Электромагнитная волна: поля E и B, поляризация и поляризаторы

Свет, радио, Wi-Fi и рентген — это одна и та же волна: два поля, E и B, перпендикулярные друг другу, которые держатся друг за друга и вместе бегут со скоростью c, унося энергию. Тяни частоту по шкале спектра, меняй поляризацию, ставь на пути поляризаторы — и смотри, что происходит с полями, с зарядом на пути волны и с потоком энергии.
Все числа в панелях — настоящие, в СИ; на сцене волна замедлена и растянута, чтобы глаз успевал её рассмотреть.

Суть за 30 секунд

Волна — два поля, которые держатся друг за друга

Меняющееся магнитное поле порождает электрическое, а меняющееся электрическое — магнитное. Подпирая друг друга, они бегут сами, без среды и проводов, со скоростью c = 3·10⁸ м/с. E и B всегда перпендикулярны друг другу и направлению бега, растут и убывают одновременно, а их отношение равно c: E = c·B.

Поле качается туда-сюда, а энергия идёт только вперёд

Вектор Пойнтинга S = E×B/μ₀ показывает, куда течёт энергия. При колебании знаки E и B меняются, но E×B — нет: S всегда смотрит вперёд (зелёные огоньки). Средняя мощность на единицу площади — интенсивность I = ½ε₀cE₀². Удвой амплитуду — интенсивность вырастет в четыре раза.

Поляризация — «рисунок» конца вектора E

Если смотреть навстречу волне, конец E ходит либо по прямой (линейная), либо по кругу (круговая), либо по эллипсу. Это задают два числа: отношение размахов по x и y и сдвиг фаз δ. Поляризатор — «щель»: пропускает только составляющую вдоль своей оси, поэтому I = I₀cos²Δ (закон Малюса).

Радио и свет — одно и то же

Различаются они только частотой, а значит и длиной волны λ = c/f: FM-радио — 3 м, Wi-Fi — 12 см, красный свет — 700 нм, рентген — 0,3 нм. Тяни f по шкале спектра: устройство волны не меняется, меняется только «густота» горбов.

Попробуй сам

Нажми «Красный свет», потом «Фиолетовый»: горбы сгущаются — частота растёт, длина волны падает (λ = c/f), а скорость бега остаётся прежней. Потом «Рентген»: волна в тысячи раз короче.
Выбери «Круговая левая» и нажми «Вдоль распространения»: конец E бежит по кругу, а красная «простыня» в 3D закручена винтом. Смени левую на правую — вращение развернётся.
Нажми «Один: α = 45°» (волна линейна вдоль x): интенсивность падает ровно вдвое — cos²45° = ½. Крути ось P₁: при 0° проходит всё, при 90° — ничего.
Нажми «Два скрещённых»: свет погашен. Теперь «Три: 0°, 45°, 90°» — и четверть света вернулась, хотя мы добавили ещё один фильтр! Средняя пластина «поворачивает» поле, и вторая пластина уже есть чему пропускать.
Двигай точку z и смотри на график: красная линия E и синяя подложка c·B лежат ровно друг на друге — поля синфазны, их нули и максимумы совпадают. А зелёный график S не уходит ниже нуля.
Следи за золотым шариком: чем больше E₀, тем сильнее его качает. Антенна и глаз устроены так же — поле шатает заряды, а приёмник ловит этот отклик.

Где это работает в жизни

Радио, Wi-Fi и телефонАнтенна — это проводок, в котором поле волны раскачивает электроны. Приёмнику остаётся усилить крошечный ток. FM-радио (3 м) и Wi-Fi (12 см) отличаются только частотой.

МикроволновкаВолна с f ≈ 2,45 ГГц быстро разворачивает поле E внутри еды. Молекулы воды крутятся вслед за ним и разогревают соседей.

Поляризационные очкиСвет, отражённый от воды и асфальта, поляризован горизонтально. Очки пропускают только вертикальную составляющую и гасят блики — это тот самый поляризатор.

ЖК-экранСвет подсветки идёт через два скрещённых поляризатора, а жидкий кристалл между ними поворачивает поляризацию в каждом пикселе: чем больше поворот, тем ярче точка.

