Дифракция света на двух щелях: опыт Юнга

Посвети лазером на две узкие щели и посмотри, как свет за ними ведёт себя как волна: от каждой щели расходятся кольцевые волны, они складываются, и на экране появляются чередующиеся светлые и тёмные полосы. Меняй длину волны λ, расстояние между щелями d, ширину щели a и расстояние до экрана L, закрой одну щель, включи белый свет или пусти свет по одному фотону — и найди, от чего зависит ширина полос Δy = λL/d.

Плоскость у щелей — волновое поле в увеличенном масштабе: светлые дуги — гребни волн от двух щелей, тёмные «спицы» — направления, где волны гасят друг друга. Цветные «листы» света идут к максимумам k = 0, 1, 2… на экране; жёлтая линия — точка P.

Картина на экране и график интенсивности I(y)

Почему в точке P светло или темно: разность хода и сложение волн

Источник света, нм

λ длина волны 532

d расстояние между щелями 5.0

a ширина щели 1.0

Ширина щели не больше 0,8·d

L расстояние до экрана 1.00

Белый свет (все цвета сразу)

Закрыть одну щель

Фотоны по одному

Лучи к максимумам

Огибающая на графике

Волновое поле у щелей

Проверь себя: предскажи результат

Модель: каждая щель — ряд источников вторичных волн Гюйгенса; экран и график рассчитаны по формуле Фраунгофера I = 4I₀·cos²(πd·sinθ/λ)·(sin α/α)². Область у щелей показана в увеличенном масштабе (микрометры), путь до экрана — в метрах; оба масштаба сохраняют углы, поэтому лучи из волнового поля приходят точно в полосы на экране. Щели в микрометрах, чтобы волны были видны; при d = 0,1–1 мм формулы те же, а полосы — миллиметровые.

Δy ≈ λL / d

ширина полосы на экране

sin θ₁ = λ / d

угол на 1-й максимум

y₁ = L·tg θ₁

точное положение 1-го максимума

k_max < d / λ

наибольший порядок максимума

a·sin θ = λ

ширина центрального максимума огибающей

N ≈ 2d / a − 1

полос внутри центрального «горба»

Пропущенные порядки (d/a — целое)

В точке P (выбери на графике)

y_P

|Δ| = d·|sin θ|

I_P = cos²(πΔ/λ)·(sin α / α)²

В 1801 году Томас Юнг пропустил солнечный свет через два близко расположенных отверстия и увидел на экране не два световых пятна, а целую систему полос. Если бы свет был потоком мелких частиц, летящих по прямым, полос бы не было. Полосы возникают потому, что свет — волна: за щелями волны огибают края (дифракция), перекрываются и складываются (интерференция). Там, где гребень одной волны встречает гребень другой, свет усиливается; где гребень встречает впадину — гаснет. Свет плюс свет может дать темноту!

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Разность хода волн от двух щелей

$$\Delta = d\sin\theta$$

d — расстояние между щелями, θ — угол, под которым из щелей видна точка экрана; Δ — на сколько путь от дальней щели длиннее пути от ближней

▶ Подробное объяснение

Экран в опыте Юнга находится далеко (L ≫ d), поэтому лучи от двух щелей к одной точке экрана почти параллельны. Опустим перпендикуляр из одной щели на луч от другой — отрезок, который остался, и есть разность хода: Δ = d·sin θ. В центре экрана θ = 0 и Δ = 0, поэтому волны приходят в фазе. Разность хода переводится в разность фаз: φ = 2πΔ/λ.

В симуляторе выбери точку P на графике — на панели «разность хода» красным выделен отрезок Δ, а рядом показано, насколько сдвинуты друг относительно друга волны от S₁ и S₂.

Условия максимумов и минимумов

$$d\sin\theta = k\lambda, \qquad d\sin\theta = \left(k+\tfrac{1}{2}\right)\lambda$$

Светлая полоса (максимум) — там, где разность хода равна целому числу длин волн; тёмная (минимум) — где полуцелому; k = 0, ±1, ±2… — порядок полосы

▶ Подробное объяснение

Если Δ = kλ, гребни двух волн приходят в точку одновременно, амплитуды складываются, и интенсивность в 4 раза больше, чем от одной щели. Если Δ = (k + ½)λ, гребень одной волны приходит вместе со впадиной другой, и волны гасят друг друга полностью. Энергия при этом не исчезает: она перераспределяется — из тёмных полос в светлые.

Поскольку sin θ ≤ 1, порядок максимума не может быть больше d/λ. При d = 5 мкм и λ = 532 нм получаем k < 9,4, то есть не больше 9 максимумов по каждую сторону от центра. Посмотри на панель измерений: там посчитано k_max и угол первого максимума.

Ширина интерференционной полосы

$$\Delta y = \frac{\lambda L}{d}$$

Δy — расстояние между соседними светлыми (или тёмными) полосами на экране, L — расстояние от щелей до экрана; формула верна для малых углов

▶ Подробное объяснение

Координата k-го максимума на экране y_k = L·tg θ_k. При малых углах tg θ ≈ sin θ = kλ/d, поэтому y_k = kλL/d, и расстояние между соседними полосами Δy = λL/d не зависит от номера полосы. Это главная формула опыта Юнга: полосы шире у длинных волн и далёкого экрана и уже при большом расстоянии между щелями.

