Радиус светлого круга над источником в жидкости
Точечный источник света находится на дне сосуда на глубине $h = 3$ м под поверхностью жидкости с показателем преломления $n = 1{,}25$ (см. рисунок). На поверхности жидкости виден светлый круг, за пределы которого свет из жидкости в воздух не выходит. Найдите радиус $R$ этого круга. Показатель преломления воздуха считать равным 1.
- $h = 3$ м
- $n = 1{,}25$
- $n_{возд} = 1$
- $R = ?$
Лучи, падающие на поверхность под углом больше предельного $\theta$, испытывают полное внутреннее отражение и наружу не выходят. Граница светлого круга — точка, в которую приходит луч, падающий под предельным углом: преломлённый луч скользит вдоль поверхности (угол преломления $90°$).
1. Закон преломления для предельного угла:
$$n\sin\theta = 1 \cdot \sin 90° \;\Rightarrow\; \sin\theta = \frac{1}{n} = 0{,}8$$$$\cos\theta = \sqrt{1 - 0{,}8^2} = 0{,}6, \qquad \mathrm{tg}\,\theta = \frac{0{,}8}{0{,}6} = \frac{4}{3}$$2. В прямоугольном треугольнике с катетами $h$ и $R$ угол при источнике равен $\theta$:
$$R = h\,\mathrm{tg}\,\theta = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4 \text{ м}$$$R = 4$ м