Магнитное поле тока: провод, виток, соленоид

Постоянный ток I создаёт вокруг проводника магнитное поле с индукцией B.
Направление линий поля задаёт правило буравчика (правой руки), а величину — закон Био–Савара:
для бесконечного провода B = μ₀I / (2πr), внутри длинного соленоида B = μ₀nI.

Шкала магнитных полей: насколько сильное твоё поле? (шкала логарифмическая — вправо в разы сильнее)

Земля50 мкТл магнитик на холодильнике5 мТл МРТ-томограф1,5 Тл

Что есть что на сцене

Синие линии с бегущими огоньками — линии магнитного поля B: огоньки бегут туда, куда направлено поле. Чем линии гуще, ярче и толще, тем поле сильнее: у проводника они теснятся, вдали расходятся.
Золотые огоньки и стрелка — электрический ток I: направление тока принято считать от «+» к «−» (электроны на самом деле бегут навстречу). Чем больше ток, тем быстрее огоньки и ярче свечение.
Красно-белая стрелка в жёлтой точке — стрелка компаса: красный конец показывает направление B. Потяни жёлтую точку мышью или пальцем — стрелка развернётся вдоль поля, а числа в табло пересчитаются.
Яркая нить с красными шариками — линия B через твою точку: так поплыл бы крошечный «пробный северный полюс», если его отпустить в этой точке: он всегда движется вдоль линии поля.
Свечение на плоскости и штрихи — карта силы поля |B|: чем ярче свечение, тем поле сильнее (шкала логарифмическая). Штрихи — «железные опилки»: они выстраиваются вдоль линий B, как в школьном опыте.
Зелёная стрелка, оранжевая дуга и винт — правило руки: правило буравчика: зелёная стрелка (большой палец) — по току I, оранжевая дуга (согнутые пальцы) показывает, куда закручены линии B. Зелёный винт ввинчивается по току и вращается туда же, куда идёт поле.

Проводник

I — сила тока 5,0

r — расстояние до провода

Опыты в один клик

Показывать

Линии магнитного поля B

Линию через жёлтую точку

Карту силы поля |B|

«Железные опилки»

Правило буравчика и правой руки

Автовращение камеры

Масштаб реальный: деление сетки сцены — 5 см, ток — до 10 А. Для прямого провода формула точная, для витка и соленоида поле считается по закону Био–Савара (точно, через эллиптические интегралы).

Три проводника — прямой провод, круговой виток и соленоид — и одно поле вокруг них. Крути ток, меняй его направление, тяни жёлтую точку мышью или пальцем и смотри, как стрелка компаса разворачивается вдоль линий B, а числа на табло пересчитываются по точным формулам. Не уверен в правиле руки? Включи «Проверь себя» или «Загадочный ток».

Суть за 30 секунд

Ток создаёт магнитное поле

Возле любого провода с током стрелка компаса отклоняется — это в 1820 году заметил Эрстед. Магнит для этого не нужен: движущиеся заряды сами создают магнитное поле. Нет тока — нет поля; больше ток — сильнее поле.

Направление — по правилу руки

Линии поля замкнуты. Вокруг прямого провода это кольца: поставь большой палец правой руки по току — согнутые пальцы покажут, куда закручены линии (так же ввинчивается буравчик). У витка наоборот: пальцы по току в витках, а большой палец показывает B внутри. Поменяй ток — всё развернётся.

Сильнее: ближе, больше ток, больше витков

У прямого провода поле убывает как 1/r: вдвое дальше — вдвое слабее. Виток собирает поле в центре, а в соленоиде витки складывают свои поля, и внутри получается почти однородное поле B ≈ μ₀nI — как у полосового магнита. Снаружи соленоида поле слабое.

Попробуй сам

Нажми «I ×2»: ток вырос вдвое — поле в точке тоже ровно вдвое сильнее (смотри табло и график B(I) — это прямая).
У прямого провода нажми «r ×2»: отошёл вдвое дальше — поле вдвое слабее. А «Как у Земли» подберёт ток, при котором поле у провода равно полю всей планеты (≈ 50 мкТл): вблизи провода это всего несколько ампер.
Нажми «Изменить направление тока»: все линии, стрелка компаса и винт развернутся. Потом включи «Проверь себя» и угадай направление B в жёлтой точке по правилу руки, не подглядывая.
Выбери виток и нажми «Снаружи, сбоку»: линии поля, выйдя из витка, возвращаются обратно, поэтому снаружи B смотрит в противоположную сторону, чем в центре (на правом графике поле меняет знак).
Выбери соленоид и сравни «В центре», «У торца» и «Снаружи, сбоку». Внутри поле почти одинаковое, снаружи — в разы слабее. Нажми «N ×2» — при той же длине поле внутри вырастет вдвое.
Включи «Загадочный ток»: сила тока скрыта. Измерь B в точке и по формуле найди ток — так физик измеряет ток по его магнитному полю.

