поле. Пока заряд неподвижен, поле его «не замечает»; стоит заряду двигаться — на него действует сила Лоренца F = q·v×B. Она направлена строго перпендикулярно скорости. Такая сила не толкает вперёд и не тормозит, она лишь поворачивает вектор скорости — точно так же, как нить поворачивает камень, который вращают над головой. Поэтому траектория — окружность, а модуль скорости остаётся прежним.

Радиус и период. Сила Лоренца играет роль центростремительной силы: mv²/r = |q|vB, откуда r = mv/(|q|B) — радиус Лармора. Чем быстрее и тяжелее частица, тем шире круг; чем сильнее поле и больше заряд, тем он уже. Главная неожиданность — период T = 2πr/v = 2πm/(|q|B) не зависит от скорости: быстрая частица бежит по большой окружности, медленная по маленькой, но оборот занимает одно и то же время. На этом работает циклотрон: частица обегает кольцо за одно и то же время, поэтому ускоряющее электрическое поле можно включать с постоянной частотой.

Магнитное поле не совершает работы. Сила Лоренца в каждой точке перпендикулярна перемещению, поэтому A = 0, а кинетическая энергия E_к = mv²/2 постоянна. Это главное отличие от электрического поля: там сила F = qE направлена вдоль поля, разгоняет частицу, и E_к растёт. На графике E_к(t) пунктиром показано, как энергия росла бы, если бы такая же сила действовала вдоль скорости.

Куда повернёт частица. Направление вращения задают знак заряда и направление поля. Для поля «на нас» (⊙) и положительного заряда частица идёт по часовой стрелке (правило левой руки: линии B входят в ладонь, четыре пальца — по скорости, большой палец — по силе). Отрицательный заряд или поле «от нас» (⊗) разворачивают вращение. Переключи знак или поле прямо на ходу — частица сразу пойдёт в другую сторону, а центр окружности окажется по другую сторону от стрелки v.

Три опыта. «Круговая орбита» — поле везде, частица ходит по кругу; метрическая сетка и масштаб позволяют измерить радиус прямо на экране. «Влёт в поле» — поле лишь в полосе шириной d: снаружи частица летит прямо, внутри — по дуге, потом снова по прямой уже под углом φ, причём sin φ = d/r. Если радиус меньше ширины, поле разворачивает частицу назад. «Масс-спектрометр» — три частицы с одним зарядом и одной скоростью, но разной массой, падают на пластину на расстоянии 2r = 2mv/(|q|B): чем тяжелее, тем дальше. Так по следу определяют массу и разделяют изотопы.

Где это встречается. Масс-спектрометры в химии и криминалистике, ускорители частиц и циклотроны, пузырьковые камеры, электронно-лучевые трубки, магнитное поле Земли, которое отклоняет заряженные частицы солнечного ветра и рождает полярные сияния. В опыте числа учебные: у настоящего электрона заряд 1,6·10⁻¹⁹ Кл и масса 9,1·10⁻³¹ кг.

Как работать с симулятором. Нажми «Запустить» и потяни от частицы мышью — так задаётся скорость v₀. Слайдерами меняй |q|, m, |B|, v; кнопки «v ×2», «m ×2», «B ×2», «q ×2» мгновенно показывают, что меняется (пунктирная окружность — прежняя орбита, а справа на табло — r, F, Eк). В «Измерениях» все числа считаются по формулам и сверяются между собой. Включи «Испытание» и подбери параметры под заданный радиус, угол или метку на пластине.