Сила Лоренца: заряд в магнитном поле

Когда заряженная частица движется в магнитном поле, на неё действует сила Лоренца:
F = |q| · v · B · sin α
где q — заряд частицы, v — её скорость, B — индукция поля, α — угол между скоростью и линиями поля. Эта сила перпендикулярна скорости, поэтому она не разгоняет частицу, а только поворачивает её.

Вид сверху вдоль B (x–z): окружность

Вид сбоку (z–y): синусоида с шагом h

Суть за 30 секунд

Сила Лоренца только поворачивает

Магнитное поле действует лишь на движущийся заряд, и сила всегда направлена перпендикулярно скорости — как нить, за которую вертят камень. Такая сила не разгоняет и не тормозит: она меняет направление скорости, а сама скорость остаётся прежней.

Скорость делим на две части

Вдоль линий поля сила не действует — частица там просто летит равномерно (v∥ = v·cos α). Поперёк поля сила закручивает движение в окружность (v⊥ = v·sin α). Равномерный ход вдоль поля плюс вращение поперёк — это спираль, как резьба винта. При α = 90° остаётся чистая окружность, при α = 0° — прямая.

Оборот не зависит от скорости

Быстрая частица идёт по большому кругу, медленная — по малому, но оборот занимает одно и то же время: T = 2πm/(|q|B). Пока поле и частица те же, «часы» не меняются. Именно на этом работает циклотрон — ускоритель частиц.

Попробуй сам

Нажми по очереди «Окружность», «Спираль» и «Вдоль поля» и сравни путь: чем меньше угол α, тем круче поднимается спираль, а при α = 0° остаётся прямая.
Кнопка «v ×2»: радиус вырастает вдвое, а период не меняется (смотри вспышку на сцене и график справа внизу).
Кнопка «B ×2»: радиус и период вдвое меньше — сильное поле закручивает туже. Следи, как гуще становятся синие линии поля.
Переключи электрон на протон. Заряд тот же по величине, но масса в 1836 раз больше: радиус и период тоже в 1836 раз больше. (Картинка нормирована — смотри на числа.)
Нажми «Дрейф E×B»: электрическое поле сносит орбиту вбок со скоростью E/B. Потом поставь α = 0° — частица пролетит прямо: это «фильтр скоростей».

Графики: почему период не зависит от скорости

Слева — компоненты вектора скорости: две волны, сдвинутые на четверть периода (вектор v⊥ вращается), и ровная линия v∥. Справа — что будет, если менять скорость: радиус растёт прямо пропорционально, а период остаётся равным единице.

Компоненты скорости за два оборота

Радиус и период при разной скорости (в долях от текущих)

Где это встречается

Полярное сияниеЗаряженные частицы солнечного ветра наматываются на линии магнитного поля Земли и спиралями спускаются к полюсам — там и вспыхивает свечение атмосферы.

Масс-спектрометрРадиус орбиты r = mv/(|q|B) зависит от массы, поэтому по месту попадания на пластину узнают массу частицы и разделяют изотопы — в химии, медицине, криминалистике.

ЦиклотронПериод обращения от скорости не зависит, поэтому ускоряющее поле можно включать с одной и той же частотой — и частица раз за разом получает новую порцию энергии.

Электронно-лучевая трубкаВ старых телевизорах и осциллографах пучок электронов отклоняют магнитными катушками: сила Лоренца направляет луч на нужное место экрана.

Термоядерный реакторВ токамаке горячая плазма удерживается магнитным полем: заряженные частицы наматываются по спирали на силовые линии и не долетают до стенок.

Опыты в один клик

Частица

q знак заряда −

v скорость 1,00 10⁶ м/с

α угол между v и B 60°

B индукция 10 мТл

Добавить электрическое поле E ⊥ B

E напряжённость 5,0 кВ/м

Что будет, если…

Скорость показа

Меняет только темп показа, числа не меняются 1×

Показывать

След частицы

Разложить v на v∥ и v⊥

Окружность, центр и радиус r

Линии магнитного поля B

Медленно вращать камеру

Числа в панели «Измерения» и на табло — реальные, в СИ. Картинка нормирована: масштаб подобран так, чтобы витки умещались в кадр, а темп — чтобы оборот занимал около 3 секунд (при B = 10 мТл), поэтому у электрона и протона на экране всё выглядит похоже, хотя на деле периоды различаются в тысячи раз. Когда включено E, v⊥ — это скорость вращения относительно дрейфующей орбиты.