Графики: как B зависит от расстояния и от тока

Где это работает в жизни

ЭлектромагнитНамотали провод на железный сердечник — получили магнит, который включается и выключается током: им поднимают металлолом, а он отпускает груз, когда ток отключают.

Электрический звонок и релеТок идёт по катушке, она притягивает якорь — контакт размыкается, ток пропадает, якорь отскакивает... Так работают звонок и реле: маленьким током включают большой.

МРТ-томографОгромный соленоид со сверхпроводящей обмоткой создаёт внутри однородное поле около 1,5 Тл — в 30 000 раз сильнее земного. По отклику атомов водорода в этом поле строят снимок тела.

Динамик и наушникиВ динамике катушка с током висит в поле магнита. Звуковой сигнал меняет ток, поле катушки то притягивается к магниту, то отталкивается — мембрана качается и рождает звук.

Провод в стене и ЛЭПВокруг любого кабеля с током есть магнитное поле, пусть и слабое. Рядом с мощной ЛЭП оно заметно сильнее земного — поэтому компас у линий электропередачи ведёт себя странно.

Компас и опыт ЭрстедаСтрелка компаса — это маленький магнит, и она поворачивается вдоль B. Поднеси её к проводу с током — повернётся не на север, а вдоль линии поля провода: так Эрстед открыл связь тока и магнетизма.

Что почитать дальше

Сила АмпераЧто будет, если провод с током поместить в чужое магнитное поле: поле толкает сам провод. Сила ЛоренцаКак магнитное поле искривляет путь одной движущейся частицы — «атом» силы Ампера. Магнит и катушкаОбратный эффект: меняющееся магнитное поле само рождает ток в катушке. Вихревое электрическое полеКогда меняется B, рождается электрическое поле с замкнутыми линиями — «сестра» этого поля.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Индукция поля прямого провода

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}, \qquad \mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}$$

Бесконечный провод: B убывает как 1/r и закручивается кольцами вокруг тока; μ₀ = 4π·10⁻⁷ Гн/м

▶ Подробное объяснение

Вокруг бесконечного прямого провода с током I линии индукции — окружности с центром на проводе, лежащие в плоскостях, перпендикулярных проводу; направление задаёт правило буравчика. Закон Био–Савара, проинтегрированный по всему проводу, даёт точный результат B = μ₀I/(2πr): индукция обратно пропорциональна расстоянию r до провода — подойдёшь вдвое ближе, и поле станет вдвое сильнее. Магнитная постоянная μ₀ = 4π·10⁻⁷ Гн/м — коэффициент пропорциональности магнитного взаимодействия, а B пропорционально току: увеличил I вдвое — поле вдвое сильнее. Пример для проверки: I = 5 А, r = 6 см → B = 4π·10⁻⁷ · 5 / (2π · 0,06) ≈ 16,7 мкТл — это примерно треть магнитного поля Земли (≈ 50 мкТл). Деление сетки в симуляторе — 5 см, поэтому r на табло — реальное расстояние.

Круговой виток

$$B_0 = \frac{\mu_0 I}{2R}, \qquad B(z) = \frac{\mu_0 I R^2}{2\,(R^2+z^2)^{3/2}}$$

В центре витка поле максимально, на оси оно убывает с расстоянием; вне оси считается по закону Био–Савара

▶ Подробное объяснение

Круговой виток радиуса R с током I — это провод, свёрнутый в окружность. В центре все элементы тока дают вклад в одну сторону, и закон Био–Савара сводится к B₀ = μ₀I/(2R): при том же токе чем меньше виток, тем сильнее поле. На оси на расстоянии z от центра B = μ₀IR²/(2(R²+z²)^{3/2}): при z = 0 получаем центральное значение, а при z ≫ R поле спадает как 1/z³ — далёкий виток ведёт себя как маленький магнит (магнитный диполь). Вне оси простой формулы нет: поле выражается через полные эллиптические интегралы. Симулятор считает именно их, поэтому линии B и числа точны в любой точке. Снаружи витка линии возвращаются, и B там направлено противоположно центральному. Пример: R = 6 см, I = 5 А → B₀ = 4π·10⁻⁷ · 5 / (2 · 0,06) ≈ 52 мкТл.

Соленоид

$$B = \mu_0 n I = \frac{\mu_0 N I}{L}, \qquad n = \frac{N}{L}, \qquad B_0 = \mu_0 n I\,\frac{L}{\sqrt{L^2+4R^2}}$$

Внутри почти однородное поле, снаружи — слабое; линии замыкаются снаружи через торцы

▶ Подробное объяснение

Соленоид — N витков, намотанных на цилиндр длины L; удобно говорить о числе витков на единицу длины n = N/L. Внутри длинного соленоида поля всех витков складываются вдоль оси, и поле почти однородно: B = μ₀nI. Оно пропорционально току и густоте намотки, но не зависит от радиуса витков. Снаружи поле слабое, а линии, выйдя из одного торца, замыкаются снаружи и входят в другой — получается магнит с полюсами; направление B внутри определяет правило правой руки по току в витках. Формула μ₀nI точна только для бесконечно длинного соленоида. У короткого поле в центре слабее в L/√(L²+4R²) раза (для L = 17,5 см и R = 4 см — на 9 %), а у торца — примерно вдвое слабее, чем в середине. Симулятор складывает точные поля всех N витков, поэтому показывает эти отличия честно.

