Закон преломления света и полное внутреннее отражение

Поворачивай лазер по транспортиру и выбирай среды — воздух, воду, стекло, алмаз. Симулятор измеряет углы падения и преломления, проверяет закон Снеллиуса sin α / sin β = n₂/n₁, находит предельный угол полного внутреннего отражения и по формулам Френеля показывает, сколько света отражается, а сколько проходит.

Верхняя среда (n₁)

n₁ показатель преломления

Нижняя среда (n₂)

n₂ показатель преломления

Лазер

α угол падения °

Построение синусов (sin α и sin β)

Волновые фронты: λ = λ₀/n, v = c/n

Плоскопараллельная пластина

Проверь себя: предскажи результат

Тяни лазер прямо по транспортиру. Яркость лучей — по формулам Френеля для неполяризованного света; точные доли R и T подписаны на лучах. Чтобы увидеть полное внутреннее отражение, поставь лазер в более плотную среду и увеличивай угол.

Попробуй так: поставь лазер в стекло (кнопка «в среде 2») и медленно наклоняй луч. Преломлённый луч уходит всё дальше от нормали, тускнеет и при 41,8° ложится вдоль границы. Ещё чуть-чуть — и он исчезает: весь свет отражается обратно, как от идеального зеркала. Это полное внутреннее отражение. Замени стекло алмазом — предельный угол упадёт до 24,4°, вот почему огранённый алмаз так сверкает. А если включить волновые фронты, станет видно, почему луч вообще поворачивает: в стекле волна идёт в n раз медленнее, и её фронт заворачивает, как шеренга солдат, сходящая с асфальта на песок.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Закон преломления света (закон Снеллиуса)

$$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{n_2}{n_1} \quad\Leftrightarrow\quad n_1\sin\alpha = n_2\sin\beta$$

α — угол падения, β — угол преломления (оба отсчитываются от нормали к границе); n₁ — показатель преломления среды, из которой идёт свет, n₂ — среды, в которую он входит

▶ Подробное объяснение

Закон следует из того, что в разных средах свет идёт с разной скоростью. Фронт волны, наклонно падающий на границу, одним краем уже вошёл во вторую среду и замедлился, а другим ещё бежит в первой — поэтому фронт поворачивается (принцип Гюйгенса). За одно и то же время волна проходит в средах пути v₁t и v₂t, откуда sin α / sin β = v₁/v₂ = n₂/n₁.

Пример: луч из воздуха падает на стекло (n = 1,5) под углом 40°. sin β = sin 40° / 1,5 = 0,643 / 1,5 = 0,429, β ≈ 25,4°. Обратно, из стекла в воздух под углом 25,4°, луч выйдет под 40° — ход лучей обратим. Падающий луч, преломлённый луч и нормаль лежат в одной плоскости.

Абсолютный показатель преломления

$$n = \frac{c}{v}, \qquad \lambda = \frac{\lambda_0}{n}$$

c = 3·10⁸ м/с — скорость света в вакууме, v — скорость света в среде, λ₀ — длина волны в вакууме, λ — в среде

▶ Подробное объяснение

Показатель преломления показывает, во сколько раз свет в веществе медленнее, чем в вакууме: у воздуха n ≈ 1,0003 (в задачах берут 1), у воды 1,33 (v ≈ 2,26·10⁸ м/с), у стекла около 1,5 (v = 2·10⁸ м/с), у алмаза 2,42 (v ≈ 1,24·10⁸ м/с). Среду с большим n называют оптически более плотной.

При переходе из среды в среду частота света ν не меняется (сколько гребней пришло к границе, столько и ушло), а скорость v = λν уменьшается — значит, уменьшается и длина волны: λ = λ₀/n. Включи в симуляторе волновые фронты: в стекле они идут теснее и медленнее.

Предельный угол полного внутреннего отражения

$$\sin\alpha_0 = \frac{n_2}{n_1}, \qquad n_1 > n_2$$

Свет идёт из оптически более плотной среды (n₁) в менее плотную (n₂). При α > α₀ преломлённого луча нет — весь свет отражается

▶ Подробное объяснение

Из закона преломления sin β = (n₁/n₂)·sin α. При n₁ > n₂ правая часть растёт быстрее sin α и при угле α₀ достигает единицы: β = 90°, преломлённый луч скользит вдоль границы. При больших углах уравнение не имеет решения — свет полностью отражается обратно. Для границы с воздухом: вода — α₀ ≈ 48,8°, стекло — 41,8°, алмаз — 24,4°. Для границы стекло (1,5) — вода (1,33): sin α₀ = 1,33/1,5 = 0,887, α₀ ≈ 62,5°.

Переход к ПВО плавный: по мере приближения к α₀ преломлённый луч тускнеет, а отражённый становится ярче (формулы Френеля). Полное внутреннее отражение — основа оптоволокна, призменных биноклей и перископов, катафотов; маленький предельный угол алмаза заставляет свет многократно отражаться внутри огранённого камня, и он сверкает.