Глаз, тепло и загарГлаз ловит волны с λ от 380 до 750 нм: красный — около 430 ТГц, фиолетовый — около 750 ТГц. Чуть длиннее красного — инфракрасное тепло, чуть короче фиолетового — ультрафиолет, от которого загорают.

РентгенТа же волна, но f ≈ 10¹⁸ Гц (λ ≈ 0,3 нм): она свободно проходит сквозь мягкие ткани и задерживается костями — отсюда тени на снимке.

Частота f и длина волны λ связаны через скорость света: λ = c/f. Поэтому от радиоволн (метры) до рентгена (десятые доли нанометра) достаточно тянуть один ползунок f. Длина волны на сцене условная — чтобы поместилось несколько «горбов», а в панели «Измерения» стоят честные значения: c = 3·10⁸ м/с, B₀ = E₀/c, I = ½ε₀cE₀² = ⟨S⟩.

Что почитать дальше

Вихревое электрическое полеОткуда берётся E, когда меняется B, — первая половина механизма волны. Закон Снеллиуса и полное отражениеЧто происходит с волной света на границе двух сред. Интерференция волнКак две волны складываются, усиливая или гася друг друга.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Плоская электромагнитная волна

$$E_x = E_0 \cos(kz - \omega t), \qquad B_y = \frac{E_x}{c} = \frac{E_0}{c}\cos(kz - \omega t)$$

Вдоль +z бежит одна и та же синусоида: E и B синфазны, перпендикулярны друг другу и оси z, |B| = |E|/c

▶ Подробное объяснение

Монохроматическая плоская волна в вакууме бежит вдоль +z с волновым числом k = 2π/λ и угловой частотой ω = 2πf. Выражение kz − ωt называют фазой: точка постоянной фазы (например, гребень) движется со скоростью ω/k = c. Если E направлено по x, то B направлено по y: B = (1/c)·ẑ × E, поэтому |B| = |E|/c, а E и B достигают максимумов и нулей одновременно — на графике красная линия лежит ровно на синей. На сцене E и B нарисованы одной длины (условный масштаб), а числа в панелях настоящие.

Скорость света, частота и длина волны

$$c = \lambda f, \qquad \omega = 2\pi f, \qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{\omega}{c}$$

В вакууме скорость не зависит от частоты: λ и f обратно связаны через c = 3·10⁸ м/с

▶ Подробное объяснение

Скорость света в вакууме — универсальная постоянная c ≈ 3·10⁸ м/с, она не зависит ни от частоты, ни от амплитуды. Отсюда λ = c/f: удвоил частоту — волна стала вдвое короче. Те же величины в угловом виде: ω = ck. Для справки: FM-радио, f = 100 МГц — λ = 3 м; Wi-Fi, 2,4 ГГц — λ = 12,5 см; зелёный свет, 550 нм — f = 5,45·10¹⁴ Гц; рентген, f = 10¹⁸ Гц — λ = 0,3 нм. В симуляторе f меняется по логарифмической шкале от 10⁶ до 10¹⁸ Гц, а λ пересчитывается автоматически; видимому диапазону (380–750 нм) соответствует лишь узкая полоска, и «лупа» на шкале увеличивает её.

Соотношение E = cB и направление k

$$E = cB, \qquad \vec{E} \perp \vec{B} \perp \vec{k}, \qquad \vec{E} \times \vec{B} \parallel \vec{k}$$

E и B перпендикулярны друг другу и направлению распространения, а их модули связаны через c

▶ Подробное объяснение

Для волны в вакууме векторы E, B и k образуют правую тройку: E × B сонаправлен с переносом энергии. Правило правой руки: от E к B, большой палец показывает, куда бежит волна. Модули связывает E = cB: при E₀ = 50 В/м получаем B₀ = E₀/c ≈ 167 нТл — числом в 3·10⁸ раз меньше, хотя электрическое и магнитное поля несут поровну энергии (плотности ε₀E²/2 и B²/(2μ₀) равны). Поэтому на сцене обе стрелки одной длины, а честное отношение |E|/|B| = c ты видишь в панели «Измерения» — оно считается по настоящим числам в выбранной точке.

