Движение заряда в электрическом поле конденсатора: почему получается парабола

Между двумя пластинами конденсатора — однородное электрическое поле. Оно всё время толкает заряженную частицу в одну сторону, а вдоль пластин ей ничто не мешает лететь — получается парабола, как у брошенного мяча. Меняй напряжение, скорость и саму частицу и смотри: вылетит ли она, под каким углом, или врежется в пластину. Есть опыты «Осциллограф» и «Капелька висит», режим «Проверь себя» и настоящий опыт Милликена.

t где частица сейчас (перемотка)

→ v — скорость частицы → F — сила со стороны поля → E — поле (от «+» к «−») → mg — сила тяжести пластины: красная «+», синяя «−» след (синий → оранжевый: медленно → быстро) ● метки через равные промежутки времени

Суть за 30 секунд

Поле толкает заряд

Между пластинами поле однородное: в каждой точке одинаковое. На заряд действует сила F = qE, а значит, ускорение a = F/m. Знак заряда выбирает направление: «+» идёт по полю, «−» — против; масса выбирает, насколько легко частицу сдвинуть.

Два движения — независимо

Вдоль пластин ничто не толкает: частица летит с постоянной скоростью vₓ. Поперёк действует постоянная сила: v_y растёт, как у мяча, брошенного со стола горизонтально. Включи стробоскоп: через равные промежутки времени точки идут вправо на равное расстояние, а вверх (или вниз) — всё дальше (1 : 3 : 5 : 7…).

Парабола и энергия

Сложив два движения, получаем параболу. Поле совершает работу A = qΔU, и на столько же растёт кинетическая энергия. Отклонение Δy = qUl²/(2mdv₀²): растёт с U и l, падает с ростом массы и скорости — тяжёлые и быстрые частицы почти не замечают поля.

Попробуй сам

Нажми «Поменять полярность»: сила развернётся, а траектория отразится зеркально.
Выбери «Протон». Заряд тот же, а масса больше в 1836 раз — парабола почти превращается в прямую.
Уменьшай скорость влёта v₀: отклонение растёт как 1/v₀². Найди скорость, при которой частица врезается в пластину.
Включи «Экран» и «Пучок» — это осциллограф: меняй U, и светящееся пятно побежит по экрану.
Опыт «Капелька висит»: включи тяжесть и подбери U так, чтобы qE = mg.

Где это в жизни

Осциллограф и кинескоп старого телевизора: пучок электронов отклоняют две пары пластин — так рисуется изображение.
Струйный принтер: капельки чернил заряжают и отклоняют полем, чтобы они упали в нужную точку бумаги.
Электрофильтры на заводских трубах и электростатическая покраска: заряженные частицы летят к пластине вдоль поля.
Опыт Милликена: по равновесию капельки в поле измерили заряд электрона e = 1,6·10⁻¹⁹ Кл — заряд капельки всегда кратен e.

Графики: то же самое в числах

Кривые построены по точным формулам. Яркая часть — что уже было, бледная — что будет; жёлтый пунктир — «сейчас», белый — момент вылета или удара.

Вдоль пластин: за равное время — равный путь. x(t) — прямая

Поперёк пластин: путь за равное время растёт. y(t) — парабола

Скорости: vₓ не меняется, v_y растёт по прямой

Энергия: Eк растёт за счёт Eп, а сумма не меняется

Режим

Быстрые опыты

Частица

q знак заряда −

U напряжение (насколько заряжены пластины)

d зазор между пластинами

l длина пластин

v₀ скорость влёта

α угол влёта 0°

y₀/d высота влёта (доля зазора) 0.50

Скорость показа

Физика

Старт из покоя (v₀ = 0)

Учитывать силу тяжести

Показывать

стробоскоп (равные промежутки времени)

потенциал и поле между пластинами

экран (как в осциллографе)

пучок (много частиц подряд)

подсказку «как будто вылетела из середины»

Любое изменение параметров запускает опыт заново. Движение считается по точным формулам, поэтому числа не зависят от частоты кадров и от «скорости показа». Краевые эффекты у концов пластин не учитываются.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Движение вдоль и поперёк пластин

$$x = v_{0x}\,t, \qquad y = v_{0y}\,t + \frac{a t^2}{2}, \qquad a = \frac{qE}{m} = \frac{qU}{m d}$$

Вдоль пластин сил нет — равномерное движение; поперёк действует постоянное ускорение от силы F = qE

▶ Подробное объяснение

Однородное поле E = U/d действует перпендикулярно пластинам, поэтому ускорение a = qE/m = qU/(m·d) направлено поперёк пластин и по модулю постоянно во времени. Вдоль пластин сил нет, горизонтальная (вдоль l) составляющая скорости не меняется: x = v₀ₓ·t. Поперёк частица равномерно ускоряется, и координата растёт по параболическому закону y = v₀ᵧ·t + a·t²/2, скорость vᵧ = v₀ᵧ + a·t изменяется линейно. Именно поэтому график y(t) — парабола, а график vᵧ(t) — прямая с наклоном a.

