Дисперсия света в призме

Направь узкий пучок белого света на стеклянную призму и посмотри, как он раскладывается в радугу: фиолетовые лучи отклоняются сильнее красных, потому что показатель преломления стекла зависит от длины волны. Поворачивай призму, меняй её угол и материал — от воды до алмаза, найди угол наименьшего отклонения, поймай полное внутреннее отражение и повтори два знаменитых опыта Ньютона: собери спектр обратно в белый свет и докажи, что чистый цвет призма больше не делит.

Лучи рассчитаны трассировкой: на каждой грани работает закон преломления, а слабые отражённые лучи — по формулам Френеля. Бегущие вспышки — импульсы света: в стекле они идут медленнее (v = c/n), и фиолетовые отстают от красных. Пунктир — нормали к граням и продолжение падающего луча, жёлтая дуга — угол отклонения δ.

Что видно на экране (шкала — угол от центрального луча)

Показатель преломления стекла n(λ)

Угол отклонения δ от угла падения i

Опыт

Источник света, нм

Белый свет (все цвета сразу)

λ длина волны лазера 589

Цвет, который пропускает щель 530

Материал призмы

A преломляющий угол призмы 60°

i угол падения 54.0°

Импульсы света (v = c/n)

Нормали и углы i, A, δ

Проверь себя: предскажи результат

Модель: n(λ) — формулы Селлмейера с каталожными коэффициентами (стёкла Schott BK7, F2, SF11; вода при 20 °C; алмаз). Белый свет — 40 длин волн от 400 до 700 нм. Лучи трассируются в плоскости рисунка с законом преломления и формулами Френеля; экран всегда стоит перпендикулярно пучку. Импульсы показывают время распространения: их скорость ∝ 1/n.

n_кр (656 нм)

n_ф (405 нм)

δ_кр

отклонение красного луча

δ_ф

отклонение фиолетового луча

Δδ = δ_ф − δ_кр

угловая ширина спектра — мера дисперсии

Для λ = 589 нм

δ_min

наименьший угол отклонения

i = (A + δ_min) / 2

угол падения при симметричном ходе луча

v = c / n

скорость света в призме

sin α₀ = 1 / n

предельный угол полного внутреннего отражения

V = (n_D − 1) / (n_F − n_C)

число Аббе: чем оно меньше, тем сильнее стекло раскладывает свет

В 1666 году Исаак Ньютон затемнил комнату, проделал в ставне маленькое отверстие и поставил на пути солнечного луча стеклянную призму. На стене вместо круглого белого пятна появилась вытянутая цветная полоса — спектр: красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый. Ньютон понял, что призма не «окрашивает» свет, а разделяет его: белый свет — это смесь всех цветов, а стекло преломляет каждый цвет по-своему. Зависимость показателя преломления от длины волны называют дисперсией.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Закон преломления света

$$n_1\sin\alpha = n_2\sin\beta$$

α — угол падения, β — угол преломления (от нормали к грани); n₁, n₂ — показатели преломления сред. Переходя в оптически более плотную среду, луч прижимается к нормали

▶ Подробное объяснение

Закон Снеллиуса следует из того, что свет в разных средах идёт с разной скоростью: n = c/v. Фронт волны, наклонно падающий на границу, одной стороной уже попадает в стекло и замедляется, а другой ещё бежит в воздухе — поэтому фронт поворачивается. В призме закон применяется дважды: на входной грани (воздух → стекло) и на выходной (стекло → воздух).

Дисперсия входит в закон через n: для каждой длины волны своё n(λ). При угле падения 54° на флинт красный луч преломляется под углом 30,1°, а фиолетовый — под 29,4°. Разница меньше градуса, но после второй грани она вырастает до нескольких градусов.