Заряженная частица в однородном магнитном поле: при α = 90° — окружность, при любом другом угле — спираль, а при добавлении поля E ⊥ B — трохоида с дрейфом v_d = E/B. Крути сцену мышью, меняй скорость, угол и индукцию — и сразу видишь формулы с твоими числами.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Сила Лоренца

$$\vec{F} = q\,\vec{v} \times \vec{B}, \qquad F = |q|\,v_\perp B$$

Сила перпендикулярна и скорости, и полю: работу не совершает, скорость только поворачивает

▶ Подробное объяснение

Сила Лоренца равна векторному произведению заряда на скорость и индукцию: F = qv×B. По определению векторного произведения она перпендикулярна обоим сомножителям — и v, и B, — а значит перпендикулярна и перемещению частицы в каждый момент времени. Работа A = F·Δs·cos 90° = 0: сила не может ни разогнать, ни затормозить частицу, она лишь непрерывно поворачивает вектор скорости. Модуль силы F = |q|vB·sin α, где α — угол между v и B; через поперечную составляющую скорости F = |q|v⊥B. При движении вдоль поля (α = 0) сила равна нулю, при перпендикулярном влёте (α = 90°) она максимальна и служит центростремительной силой окружности. Знак заряда меняет только направление: для q > 0 направление силы даёт правило правой руки (буравчика) для v×B, для q < 0 сила направлена противоположно, поэтому электроны в одном и том же поле закручиваются в обратную сторону по сравнению с протонами. В школьной формулировке — правило левой руки: линии B входят в ладонь, четыре пальца идут по скорости положительного заряда, отогнутый большой палец показывает силу. В симуляторе эта сила нарисована красной стрелкой — она всегда перпендикулярна зелёной стрелке скорости.

Разложение скорости на v∥ и v⊥

$$v_\parallel = v\cos\alpha, \qquad v_\perp = v\sin\alpha, \qquad F = |q|\,v\,B\sin\alpha$$

Вдоль поля сила не действует, поперёк — закручивает; α — угол между скоростью и линиями B

▶ Подробное объяснение

Чтобы разобраться со спиралью, скорость удобно разложить на две составляющие относительно линий поля. Вдоль B: v∥ = v·cos α. Для неё векторное произведение v∥×B равно нулю, поэтому сила на неё не действует и v∥ остаётся постоянной — частица равномерно движется вдоль поля. Поперёк B: v⊥ = v·sin α. Именно она даёт силу F = |q|v⊥B = |q|vB·sin α, которая всё время перпендикулярна v⊥ и поворачивает её — получается вращение по окружности. Две составляющие движутся независимо: поперечное движение не мешает продольному и наоборот, поэтому их можно просто сложить. Угол α = 90° означает v∥ = 0, то есть чистую окружность; α = 0° — v⊥ = 0, то есть прямую. На сцене включи галочку «Разложить v на v∥ и v⊥»: светло-зелёные стрелки покажут обе составляющие, а на графике «Компоненты скорости» ровная пунктирная линия — это v∥, а две волны — вращающаяся v⊥.

Радиус орбиты (радиус Лармора)

$$r = \frac{m\,v_\perp}{|q|\,B}$$

Чем больше импульс поперечной составляющей, тем шире окружность; поле и заряд её сжимают

▶ Подробное объяснение

Магнитная сила не меняет скорость, поэтому частица всё время движется по окружности с постоянной скоростью v⊥, а сила Лоренца играет роль центростремительной: |q|v⊥B = m·v⊥²/r. Отсюда r = m·v⊥/(|q|·B) — радиус Лармора, или циклотронный радиус. В знаменателе стоят заряд и индукция: чем сильнее поле и чем больше |q|, тем жёстче гнётся траектория и тем меньше радиус. В числителе — импульс: тяжёлая или быстрая частица «выталкивает» орбиту наружу. Для сравнения: в поле B = 10 мТл радиус электрона с v⊥ = 10⁶ м/с равен около 0,6 мм, а протона с той же скоростью — около 1,0 м; вся разница — в массе. В симуляторе масштаб сцены подстраивается автоматически, чтобы окружность любого радиуса помещалась в кадр, а настоящее значение r всегда видно на табло и в панели «Измерения».

