Кажущаяся глубина: почему вода кажется мельче

Налей воду в кружку — и монета, которую закрывал край, станет видна. Перемещай глаз и смотри, как лучи преломляются на поверхности воды, где глаз «видит» монету и почему кажущаяся глубина h′ = h/n меньше настоящей. Опусти в воду карандаш — он покажется сломанным.

Опыты

Предмет

H уровень жидкости см

Жидкость

n показатель преломления

Изображение и продолжения лучей

Веер лучей от монеты

Проверь себя: предскажи результат

Тяни глаз — смотри под разными углами. Изображение строится точно: продолжения двух соседних лучей, попавших в глаз, пересекаются в одной точке. При взгляде сверху получается формула учебника h′ = h/n, а при косом взгляде дно «поднимается» ещё сильнее.

Опыт с монетой на дне чаши описан ещё в античных трактатах по оптике. Положи монету в непрозрачную кружку и отойди так, чтобы её закрыл край. Попроси кого-нибудь медленно налить воду — монета «всплывёт» и появится, хотя ни она, ни ты не двигались. Нажми «Налить воду» и проследи, при каком уровне луч от монеты впервые проходит над краем. Потом подвигай глаз: чем более наискосок ты смотришь, тем выше кажется дно. Поэтому купаться в незнакомом водоёме опасно — он кажется мельче, а рыбак с острогой целится ниже рыбы, которую видит.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Закон преломления света (закон Снеллиуса)

$$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{n_2}{n_1} \quad\Leftrightarrow\quad n_1\sin\alpha = n_2\sin\beta$$

α — угол падения, β — угол преломления (оба отсчитываются от нормали к границе); n₁ — показатель преломления среды, из которой идёт свет, n₂ — среды, в которую он входит

▶ Подробное объяснение

Закон следует из того, что в разных средах свет идёт с разной скоростью. Фронт волны, наклонно падающий на границу, одним краем уже вошёл во вторую среду и замедлился, а другим ещё бежит в первой — поэтому фронт поворачивается (принцип Гюйгенса). За одно и то же время волна проходит в средах пути v₁t и v₂t, откуда sin α / sin β = v₁/v₂ = n₂/n₁.

Пример: луч из воздуха падает на стекло (n = 1,5) под углом 40°. sin β = sin 40° / 1,5 = 0,643 / 1,5 = 0,429, β ≈ 25,4°. Обратно, из стекла в воздух под углом 25,4°, луч выйдет под 40° — ход лучей обратим. Падающий луч, преломлённый луч и нормаль лежат в одной плоскости.

Абсолютный показатель преломления

$$n = \frac{c}{v}, \qquad \lambda = \frac{\lambda_0}{n}$$

c = 3·10⁸ м/с — скорость света в вакууме, v — скорость света в среде, λ₀ — длина волны в вакууме, λ — в среде

▶ Подробное объяснение

Показатель преломления показывает, во сколько раз свет в веществе медленнее, чем в вакууме: у воздуха n ≈ 1,0003 (в задачах берут 1), у воды 1,33 (v ≈ 2,26·10⁸ м/с), у стекла около 1,5 (v = 2·10⁸ м/с), у алмаза 2,42 (v ≈ 1,24·10⁸ м/с). Среду с большим n называют оптически более плотной.

При переходе из среды в среду частота света ν не меняется (сколько гребней пришло к границе, столько и ушло), а скорость v = λν уменьшается — значит, уменьшается и длина волны: λ = λ₀/n. Включи в симуляторе волновые фронты: в стекле они идут теснее и медленнее.

Кажущаяся глубина (взгляд сверху)

$$h' = \frac{h}{n}$$

h — настоящая глубина, h′ — кажущаяся, n — показатель преломления жидкости относительно воздуха; формула верна при взгляде почти по вертикали

▶ Подробное объяснение

Луч от точки на дне выходит из воды на расстоянии a от вертикали: a = h·tg β = h′·tg α. Отсюда h′ = h·tg β / tg α. При малых углах тангенсы почти равны синусам, а sin α / sin β = n, поэтому h′ = h/n.

Для воды n = 1,33: дно на глубине 2 м кажется на глубине 1,5 м, а речка «по колено» на деле может оказаться по пояс. Изображение лежит на той же вертикали, что и предмет, но ближе к поверхности в n раз. Для стекла (n = 1,5) буква под пластиной толщиной 3 см кажется на глубине 2 см.

Кажущаяся глубина при косом взгляде

$$h' = \frac{h\cos^3\alpha}{n\cos^3\beta}, \qquad \sin\alpha = n\sin\beta$$

α — угол между лучом, идущим в глаз, и вертикалью; β — угол того же луча в воде. При α → 0 получается h′ = h/n

▶ Подробное объяснение

Глаз видит точку там, где пересекаются продолжения двух соседних лучей, попавших в зрачок. Точка выхода луча на поверхности x = h·tg β, а продолжение луча под водой — прямая с наклоном tg α. Пересечение соседних прямых (производная по β) даёт глубину изображения h′ = (dx/dβ)/(d tg α/dβ) = h·cos³α/(n·cos³β).

Пример: вода, взгляд под углом α = 45°. sin β = 0,707/1,33 = 0,532, β ≈ 32,1°; h′/h = 0,354/(1,33·0,608) ≈ 0,44 — дно кажется в 2,3 раза ближе, тогда как сверху лишь в 1,33 раза. Изображение к тому же смещается в сторону наблюдателя. Поэтому дно водоёма, на которое смотришь вдаль, кажется поднимающимся, а рыба — выше и ближе, чем на самом деле.

Почему дно кажется ближе. Свет от предмета под водой, выходя в воздух, преломляется на поверхности и отклоняется от нормали: sin α = n·sin β, где n — показатель преломления жидкости относительно воздуха. Глаз ничего не знает о преломлении: он продолжает пришедшие лучи назад по прямой и видит предмет там, где пересекаются эти продолжения. Эта точка лежит выше настоящего предмета — дно «приподнимается».

Формула h′ = h/n. Если смотреть почти сверху, углы малы и тангенсы почти равны синусам. Тогда из закона преломления кажущаяся глубина h′ = h/n. Для воды n = 1,33, поэтому дно на глубине 2 м кажется на глубине 1,5 м. При косом взгляде эффект сильнее: изображение в плоскости рисунка находится на глубине h′ = h·cos³α / (n·cos³β), где α — угол зрения от вертикали, β — угол луча в воде. Симулятор строит изображение по этой точной формуле, а график показывает, как отношение h′/h падает с ростом угла.

Монета в кружке. Когда кружка пустая, луч от монеты к глазу идёт по прямой и упирается в стенку. Вода меняет ход луча: выходя из воды, он наклоняется и проходит над краем — монета становится видна. Выбери опыт «Монета в кружке», нажми «Налить воду» и следи за статусом в левом верхнем углу.

«Сломанный» карандаш и рыбалка. Каждая точка подводной части карандаша кажется ближе к поверхности, поэтому карандаш выглядит переломленным на границе воды и воздуха. По той же причине рыба кажется выше, чем она есть. Смени жидкость: чем больше n (спирт, глицерин, сероуглерод), тем сильнее «подъём». Если смотреть точно сверху, монета остаётся на той же вертикали, только ближе в n раз.