По этой формуле измеряют длину волны: λ = Δy·d/L. Например, при d = 0,2 мм, L = 2 м и Δy = 5,3 мм получается λ = 530 нм — зелёный свет. В симуляторе углы большие (щели в микрометрах), поэтому дальние максимумы стоят чуть дальше, чем даёт λL/d: на панели измерений сравни Δy и точное y₁ = L·tg θ₁.

Минимумы дифракции на одной щели

$$a\sin\theta = m\lambda, \quad m = \pm 1, \pm 2, \ldots$$

a — ширина щели; в этих направлениях свет от одной щели гаснет полностью — это нули огибающей, которая задаёт яркость интерференционных полос

▶ Подробное объяснение

Разобьём щель мысленно на две половины. Если a·sin θ = λ, то каждой точке верхней половины найдётся точка нижней, свет от которой приходит с разностью хода λ/2, — они попарно гасят друг друга, и в этом направлении темно. Ширина центрального максимума одной щели на экране 2L·tg θ₁, где sin θ₁ = λ/a: чем уже щель, тем шире пятно.

Интерференционные полосы двух щелей «живут» внутри этой огибающей. Внутри центрального горба помещается примерно 2d/a − 1 полос. Если d/a — целое число m, максимумы порядков m, 2m… попадают на нули огибающей и пропадают — на графике они отмечены красным крестиком. Попробуй d = 5 мкм, a = 1 мкм.

Распределение интенсивности на экране

$$I(\theta) = 4I_0\cos^2\!\left(\frac{\pi d\sin\theta}{\lambda}\right)\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^{2}, \quad \alpha = \frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}$$

I₀ — интенсивность в центре от одной щели; множитель cos² — интерференция двух щелей (частые полосы), множитель (sin α/α)² — дифракция на каждой щели (огибающая)

▶ Подробное объяснение

Эту формулу использует симулятор для экрана и графика. Две волны одинаковой амплитуды E со сдвигом фаз φ = 2πΔ/λ складываются в волну с амплитудой 2E·cos(φ/2); интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, отсюда 4I₀·cos²(πd·sin θ/λ). В максимуме яркость в 4 раза больше, чем от одной щели, в минимуме — ноль, а в среднем по экрану ровно вдвое больше — энергия сохраняется.

Второй множитель описывает, сколько света каждая щель посылает под углом θ. Для очень узкой щели (a ≪ λ) он почти равен 1, и все полосы одинаково яркие. Для белого света симулятор складывает картины для 16 длин волн от 400 до 700 нм — так получаются радужные полосы.

Опыт Юнга устроен просто: лазер, непрозрачная пластинка с двумя узкими параллельными щелями и экран. Каждая щель по принципу Гюйгенса сама становится источником вторичных волн. Эти волны рождены одной и той же падающей волной, поэтому они когерентны — колеблются согласованно, с постоянной разностью фаз. В симуляторе горизонтальная плоскость у щелей показывает мгновенное волновое поле: светлые дуги — гребни волн, которые бегут от щелей, а тёмные «спицы» между ними — линии, где волны всё время гасят друг друга.

Куда придёт светлая полоса, решает разность хода. До точки P на экране, видимой под углом θ, волна от дальней щели проходит путь на Δ = d·sin θ длиннее. Если на этой разнице укладывается целое число длин волн, Δ = kλ, гребни приходят вместе — максимум порядка k. Если полуцелое, Δ = (k + ½)λ, — гребень встречает впадину, и там тёмная полоса. Нижняя панель симулятора показывает это наглядно: перетащи точку P по графику и посмотри, как сдвигаются друг относительно друга две волны и что получается в сумме.

Для малых углов sin θ ≈ tg θ = y/L, и максимумы стоят на экране через равные промежутки Δy = λL/d. Отсюда три главных вывода, которые легко проверить ползунками. Чем больше длина волны, тем шире полосы: у красного лазера они шире, чем у зелёного и синего. Чем дальше экран, тем шире полосы. А чем ближе щели друг к другу, тем полосы шире — поэтому щели в опыте Юнга должны быть очень близко. Измерив Δy, L и d, можно найти длину волны света: λ = Δy·d/L. Именно так Юнг впервые измерил длину волны видимого света — около половины микрометра.

Каждая щель имеет конечную ширину a, и свет на ней тоже дифрагирует. Поэтому яркость полос не одинакова: их «накрывает» огибающая — картина дифракции на одной щели с нулями при a·sin θ = mλ (пунктир на графике). Чем уже щели, тем шире центральный «горб» и тем больше полос в нём помещается. Если d/a — целое число, некоторые максимумы попадают точно на нули огибающей и исчезают: при d = 5a нет 5-го, 10-го… порядков. Закрой одну щель — частые полосы пропадут, останется широкая полоса дифракции, а яркость в центре упадёт не в 2, а в 4 раза: две когерентные волны складываются амплитудами, I ∝ (E + E)² = 4E².

Включи белый свет. Центральная полоса белая — для неё Δ = 0 при любой длине волны. А боковые полосы окрашены радугой: фиолетовые ближе к центру, красные дальше, потому что Δy ∝ λ; дальше цветные полосы разных порядков перекрываются и размываются. И, наконец, режим «фотоны по одному»: даже если свет настолько слабый, что через прибор летит один фотон за раз, точки на экране постепенно складываются в те же интерференционные полосы. Каждый фотон «проходит через обе щели» как волна, а попадает в экран в одной точке — это и есть корпускулярно-волновой дуализм.