Угол отклонения луча призмой

$$\delta = i_1 + i_2 - A, \qquad r_1 + r_2 = A$$

i₁ — угол падения на первую грань, i₂ — угол выхода из второй, r₁ и r₂ — углы внутри стекла, A — преломляющий угол призмы; δ — угол между падающим и вышедшим лучами

▶ Подробное объяснение

На первой грани луч поворачивает на угол i₁ − r₁, на второй — на i₂ − r₂, оба раза к основанию. Сложив повороты и учтя, что нормали к граням пересекаются под углом A (отсюда r₁ + r₂ = A), получаем δ = i₁ + i₂ − A. Для каждой длины волны r₁ = arcsin(sin i₁/n) и i₂ = arcsin(n·sin r₂) свои, поэтому и δ у каждого цвета своё.

Если n·sin r₂ > 1, второго угла не существует: луч испытывает полное внутреннее отражение на второй грани. На графике δ(i) эта область закрашена красным — при малых углах падения свет «запирается» в призме, причём фиолетовый — раньше красного.

Показатель преломления по наименьшему отклонению

$$n = \frac{\sin\dfrac{A + \delta_{\min}}{2}}{\sin\dfrac{A}{2}}$$

δmin — наименьший угол отклонения: он достигается, когда луч проходит призму симметрично (i₁ = i₂, внутри — параллельно основанию)

▶ Подробное объяснение

При симметричном ходе r₁ = r₂ = A/2 и i₁ = i₂ = (A + δmin)/2. Подставив это в закон преломления sin i₁ = n·sin r₁, получаем формулу. Так в лабораториях с высокой точностью измеряют n: на гониометре поворачивают призму, пока спектральная линия не остановится и не пойдёт обратно, и снимают угол δmin.

Для флинта с A = 60° и жёлтой линии натрия 589 нм δmin ≈ 48,2° при i ≈ 54,1°, откуда n = sin 54,1° / sin 30° ≈ 1,620. В симуляторе кнопка «Найти наименьшее отклонение» плавно поворачивает призму в это положение.

Тонкая призма: отклонение и ширина спектра

$$\delta \approx (n - 1)A, \qquad \Delta\delta \approx (n_{\text{ф}} - n_{\text{кр}})\,A$$

Для призмы с малым углом A (и не слишком косого падения) отклонение пропорционально A и (n − 1); угловая ширина спектра Δδ пропорциональна разности показателей для фиолетового и красного света

▶ Подробное объяснение

При малых углах синусы можно заменить самими углами: i₁ ≈ n·r₁, i₂ ≈ n·r₂, и тогда δ = n(r₁ + r₂) − A = (n − 1)A. Отсюда видно, что дисперсия «работает» через разность n: два цвета отклоняются на углы, отличающиеся на (n_ф − n_кр)·A.

Для флинта n_ф − n_кр ≈ 0,036, поэтому тонкая призма с A = 10° даёт спектр шириной около 0,36°, а призма с A = 60° — уже около 3,6° (у толстой призмы ширина растёт быстрее, чем по этой формуле). Именно из-за дисперсии простые линзы дают цветную кайму — хроматическую аберрацию; её устраняют, склеивая линзы из крона и флинта с разными числами Аббе.

Скорость и длина волны света в веществе

$$v = \frac{c}{n}, \qquad \lambda_{\text{ст}} = \frac{\lambda}{n}$$

c = 3·10⁸ м/с — скорость света в вакууме; в веществе свет медленнее в n раз, частота при переходе не меняется, поэтому длина волны тоже уменьшается в n раз

▶ Подробное объяснение

Дисперсия означает, что свет разных цветов идёт в стекле с разной скоростью. Во флинте красный свет движется со скоростью около 1,856·10⁸ м/с, а фиолетовый — около 1,816·10⁸ м/с. Пройдя 10 см стекла, фиолетовый импульс отстаёт от красного примерно на 12 пикосекунд (1,2·10⁻¹¹ с) — мало, но именно из-за этой разницы скоростей лучи и преломляются по-разному.

Включи в симуляторе «Импульсы света»: вспышки бегут вдоль лучей с постоянной скоростью в воздухе и замедляются внутри призмы (там они расположены чаще). Цвет определяется частотой, а не длиной волны: в стекле зелёный свет 532 нм имеет длину волны около 330 нм, но остаётся зелёным.