Ускорение обратно пропорционально массе: при одном и том же поле электрон разгоняется в тысячи раз сильнее протона, а ион или капелька тяжёлой массы отклоняются почти незаметно.

Время пролёта и отклонение на вылете

$$t = \frac{l}{v_{0x}}, \qquad \Delta y = \frac{q\,U\,l^{2}}{2\,m\,d\,v_{0}^{2}}$$

Для влёта вдоль пластин (v₀ᵧ = 0): частица проходит длину l равномерно и отклоняется на Δy

▶ Подробное объяснение

Время нахождения в поле определяется только горизонтальной составляющей: t = l/v₀ₓ. За это время вертикальная скорость набирается до vᵧ = a·t, а отклонение равно Δy = a·t²/2 = q·U·l²/(2·m·d·v₀²). Отсюда главное практическое правило: отклонение растёт с квадратом длины пластин и с напряжением, уменьшается с ростом зазора d и с квадратом скорости влёта.

Если расчётное Δy превышает расстояние до ближайшей пластины (d/2 при влёте посередине), частица не долетит до выхода — она попадёт на пластину. Симулятор сравнивает оба времени — пролёта и удара — и считает событием то, которое наступит раньше.

Угол вылета из конденсатора

$$\operatorname{tg}\varphi = \frac{v_{y}}{v_{x}} = \frac{q\,U\,l}{m\,d\,v_{0}^{2}}$$

φ — угол между вектором скорости на вылете и направлением пластин

▶ Подробное объяснение

На вылете вектор скорости складывается из неизменного vₓ = v₀ и набранной vᵧ = a·t, поэтому tg φ = vᵧ/vₓ = q·U·l/(m·d·v₀²). Угол растёт с напряжением и длиной пластин и падает с квадратом скорости — при очень быстрой частице траектория почти прямая, при медленной частица успевает повернуться почти на 90°.

Точно так же считается и точка вылета: y = y₀ + Δy. Если она выходит за пределы пластины, частица попадает на пластину, и угол на вылете в этом случае не определяется — движение прекращается в точке удара.

Смещение пятна на экране осциллографа

$$Y = \left(L + \frac{l}{2}\right)\operatorname{tg}\varphi = \left(L + \frac{l}{2}\right)\frac{q\,U\,l}{m\,d\,v_{0}^{2}}$$

Смещение пятна пропорционально напряжению U: чем больше U, тем дальше пятно от центра экрана

▶ Подробное объяснение

Вылетев из конденсатора, частица летит по прямой под углом φ. Если провести эту прямую назад, она пройдёт через середину пластин (x = l/2). Поэтому на экране, стоящем на расстоянии L от конца пластин, смещение равно Y = (L + l/2)·tg φ. Подставив tg φ = qUl/(mdv₀²), видим, что Y пропорционально U — на этом основан осциллограф: напряжение превращается в смещение светящегося пятна.

В симуляторе нажми «Осциллограф»: включатся экран и пучок. Меняй U и смотри, как пятно бегает по экрану.

Работа поля и кинетическая энергия

$$A = qE\,\Delta y = q\,U_y = \Delta E_k, \qquad v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$$

Работа однородного поля равна изменению кинетической энергии; вторая формула — разгон из состояния покоя на всё напряжение

▶ Подробное объяснение

Сила F = qE постоянна, поэтому работа A = F·Δy = q·E·Δy зависит только от смещения вдоль поля и равна q·U_y, где U_y — падение потенциала между точками входа и выхода. По теореме о работе равнодействующей эта работа равна приращению кинетической энергии: ΔEк = A = q·E·Δy. На графике Eк(t) кривая растёт как квадрат времени в поле — это тот же параболический закон, что и в y(t).

Разгон из состояния покоя — частный случай: частица, стартовавшая у положительной пластины, проходит всё падение потенциала U и получает ½·m·v² = q·U, откуда v = √(2qU/m). Так ускоряют электроны в кинескопах и электронных пушках. Если включить силу тяжести, полярность можно подобрать так, чтобы qE = mg: равнодействующая станет нулевой, и частица полетит прямолинейно — на этом построен опыт Милликена по измерению заряда элементарного заряда.

