Электромагнитная индукция: магнит и катушка

Двигай магнит сквозь катушку — в ней появляется ЭДС и ток. Смотри, как линии поля «пронизывают» витки, где ток меняет направление, почему он тормозит магнит и куда уходит энергия.
Симулятор показывает закон Фарадея ε = −N·dΦ₁/dt, правило Ленца, ток I = ε/R, силу Ленца и тепло — в реальных единицах и в настоящем масштабе.

где магнит сейчас (перемотка)

N / S — полюса магнита — линии поля, прошедшие сквозь катушку (их число = поток) ↓ v — скорость магнита ↓ F — сила Ленца на магнит ● — заряды в витках (бегут вместе с током) ↓ B′ — поле индукционного тока катушки G — стрелка гальванометра (шкала подбирается сама)

Цепочка: от движения магнита до силы на него

ЭДС возникает, потому что меняющееся магнитное поле порождает вихревое электрическое поле: подробнее — симулятор «Вихревое электрическое поле».

Масштаб сцены настоящий: линейка слева — в сантиметрах. Магнит считается точечным диполем (модель точна, когда он заметно меньше катушки), катушка тонкая — все витки в одной плоскости, самоиндукция не учитывается.

Суть за 30 секунд

Нужно движение

Магнит просто лежит рядом с катушкой — тока нет, как бы близко он ни был. ЭДС появляется, только когда число линий поля, проходящих сквозь катушку, МЕНЯЕТСЯ. Двигай магнит быстрее — линии меняются быстрее — ЭДС больше.

ЭДС = как быстро меняется поток

Поток Φ — это «сколько линий поля проходит сквозь катушку» (на сцене они голубые). ЭДС равна скорости изменения потока: ε = −N·dΦ₁/dt. В центре катушки поток наибольший, но в этот миг он не меняется — поэтому ε = 0, а ток меняет знак: получается кривая с двумя горбами.

Ток противится причине

Правило Ленца: индукционный ток течёт так, чтобы мешать изменению потока. Поэтому магнит всегда тормозится: сила Ленца направлена против скорости. Это закон сохранения энергии — чтобы получить ток, нужно совершить работу, и энергия магнита уходит в тепло.

Попробуй сам

Включи режим «Рукой» (или просто схвати магнит мышью) и двигай его туда-сюда: быстрее — ЭДС больше; остановил — ЭДС = 0, даже если магнит внутри катушки.
Нажми «Магнит в центре»: поток максимален (все ячейки Φ заполнены), а ток равен нулю. Почему? Подсказка: смотри на график ε(t).
Переверни магнит: все токи меняют направление, но сила Ленца по-прежнему тормозит магнит. Попробуй предсказать это до запуска.
Разомкни цепь: ЭДС есть, тока нет — и магнит падает как свободное тело (призрак совпадает с магнитом).
Режим «Падение», опыт «Магнит парит»: в замкнутой цепи с малым R и большим N магнит падает почти равномерно — сила Ленца уравновесила тяжесть, а вся энергия уходит в тепло.

Где это работает

Генераторы электростанций: катушки вращаются в магнитном поле — поток меняется, и в них наводится ЭДС.
Индукционная плита: переменное поле наводит в дне кастрюли вихревые токи, и посуда греется сама.
Беспроводная зарядка: катушка зарядки создаёт переменное поле, а в катушке телефона наводится ЭДС.
Гитарный звукосниматель и динамический микрофон: колебания струны или мембраны меняют поток — получается электрический сигнал.
Магнитные тормоза поездов и аттракционов: медная пластина тормозится в поле магнита без трения — это сила Ленца.

Графики одного пролёта

Поток Φ, ЭДС ε и сила Ленца F за один пролёт. Заштрихованная площадь под кривой ε(t) равна убыли потока: ∫ε dt = −ΔΦ. Обрати внимание: ток меняет направление, а сила Ленца всегда одного знака — она тормозит и на входе, и на выходе.

Замедление

Готовые опыты

Как движется магнит

v скорость магнита

Направление движения

Какой полюс сверху

N число витков

a радиус катушки

m магнитный момент (и масса)

Замкнутая цепь

R сопротивление цепи

Показывать

линии поля магнита (голубые — прошедшие сквозь катушку)

заряды в витках (бусинки)

«призрак»: где был бы магнит без катушки

Модель: магнит — точечный диполь на оси катушки, поток через виток Φ₁ = μ₀·m·a² / (2·(a²+z²)^{3/2}), ЭДС ε = −N·dΦ₁/dt, направление тока — по правилу Ленца. Движение считается точно, поэтому числа не зависят от частоты кадров и от скорости показа: показ можно замедлить, а числа и графики всегда в реальном времени. Масса магнита — 7,5 г на каждый А·м² (неодим).