Вектор Пойнтинга

$$\vec{S} = \frac{1}{\mu_0}\,\vec{E} \times \vec{B}, \qquad S = \frac{EB}{\mu_0} = \varepsilon_0 c E^2$$

Плотность потока энергии: направление по E × B, модуль пропорционален квадрату мгновенного поля

▶ Подробное объяснение

Вектор Пойнтинга S = E × B / μ₀ — плотность потока энергии: его модуль в ваттах на квадратный метр показывает, сколько энергии волна проносит через единицу площади в данный момент. Направление S совпадает с k: возьми E по x, B по y — получишь S по z. Хотя E и B колеблются со сменой знака, их произведение положительно: S = ε₀cE² ≥ 0, волна переносит энергию только вперёд. На сцене S — зелёные огоньки на оси; их размер пропорционален E², и они пульсируют вдвое чаще самого поля. Среднее за период значение S — это интенсивность.

Интенсивность монохроматической волны

$$I = \langle S \rangle = \frac{E_0 B_0}{2\mu_0} = \frac{1}{2}\varepsilon_0 c E_0^2$$

Средняя за период мощность на единицу площади — зависит только от амплитуды E₀

▶ Подробное объяснение

Мгновенный S колеблется, поэтому на практике берут среднее за период — интенсивность. Среднее значение cos² равно ½, отсюда I = ½ε₀cE₀² = E₀B₀/(2μ₀). Интенсивность растёт как квадрат амплитуды: увеличишь E₀ вдвое — энергии в четыре раза больше. Для E₀ = 50 В/м получается I ≈ 3,3 Вт/м² (для сравнения, солнечный свет у поверхности Земли — около 1000 Вт/м², что отвечает E₀ ≈ 870 В/м). В симуляторе амплитуда E₀ одна и та же при любой поляризации: круговая и линейная волны при равных E₀ несут одинаковую интенсивность, а за поляризатором она падает — в HUD и «Измерениях» это видно.

Поляризация: линейная, круговая, эллиптическая

$$E_x = E_{0x}\cos\theta, \qquad E_y = E_{0y}\cos(\theta + \delta), \qquad \theta = kz - \omega t$$

Тип поляризации задают отношение амплитуд компонент и сдвиг фазы δ между ними

▶ Подробное объяснение

Конец вектора E в плоскости xy описывает разные кривые в зависимости от двух чисел — отношения E₀y/E₀x и сдвига фаз δ. Если δ = 0 или π (либо одна из компонент равна нулю), траектория — отрезок: это линейная поляризация, угол плоскости ψ = arctg(E₀y/E₀x). Равные амплитуды и δ = ±90° дают окружность — круговую поляризацию. Всё остальное — эллипс. Направление вращения определяют, глядя навстречу волне: здесь принято оптическое правило — против часовой стрелки «левая», по часовой «правая» (в радиотехнике наоборот). Проверь: выбери круговую, нажми «Вдоль распространения» и посмотри на фигуру поляризации: жёлтая комета бежит по кругу, а красная «простыня» в 3D закручена винтом.

Закон Малюса: поляризатор

$$E' = E_0\cos\Delta, \qquad I = I_0\cos^2\Delta, \qquad \Delta = \psi - \alpha$$

Поляризатор пропускает только составляющую E вдоль своей оси: интенсивность падает как cos² угла между поляризацией и осью

▶ Подробное объяснение

Поляризатор — «щель» с осью пропускания α: он оставляет у вектора E только проекцию на эту ось, а поперечная составляющая поглощается. Если волна линейно поляризована под углом ψ, то за пластиной амплитуда E′ = E₀cosΔ, где Δ = ψ − α, а так как I ∝ E², получаем I = I₀cos²Δ. При Δ = 0 проходит всё, при Δ = 45° — половина, при Δ = 90° — ничего. Для круговой волны проекция на любую ось даёт ровно ½I₀, а за пластиной волна становится линейной вдоль α. В симуляторе это считается точно: за каждой пластиной поле — проекция комплексной амплитуды на ось, и в «Измерениях» цифра сверяется с cos²Δ. Естественный свет (лампа, Солнце) — смесь всех ψ, поэтому первый поляризатор пропускает ровно ½.