Равновесие капельки: опыт Милликена

$$q\,E = m g \;\Rightarrow\; q = \frac{m\,g\,d}{U}, \qquad q = n\,e$$

Когда сила поля уравновешивает тяжесть, капелька висит; по напряжению зависания находят её заряд, а он всегда кратен e

▶ Подробное объяснение

Если сила поля направлена вверх и равна силе тяжести, равнодействующая равна нулю, и капелька, стартовавшая из покоя, остаётся на месте. Из условия qE = mg с E = U/d получаем q = mgd/U. Милликен измерял массу капелек и напряжения зависания и обнаружил, что заряды всегда получаются целым кратным n·e, где e = 1,6·10⁻¹⁹ Кл. Так была доказана дискретность электрического заряда.

В режиме «Опыт Милликена» у капельки спрятано число n: подбери U так, чтобы она зависла, нажми «Найти заряд» — и симулятор по твоему U сам вычислит q и n.

Плоский конденсатор — это две параллельные металлические пластины. Если подключить к ним напряжение U, одна пластина зарядится «+», другая «−», и между ними возникнет однородное электрическое поле E = U/d, где d — расстояние между пластинами. «Однородное» значит: в любой точке между пластинами поле одинаковое — той же величины и того же направления, от «+» к «−». На симуляторе его показывают фиолетовые стрелки, а шкала слева — потенциал φ: он плавно меняется от U у «+» до 0 у «−».

На заряженную частицу в таком поле действует постоянная сила F = qE. Положительный заряд она толкает по полю, отрицательный — против поля. По второму закону Ньютона ускорение a = F/m = qU/(m·d) одинаково в каждой точке между пластинами. Поэтому лёгкий электрон ускоряется в 1836 раз сильнее протона с таким же зарядом, а тяжёлая капелька почти не чувствует поля.

Разложим движение на два независимых. Вдоль пластин сил нет, значит скорость vₓ не меняется, а x = x₀ + v₀ₓ·t — равномерное движение. Поперёк действует постоянная сила, значит y = y₀ + v₀ᵧ·t + a·t²/2, а vᵧ = v₀ᵧ + a·t растёт по прямой. Это в точности как у мяча, брошенного горизонтально со стола, только вместо тяжести — сила поля. Складываем два движения — получаем параболу. Включи «стробоскоп»: за равные промежутки времени точки смещаются вправо на одинаковое расстояние, а вверх (или вниз) — на всё большее, как 1 : 3 : 5 : 7.

Время полёта через конденсатор t = l/vₓ. Для влёта вдоль пластин отклонение на выходе Δy = qUl²/(2mdv₀²), а угол вылета tg φ = vᵧ/vₓ = qUl/(mdv₀²). Чем быстрее частица, тем меньше она успевает отклониться; чем тяжелее — тоже. Если рассчитанное Δy больше расстояния до ближайшей пластины (d/2 при влёте посередине), частица не успеет выйти и попадёт на пластину. Симулятор находит момент выхода или удара решением уравнения, а не «первым кадром», поэтому числа точные.

Есть красивый факт: продолжение скорости на вылете, проведённое назад, проходит через середину пластин (x = l/2). Включи подсказку «как будто вылетела из середины» и проверь. Поэтому на экране, стоящем на расстоянии L от конца пластин, пятно смещается на Y = (L + l/2)·tg φ — так работает отклоняющая система осциллографа и старого кинескопа: меняем напряжение U — пятно бежит по экрану.

Энергия. Поле совершает работу A = qEΔy = qΔU, и ровно на столько растёт кинетическая энергия: ΔEк = A. Для частиц удобна единица электронвольт: 1 эВ = 1,6·10⁻¹⁹ Дж — энергия, которую набирает электрон, пройдя разность потенциалов 1 В. Из покоя через всё напряжение U частица разгоняется до v = √(2|q|U/m) — так работает электронная пушка. На графике энергии Eк растёт, потенциальная энергия Eп убывает, а их сумма — горизонтальная линия: энергия сохраняется.

Сила тяжести. Для электрона она в 10¹⁴ раз слабее силы поля — её просто выбрасывают. А для микроскопической капельки масла силы сравнимы, и можно подобрать напряжение так, чтобы qE = mg: капелька зависнет, причём q = mgd/U. В 1909 году Милликен именно так измерял заряды капелек и увидел, что они всегда кратны одному числу — заряду электрона e = 1,6·10⁻¹⁹ Кл. Включи режим «Опыт Милликена»: у капельки спрятано неизвестное число лишних электронов — подбери U так, чтобы она зависла, и найди это число.

Как пользоваться: нажми «Запустить» и смотри на сцену — табло справа вверху показывает реальное время и скорости (полёт длится наносекунды, на экране он растянут). Кнопки «Быстрые опыты» сами выставят интересные параметры. В режиме «Проверь себя» траектория и числа скрыты: сначала предскажи, куда отклонится частица и вылетит ли она, а потом смотри ответ.