Главное: ЭДС рождает не сам поток, а скорость его изменения. Отсюда кривая ε(t) с двумя горбами разного знака и нулём в центре катушки — а сила Ленца при этом всё время тормозит магнит.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Поток магнита через виток

$$\Phi_1(z) = \frac{\mu_0\, m\, a^2}{2\,(a^2+z^2)^{3/2}}, \qquad \Phi = N\,\Phi_1$$

Точечный диполь m на оси витка радиуса a, z — расстояние от магнита до плоскости витка; поток катушки — сумма по N виткам

▶ Подробное объяснение

Поток можно представлять как «число линий поля, прошедших сквозь виток». В центре катушки (z = 0) он наибольший: Φ₁ = μ₀m/(2a); радиус стоит в знаменателе, поэтому широкая катушка «собирает» меньше потока, чем узкая. Вдали (|z| ≫ a) поток убывает как 1/|z|³ — магнит надо проводить близко к виткам.

Знак потока определяется ориентацией магнита: с северным полюсом вверх при нормали вверх поток положительный, у перевёрнутого магнита — отрицательный. Полный поток катушки Φ = N·Φ₁ растёт с числом витков, поэтому и ЭДС пропорциональна N.

Закон Фарадея

$$\varepsilon = -N\,\frac{d\Phi_1}{dt} = -N\,\frac{d\Phi_1}{dz}\,v, \qquad \frac{d\Phi_1}{dz} = -\frac{3\,\mu_0\, m\, a^2\, z}{2\,(a^2+z^2)^{5/2}}$$

ЭДС — это скорость изменения потока: нужны и поток, который меняется с положением, и скорость v; в центре dΦ₁/dz = 0

▶ Подробное объяснение

Подставляя Φ₁(z) в закон Фарадея, получаем ε = 3·N·μ₀·m·a²·z·v / (2·(a²+z²)^{5/2}). Неподвижный магнит (v = 0) ЭДС не даёт, как бы близко он ни был. В центре катушки (z = 0) поток максимален, его производная по z равна нулю, поэтому ε = 0 — именно поэтому на графике ε(t) между двумя горбами есть ноль.

Знак минус — правило Ленца: ток противодействует изменению потока. Положительная ЭДС в симуляторе означает ток против часовой стрелки при взгляде сверху.

Наибольшая ЭДС

$$\varepsilon_{\max} = \frac{24\sqrt5}{125}\,\frac{\mu_0\, N\, m\, v}{a^2} \approx 0.43\,\frac{\mu_0\, N\, m\, v}{a^2} \quad (z = \pm a/2)$$

При постоянной скорости ЭДС максимальна, когда магнит на расстоянии a/2 от плоскости витков; ε_max ∝ N·m·v/a²

▶ Подробное объяснение

Поток меняется быстрее всего там, где |dΦ₁/dz| наибольшая — это z = ±a/2. Подставив z = a/2, получаем ε_max = (24√5/125)·μ₀·N·m·v/a². Формула говорит, как увеличить ЭДС: больше витков N, сильнее магнит m, быстрее движение v, а катушка поуже (множитель 1/a²). Для N = 100, m = 1 А·м², a = 4 см, v = 1 м/с получается 33,7 мВ — это число показывает симулятор.

Это удобно для проверки: в лаборатории «Загадочная катушка» ε_max пропорциональна N, значит N = 100·ε_max/ε₁₀₀.

Ток, сила Ленца и тепло

$$I = \frac{\varepsilon}{R}, \qquad F = -\frac{\left(N\,\dfrac{d\Phi_1}{dz}\right)^{2}}{R}\,v, \qquad P = \frac{\varepsilon^2}{R} = -F\,v$$

Сила Ленца всегда направлена против скорости; её мощность целиком идёт в тепло ε²/R

▶ Подробное объяснение

Ток в замкнутой цепи I = ε/R. Ток катушки создаёт собственное магнитное поле, которое действует на магнит с силой F. Из закона сохранения энергии F·v = −ε·I = −ε²/R, откуда F = −(N·dΦ₁/dz)²·v/R. Сила всегда противоположна скорости: магнит тормозится и при входе, и при выходе, хотя ток меняет направление.

Работа против этой силы превращается в тепло: Q = ∫ε²/R dt. В разомкнутой цепи I = 0, поэтому F = 0 и Q = 0: ЭДС есть, но она ничего не тормозит. Меньшее R — больший ток и большее торможение.

Площадь под кривой ε(t) и заряд

$$\int \varepsilon\,dt = -N\,\Delta\Phi_1, \qquad q = \int I\,dt = -\frac{N\,\Delta\Phi_1}{R}$$

Площадь под графиком ЭДС равна убыли потока; заряд, прошедший по цепи, зависит только от изменения потока и R

▶ Подробное объяснение

Интегрируя закон Фарадея, получаем ∫ε dt = −N·ΔΦ₁: на графике ε(t) заштрихованная площадь до текущего момента равна убыли потока Φ(0) − Φ(t). Скорость движения на эту площадь не влияет — быстрее движение даёт более высокие и узкие горбы той же площади.