Три поляризатора: парадокс четверти

$$I = I_0\cos^2\Delta_1\,\cos^2\Delta_2, \qquad \Delta_1 = \Delta_2 = 45^\circ \;\Rightarrow\; I = \frac{I_0}{4}$$

Каждая пластина — проекция; вставив между скрещёнными пластинами третью под 45°, мы возвращаем четверть света

▶ Подробное объяснение

Возьми линейную волну вдоль x (ψ = 0°). Пластина P₁ с осью 0° пропускает её целиком, а P₃ с осью 90° — скрещена с ней и гасит всё: Δ = 90°, cos²90° = 0. Теперь поставь между ними P₂ с осью 45°. После P₂ волна линейна под 45°, её амплитуда E₀cos45°, интенсивность I₀/2. Для P₃ угол между поляризацией и осью снова 45°, значит проходит ещё половина: I = I₀·½·½ = I₀/4. Это не нарушает закон сохранения энергии — пластины только поглощают, а не добавляют света; просто «скрещённая» пара пропускала ноль, потому что поле было строго перпендикулярно оси, а средняя пластина добавила ему нужную составляющую. В симуляторе нажми «Три: 0°, 45°, 90°» и сравни с «Два скрещённых».

Электромагнитная волна — это возмущение электрического и магнитного полей, которое бежит само, без среды и проводов. Меняющееся магнитное поле порождает вихревое электрическое, а меняющееся электрическое — магнитное; «подпирая» друг друга, поля летят в вакууме со скоростью c = 3·10⁸ м/с. В каждой точке векторы E и B колеблются перпендикулярно друг другу и направлению распространения k, а их модули связаны равенством E = cB. Поэтому на сцене синяя стрелка B — та же красная E, повёрнутая на 90° (в настоящих единицах при E₀ = 50 В/м получается B₀ ≈ 167 нТл).

Куда идёт энергия, показывает вектор Пойнтинга S = E × B / μ₀. Хотя E и B то меняют знак, то нет, их векторное произведение всегда смотрит вперёд: S = ε₀cE² ≥ 0 — это зелёные огоньки на оси, и чем сильнее поле, тем они крупнее. Среднее значение S — интенсивность I = ½ε₀cE₀², то есть мощность, которую волна приносит на 1 м². Она растёт как квадрат амплитуды: удвоил E₀ — энергии в четыре раза больше.

От радио до рентгена — одна и та же волна; различаются только частота f и длина λ = c/f: FM-радио — около 3 м, Wi-Fi — 12 см, красный свет — 700 нм, рентген — десятые доли нанометра. Ползунок f охватывает 12 порядков (10⁶…10¹⁸ Гц), а видимый свет — лишь узкая полоска от 380 до 750 нм, поэтому на шкале спектра есть «лупа».

Поляризация описывает, что рисует конец вектора E, если смотреть навстречу волне: отрезок (линейная), окружность (круговая) или эллипс. Круговая получается при равных размахах по x и y и сдвиге фаз ±90°. Направление вращения называют левым или правым; здесь принято оптическое правило — против часовой стрелки при взгляде навстречу волне это «левая» (в радиотехнике договорились наоборот).

Поляризатор пропускает только составляющую E вдоль своей оси α. Если волна линейно поляризована под углом ψ, то за пластиной амплитуда равна E₀cosΔ, а интенсивность I = I₀cos²Δ, где Δ = ψ − α, — это закон Малюса. Естественный свет (лампа, Солнце) — смесь всех направлений, и первый поляризатор забирает ровно половину. Две скрещённые пластины (Δ = 90°) гасят свет полностью, но если вставить между ними третью под углом 45°, пройдёт ¼ света: средняя пластина «повернула» поляризацию, и последней снова есть что пропускать. На этом устроены поляризационные очки и жидкокристаллические экраны.

Как пользоваться: нажми «Красный свет», затем «Фиолетовый» и «Рентген» — увидишь, как сгущаются горбы. Выбери круговую поляризацию и посмотри «Вдоль распространения». Поставь галочки P₁…P₃ и собери опыт с тремя поляризаторами. Двигай точку z и сверяй числа в «Измерениях» с формулами: |E|/|B| всегда равно c, а интенсивность за пластинами совпадает с законом Малюса.