Доля отражённого света (Френель)

$$R = \left(\frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2}\right)^2, \qquad T = 1 - R$$

Коэффициент отражения R при падении по нормали; T — доля прошедшего света. При наклонном падении R считается по полным формулам Френеля и растёт с углом

▶ Подробное объяснение

При падении по нормали стекло (n = 1,5) отражает (0,5/2,5)² = 4 % света, вода — около 2 %, алмаз — 17 %. Для наклонного падения отдельно считают две поляризации: r_s = (n₁cos α − n₂cos β)/(n₁cos α + n₂cos β), r_p = (n₂cos α − n₁cos β)/(n₂cos α + n₁cos β), а для обычного (неполяризованного) света R = (r_s² + r_p²)/2. Именно так в симуляторе рассчитана яркость лучей.

С ростом угла R увеличивается и при скользящем падении стремится к 100 % — поэтому гладь озера вдали отражает небо как зеркало. При угле Брюстера tg α_Б = n₂/n₁ отражённый свет полностью поляризован: составляющая r_p обращается в ноль, и отражается только s-поляризация. При полном внутреннем отражении R = 1.

Смещение луча плоскопараллельной пластиной

$$x = \frac{d\,\sin(\alpha - \beta)}{\cos\beta}$$

d — толщина пластины, α — угол падения, β — угол преломления внутри пластины; луч выходит параллельно падающему

▶ Подробное объяснение

Внутри пластины луч проходит путь d/cos β. Продолжение падающего луча отклоняется от него на угол α − β, поэтому расстояние между падающим и вышедшим лучами x = (d/cos β)·sin(α − β). На второй грани угол падения равен β, и по закону преломления луч выходит под углом α — параллельно падающему.

Пример: стеклянная пластина d = 4 см, n = 1,5, α = 45°. sin β = 0,707/1,5 = 0,471, β ≈ 28,1°; x = 4·sin 16,9° / cos 28,1° ≈ 1,32 см. При α = 0 смещения нет, при скользящем падении x стремится к d. Полного внутреннего отражения в пластине не бывает: sin β < n₁/n₂.

Закон преломления. На границе двух сред луч света частично отражается, а частично проходит в другую среду, меняя направление. Падающий луч, преломлённый луч и нормаль лежат в одной плоскости, а углы связаны законом Снеллиуса: n₁·sin α = n₂·sin β, или sin α / sin β = n₂/n₁. Угол падения α и угол преломления β отсчитываются от нормали — перпендикуляра к границе, а не от самой поверхности. Это частая ошибка в задачах.

Показатель преломления. Абсолютный показатель преломления n = c/v показывает, во сколько раз свет в веществе медленнее, чем в вакууме: у воды 1,33 (v ≈ 2,26·10⁸ м/с), у стекла около 1,5, у алмаза 2,42. Частота света на границе не меняется, поэтому длина волны уменьшается: λ = λ₀/n. Из оптически менее плотной среды в более плотную луч прижимается к нормали (β < α), обратно — отклоняется от неё (β > α). При падении по нормали (α = 0) луч проходит, не преломляясь.

Полное внутреннее отражение. Если свет идёт из более плотной среды в менее плотную (n₁ > n₂), угол β всегда больше α. При угле падения α₀, для которого sin α₀ = n₂/n₁, преломлённый луч скользит вдоль границы (β = 90°). При α > α₀ преломлённого луча нет вовсе: свет целиком отражается. Для границы вода — воздух α₀ ≈ 48,8°, стекло — воздух ≈ 41,8°, алмаз — воздух ≈ 24,4°. На этом явлении работают оптоволокно, призмы бинокля и перископа, катафоты.

Сколько света отражается. Доли отражённой и прошедшей энергии дают формулы Френеля. При падении по нормали отражается R = ((n₁ − n₂)/(n₁ + n₂))²: от стекла около 4 %, от воды около 2 %. С ростом угла R растёт и при скользящем падении стремится к 100 % — поэтому вода вдали блестит как зеркало. Прошедшая доля T = 1 − R. По мере приближения к предельному углу преломлённый луч гаснет, а отражённый разгорается — переход к ПВО плавный. В симуляторе яркость лучей рассчитана по этим формулам, точные проценты подписаны на лучах и показаны на графике R(α).

Плоскопараллельная пластина. Пройдя пластину с параллельными гранями, луч выходит параллельно падающему, но смещается на x = d·sin(α − β)/cos β, где d — толщина пластины. Внутри пластины полного отражения не бывает: на второй грани угол падения равен β, а sin β < n₁/n₂. Чем толще пластина и больше угол, тем сильнее смещение — так оконное стекло чуть сдвигает предметы за ним.