Период и частота обращения

$$T = \frac{2\pi m}{|q|\,B}, \qquad f = \frac{1}{T}, \qquad \omega = \frac{|q|\,B}{m}$$

Период не зависит ни от скорости, ни от радиуса — на этом построен циклотрон

▶ Подробное объяснение

Период обращения равен длине окружности, делённой на скорость: T = 2πr/v⊥. Подставим радиус r = m·v⊥/(|q|·B) — и v⊥ сократится: T = 2πm/(|q|·B). Скорость исчезла из результата: как бы быстро ни летела частица и какого бы радиуса ни была её орбита, на полный оборот она тратит одно и то же время. На этом построен циклотрон — ускоритель, в котором частота ускоряющего поля постоянна, потому что период частицы тоже постоянен. Угловая частота ω = |q|B/m и частота f = 1/T определяются только отношением заряда к массе и полем: у электрона |q|/m в ~1836 раз больше, чем у протона, поэтому в одном и том же поле он закручивается в тысячи раз быстрее — период электрона измеряется наносекундами, протона — микросекундами (при B = 10 мТл: 3,6 нс и 6,6 мкс). Попробуй кнопки «v ×2» и «B ×2»: от скорости период не меняется, а от поля — обратно пропорционален. На табло строка «1 с на экране» показывает, во сколько раз замедлен показ: именно поэтому частицы с разными периодами на сцене крутятся одинаково заметно.

Шаг спирали

$$h = v_\parallel T = \frac{2\pi m\, v_\parallel}{|q|\,B}$$

Расстояние вдоль поля за один оборот: растёт при уменьшении α, при α = 90° шага нет — окружность

▶ Подробное объяснение

Составляющая скорости вдоль поля не испытывает никакой силы и за один период T переносит частицу вдоль поля на расстояние h = v∥·T — это шаг спирали, расстояние между соседними витками. Подставим период и получим h = 2πm·v∥/(|q|·B). Шаг пропорционален v∥ = v·cos α: при α = 90° он равен нулю и траектория вырождается в окружность, а при α = 0° поперечной составляющей нет вообще — остаётся прямая вдоль линий поля. Чем меньше α, тем круче «раскручивается» спираль. На виде «Сбоку» траектория выглядит синусоидой, и расстояние между соседними гребнями легко измерить и сравнить с h из панели «Измерения» — на сцене золотая скобка отмечает один шаг. Обрати внимание: масштаб сцены нормирован, поэтому у разных частиц спираль выглядит одинаково, а настоящие h различаются.

Магнитная сила не совершает работу

$$A = \vec{F}\cdot\Delta\vec{s} = 0, \qquad E_{\text{к}} = \frac{mv^2}{2} = \text{const}$$

Сила перпендикулярна перемещению, поэтому скорость и кинетическая энергия не меняются; разгоняет только электрическое поле

▶ Подробное объяснение

Работа силы на малом перемещении Δs равна A = F·Δs·cos β, где β — угол между силой и перемещением. Перемещение частицы направлено по скорости, а сила Лоренца перпендикулярна скорости, поэтому β = 90°, cos β = 0 и работа равна нулю в каждый момент. По теореме о кинетической энергии работа равна изменению Eк, значит кинетическая энергия E = mv²/2 и модуль скорости постоянны: магнитное поле меняет только направление скорости. Это принципиальное отличие от электрического поля: там сила F = qE направлена вдоль поля, совершает работу и разгоняет заряд. Поэтому, когда на сцене включено поле E ⊥ B, на табло скорость и Eк начинают колебаться — энергию меняет электрическое поле, а не магнитное. А если E выключено, строки |v| и Eк на табло остаются постоянными сколько бы ни шло время.

Дрейф в скрещённых полях E и B

$$v_d = \frac{E}{B}, \qquad \vec{v}_d \perp \vec{E},\ \vec{v}_d \perp \vec{B}$$

Со скрещённым полем E частица сдвигается вбок со скоростью E/B — трохоида вместо спирали

▶ Подробное объяснение

Если к магнитному полю добавить перпендикулярное ему электрическое, на частицу начнёт действовать и сила qE. За малое время она разгоняет частицу вдоль E, после чего магнитная сила снова загибает траекторию — и так цикл за циклом. В среднем за период вклады E и B уравновешиваются, и усреднённая скорость частицы оказывается перпендикулярной обоим полям: это скорость дрейфа v_d = E/B. Важно, что она не зависит ни от заряда, ни от массы, ни от знака — все частицы сносятся одинаково. Траектория перестаёт быть спиралью и становится трохоидой: центр вращения движется равномерно со скоростью v_d, а окружность «катится» вокруг него. За период частица смещается ровно на v_d·T — по этому сдвигу на виде «Сбоку» можно измерить дрейф. Форма пути зависит от отношения v_d к v⊥: при v_d < v⊥ — петли, при v_d = v⊥ — циклоида с остриями (в нижней точке частица на миг останавливается), при v_d > v⊥ — волнистая линия. Если v⊥ = 0, силы qE и q·v_d·B равны и противоположны: частица летит прямо — это принцип «фильтра скоростей», который пропускает только частицы со скоростью E/B. На сцене попробуй кнопку «Дрейф E×B», а потом поставь α = 0°.