Если магнит начинает и заканчивает путь далеко от катушки, где Φ ≈ 0, то суммарная площадь равна нулю: две «горбинки» противоположны. Заряд q = −N·ΔΦ₁/R тоже возвращается к нулю — золотые «бусинки» в витках на сцене сначала бегут вперёд, потом назад.

Падение магнита сквозь катушку

$$M\ddot z = -Mg + F, \qquad v_t = \frac{M\,g\,R}{\left(N\,d\Phi_1/dz\right)^{2}}, \qquad Mg\,\Delta h = \tfrac12 M v^2 + Q$$

Сила тяжести и сила Ленца; при их равенстве скорость постоянна; потерянная потенциальная энергия = кинетическая + тепло

▶ Подробное объяснение

Без тока магнит падает свободно: за 0,286 с он проходит 40 см. В замкнутой цепи к силе тяжести добавляется сила Ленца, которая растёт со скоростью. Если N, m велики, а R мало, в зоне катушки она уравновешивает M·g, и магнит падает с постоянной скоростью v_t = M·g·R/(N·dΦ₁/dz)² — он «парит», как в медной трубе.

Масса магнита в симуляторе — 7,5 г на каждый А·м² (неодим). Энергия сохраняется: M·g·Δh = ½Mv² + Q, и при «парении» почти вся потерянная потенциальная энергия сразу превращается в тепло в цепи.

Магнитное поле небольшого постоянного магнита хорошо описывает точечный диполь с моментом m. Поток этого поля через один виток радиуса a, лежащий на оси на расстоянии z от магнита, равен Φ₁(z) = μ₀·m·a² / (2·(a²+z²)^{3/2}). В центре катушки (z = 0) он наибольший и равен μ₀m/(2a), а вдали убывает как 1/|z|³. Поток удобно представлять как «число линий поля, прошедших сквозь катушку»: на сцене голубым подсвечены именно те линии, что проходят сквозь витки, и их число пропорционально Φ. У катушки из N одинаковых витков полный поток равен Φ = N·Φ₁.

Закон Фарадея: ЭДС равна скорости изменения потока со знаком минус, ε = −N·dΦ₁/dt = −N·(dΦ₁/dz)·v. Значит, неподвижный магнит не даёт ЭДС, как бы велик ни был поток, а чем быстрее движется магнит, тем ЭДС больше. В центре катушки поток наибольший, но его производная равна нулю — там ε = 0 и ток меняет знак. Наибольшая ЭДС получается при z = ±a/2, где поток меняется быстрее всего: ε_max = (24√5/125)·μ₀·N·m·v/a² ≈ 0,43·μ₀·N·m·v/a². При постоянной скорости два горба кривой ε(t) одинаковы по высоте и противоположны по знаку.

Площадь под кривой ε(t) за любой промежуток равна изменению потока: ∫ε dt = −N·ΔΦ₁. Магнит начинает и заканчивает путь далеко от катушки, где поток почти нулевой, поэтому площади двух горбов равны по величине и противоположны по знаку, а полный заряд, прошедший по цепи, q = −N·ΔΦ₁/R равен нулю: заряды в витках сначала бегут в одну сторону, а потом возвращаются.

Направление тока задаёт правило Ленца: индукционный ток течёт так, чтобы его собственное поле мешало изменению потока. Магнит приближается — катушка поворачивается к нему одноимённым полюсом и отталкивает его; магнит удаляется — катушка поворачивается разноимённым полюсом и притягивает его. Сила Ленца F = −(N·dΦ₁/dz)²·v/R всегда направлена против скорости, поэтому она только тормозит: ток меняет направление, а сила — нет. Мощность, которую «отбирает» эта сила, P = −F·v = ε²/R целиком превращается в тепло в цепи — это закон сохранения энергии.

В режиме «Падение» магнит движется под действием силы тяжести и силы Ленца: M·z̈ = −M·g + F. При разомкнутой цепи тока нет, F = 0, и магнит пролетает от +20 до −20 см за 0,286 с, как свободное тело. В замкнутой цепи с малым сопротивлением и большим числом витков сила Ленца может уравновесить тяжесть: магнит падает с постоянной скоростью v = M·g·R/(N·dΦ₁/dz)², а вся потенциальная энергия уходит в тепло: M·g·Δh = ½Mv² + Q (опыт «Магнит парит»). Физическая причина ЭДС — вихревое электрическое поле, которое порождает меняющееся магнитное поле: ЭДС возникает в самом контуре и не зависит от материала катушки, а ток идёт только в замкнутой цепи.