Закон Био–Савара

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\,\frac{d\vec{l}\times\vec{r}}{r^3}, \qquad B = \frac{\mu_0 I}{4\pi}\int \frac{dl\sin\alpha}{r^2}$$

Каждый элемент провода даёт вклад; направление — по векторному произведению dl × r

▶ Подробное объяснение

Закон Био–Савара — основа всех формул симулятора: индукция в точке — сумма вкладов всех маленьких отрезков dl провода с током. Вклад пропорционален току, синусу угла между отрезком и направлением на точку и обратно пропорционален квадрату расстояния; направление даёт векторное произведение dl × r по правилу правой руки. Для прямого провода сумма превращается в B = μ₀I/(2πr), для витка — в формулы центра и оси (вне оси — в эллиптические интегралы), а поле соленоида — сумма полей его витков. Симулятор считает всё это точно и сам строит линии B как линии уровня функции потока: между соседними линиями проходит одинаковый магнитный поток, поэтому там, где линии гуще, поле сильнее.

Закон циркуляции и правило буравчика

$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I, \qquad B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$

Циркуляция B по замкнутому контуру равна μ₀I: направления поля и тока связаны правилом правой руки

▶ Подробное объяснение

Правило буравчика — наглядная форма закона циркуляции (закона Ампера). Обойди контур вокруг провода и просуммируй B·dl: получится μ₀I, причём направление обхода и направление тока связаны так же, как вращение и движение винта с правой резьбой. Ввинчивай буравчик по току — ручка вращается туда же, куда закручены линии B. Для прямого провода это кольца против часовой стрелки при токе вверх (вид сверху), для витка и соленоида — направление вдоль оси внутри и возврат снаружи. Правило правой руки устроено так же: у провода большой палец по току, согнутые пальцы по линиям поля; у витка — наоборот: пальцы по току, большой палец по B. Проверка в симуляторе: на панели «Измерения» для провода B·2πr всегда равно μ₀I, на каком бы расстоянии ни стояла точка.

Провод с током — самый простой источник магнитного поля. Электроны в нём движутся упорядоченно, и это упорядоченное движение и есть ток. Вокруг прямого провода линии индукции B замыкаются в кольца; внутри длинного соленоида они почти прямые и расположены одинаково густо, а снаружи поле в разы слабее: линии выходят из одного торца, обегают катушку и входят в другой — как у постоянного магнита. Магнитное поле нельзя потрогать, поэтому в симуляторе его «видно» сразу четырьмя способами: бегущие огоньки по линиям B (они идут туда, куда направлено поле), «железные опилки», выстроенные вдоль линий, свечение карты силы поля и стрелка компаса в жёлтой точке.

Величина индукции следует из закона Био–Савара: поле в точке — сумма вкладов всех маленьких отрезков провода. Для бесконечного прямого провода получается точная формула B = μ₀I / (2πr): поле обратно пропорционально расстоянию, подошёл вдвое ближе — оно вдвое сильнее. В центре кругового витка радиуса R индукция B = μ₀I / (2R), а на оси витка на расстоянии z от центра B = μ₀IR² / (2(R² + z²)³ᐟ²). Внутри длинного соленоида с n = N / L витками на единицу длины поле однородно и равно B = μ₀nI, поэтому соленоид внутри ведёт себя как постоянный магнит. Симулятор не приближает: поле витка и соленоида он считает точно (через полные эллиптические интегралы), и потому видны тонкости, которых нет в школьных формулах: у короткого соленоида центр слабее «идеального» μ₀nI (в нашем случае на 9 %), а снаружи витка и катушки линии возвращаются обратно, и B смотрит в противоположную сторону.

Направление объясняет правило буравчика: ввинчивай винт по току — ручка повернётся туда же, куда идут линии B. Для прямого провода это привычное правило правой руки: большой палец по току, согнутые пальцы показывают, куда закручены кольца поля. Для витка и соленоида — наоборот: пальцы по току в витках, а большой палец показывает B внутри. Включи галочку «Правило буравчика и правой руки» и следи за зелёной стрелкой, оранжевой дугой и винтом: при смене направления тока всё разворачивается вместе с полем.

Потяни жёлтую точку — стрелка компаса в ней повернётся вдоль B, светящаяся нить покажет линию поля через эту точку, а табло и панель «Измерения» пересчитают индукцию с приставкой мкТл или мТл и сравнят её с магнитным полем Земли. Шкала под сценой показывает, где твоё поле на фоне магнитика на холодильнике и МРТ-томографа. Режим «Проверь себя» прячет линии и стрелку и спрашивает направление B — в том числе «с подвохом», в точке снаружи катушки. Режим «Загадочный ток» скрывает силу тока: измерь B и найди I по формуле — так физик измеряет ток по его магнитному полю.