Что здесь происходит. Пока заряд неподвижен, магнитное поле его «не замечает»; стоит заряду двигаться — на него действует сила Лоренца F = q·v×B. Она направлена строго перпендикулярно скорости и перпендикулярно линиям поля. Такая сила не толкает вперёд и не тормозит, а лишь поворачивает вектор скорости — как нить, за которую вертят камень над головой. Поэтому модуль скорости и кинетическая энергия от магнитного поля не меняются: работа A = F·Δs·cos 90° = 0.

Раскладываем скорость на две части. Угол α — это угол между скоростью и линиями поля. Составляющая вдоль поля v∥ = v·cos α силы не чувствует и остаётся постоянной: частица равномерно «едет» вдоль B. Составляющая поперёк поля v⊥ = v·sin α закручивается: сила Лоренца играет роль центростремительной, mv⊥²/r = |q|v⊥B. Складываем равномерное движение вдоль поля и вращение поперёк — получаем спираль (винтовую линию). При α = 90° остаётся чистая окружность, при α = 0° — прямая: вдоль линий поля сила равна нулю.

Радиус, период и шаг. Радиус r = m·v⊥/(|q|B): тяжёлая и быстрая частица описывает больший круг, а сильное поле и большой заряд его сжимают. Период T = 2πm/(|q|B) от скорости не зависит — быстрая частица бежит по большому кругу, но успевает за то же время. Шаг спирали h = v∥·T — расстояние вдоль поля за один оборот. Все эти числа с твоими значениями показаны на табло, в панели «Измерения» и под сценой.

Куда повернёт частица. Направление вращения зависит от знака заряда. Если смотреть сверху (навстречу линиям B), положительный заряд вращается по часовой стрелке, отрицательный — против. Школьное правило левой руки: линии B входят в ладонь, четыре пальца направлены по движению положительного заряда (для отрицательного — против движения), отогнутый большой палец показывает силу. Электрон и протон в одном поле закручиваются в разные стороны; масса протона в 1836 раз больше, поэтому его круг и период тоже в 1836 раз больше.

Скрещённые поля E и B. Если добавить электрическое поле E ⊥ B, на частицу действует ещё и сила qE. Электрическая сила подталкивает частицу вбок, магнитная закручивает, а в среднем получается равномерный снос — дрейф со скоростью v_d = E/B, перпендикулярный обоим полям (он не зависит ни от заряда, ни от массы, ни от знака). Путь — трохоида: при v_d < v⊥ с петлями, при v_d = v⊥ — циклоида с остриями, при v_d > v⊥ — волнистая линия. В отличие от магнитного, электрическое поле совершает работу, поэтому скорость частицы колеблется. Если v⊥ = 0 и скорость равна E/B, силы qE и q·v·B уравновешивают друг друга и частица летит прямо: так устроен «фильтр скоростей» масс-спектрометра.

Как читать сцену. Синие линии со стрелочками — магнитное поле B (чем гуще, тем оно сильнее). Зелёная стрелка — скорость v, красная — сила Лоренца F: она всегда смотрит в центр окружности. Кнопки «Вдоль B» и «Сбоку» дают ракурсы, которые соответствуют двум проекциям под сценой: сверху видна окружность, сбоку — синусоида с шагом h. Длины стрелок условные, а числа на табло настоящие. Реальные радиусы и периоды у разных частиц отличаются в тысячи раз, поэтому картинка нормирована, а строка «1 с на экране» показывает, во сколько раз замедлено время.

Где это встречается. Полярные сияния, радиационные пояса Земли, масс-спектрометры, циклотроны и синхротроны, электронно-лучевые трубки, магнитные ловушки термоядерных реакторов, датчики Холла. Сравни также с симулятором движения частицы в магнитном поле (плоский вариант с мерной сеткой и масс-спектрометром) и силой Ампера.