Предельный угол полного внутреннего отражения

$$\sin\alpha_0 = \frac{1}{n}$$

Если свет падает изнутри на границу стекло–воздух под углом больше α₀, он не выходит наружу, а полностью отражается; для крона α₀ ≈ 41°, для флинта ≈ 38°, для алмаза ≈ 24°

▶ Подробное объяснение

При выходе из стекла в воздух угол преломления больше угла падения. При угле падения α₀ преломлённый луч скользит вдоль грани (90°), а при большем угле преломлённого луча нет: sin β = n·sin α > 1. Весь свет отражается обратно — отсюда название «полное».

Поскольку n зависит от λ, предельный угол для фиолетового света немного меньше, чем для красного. Поэтому, если поворачивать призму к меньшим углам падения, первым из спектра исчезает фиолетовый край — попробуй на графике δ(i). В алмазе предельный угол так мал, что призма с A = 60° вообще не выпускает свет через вторую грань.

Свет на границе воздуха и стекла преломляется по закону n₁·sin α = n₂·sin β. Показатель преломления n показывает, во сколько раз свет в веществе медленнее, чем в вакууме: v = c/n. У стекла n немного зависит от длины волны: у флинта для красного света (656 нм) n ≈ 1,615, а для фиолетового (405 нм) n ≈ 1,651. Чем больше n, тем сильнее луч поворачивает на каждой грани. Поэтому фиолетовые лучи отклоняются сильнее всех, красные — слабее всех, и белый пучок за призмой расходится веером. На графике n(λ) видно, что n растёт к фиолетовому краю спектра — это нормальная дисперсия.

Призма поворачивает луч дважды — на входной и на выходной грани, — и оба раза к основанию. Если обозначить угол падения i₁, угол выхода i₂ и преломляющий угол призмы A, то полный угол отклонения δ = i₁ + i₂ − A, а углы внутри стекла связаны соотношением r₁ + r₂ = A. Поворачивай призму ползунком i и следи за графиком δ(i): отклонение сначала уменьшается, а потом снова растёт. Наименьшее отклонение получается при симметричном ходе луча, когда внутри призмы он идёт параллельно основанию. Нажми «Найти наименьшее отклонение» — и спектр на экране остановится и повернёт обратно. По δmin измеряют показатель преломления: n = sin((A + δmin)/2) / sin(A/2).

Сравни материалы. У воды n ≈ 1,33 и дисперсия мала — спектр узкий, меньше градуса. У крона спектр шириной около 1,4°, у флинта — около 3,6°, у тяжёлого флинта — почти 10°: в флинтах есть оксид свинца, он сильно увеличивает и n, и его зависимость от λ. Оптики описывают дисперсию числом Аббе V: чем оно меньше, тем сильнее стекло раскладывает свет. Ширина спектра растёт и с преломляющим углом: для тонкой призмы δ ≈ (n − 1)·A, поэтому при A = 30° отклонение примерно вдвое меньше, чем при 60°.

Если угол падения на вторую грань изнутри больше предельного (sin α₀ = 1/n), свет через неё не выходит — происходит полное внутреннее отражение. Для алмаза n ≈ 2,42 и α₀ ≈ 24°, поэтому алмазная призма с A = 60° не выпускает свет через вторую грань ни при каком повороте. Уменьши A до 30° — свет выйдет и разложится в яркий спектр. Огранка бриллианта рассчитана именно так: свет многократно отражается внутри камня и выходит наружу разноцветными вспышками — «игрой».

Повтори опыты Ньютона. В режиме «Две призмы» за первой призмой стоит такая же, перевёрнутая: она отклоняет каждый цвет на тот же угол в обратную сторону, и из неё выходит снова белый пучок — значит, белый свет действительно состоит из цветов. В «решающем опыте» доска с узкой щелью пропускает только один цвет. Вторая призма отклоняет его, но на новые цвета он не делится: чистый (монохроматический) цвет — это не смесь. Включи импульсы света — внутри стекла они идут медленнее и чаще, а фиолетовые отстают от красных: дисперсия — это и есть разная скорость света разных цветов в веществе.