Оптоволокно: как свет идёт по изогнутой нити

Направь лазер в торец волокна и смотри, как луч зигзагом бежит внутри благодаря полному внутреннему отражению. Меняй угол входа, показатели преломления сердцевины и оболочки и радиус изгиба: симулятор покажет конус приёма, числовую апертуру NA = √(n₁² − n₂²) и место, где свет начинает вытекать.

Тип волокна (n₁ / n₂)

θ угол входа °

R радиус изгиба мм

n₁ сердцевина

n₂ оболочка

y₀ точка входа от оси мм

Конус приёма (апертура)

5 лучей под разными углами

Проверь себя: предскажи результат

Сердцевина нарисована толщиной 0,4 мм. У настоящего телеком-волокна она около 9 мкм, поэтому его можно гнуть с радиусом в сантиметры: потери на изгибе зависят от отношения радиуса изгиба к толщине сердцевины. Учтены потери на торцах (Френель) и утечка там, где угол падения на стенку меньше предельного.

В 1840-х годах Жан-Даниэль Колладон показал в Женеве «световой фонтан»: свет, пущенный в струю воды, шёл внутри неё и изгибался вместе со струёй (выбери тип «Струя воды»). Сегодня по стеклянным волокнам толщиной с человеческий волос передаётся почти весь интернет: световые импульсы пересекают океаны по подводным кабелям. За работы по волоконной связи Чарльз Као получил Нобелевскую премию 2009 года. Попробуй согнуть волокно круче — на изгибе свет начнёт вытекать, и график мощности покажет ступеньки потерь.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Абсолютный показатель преломления

$$n = \frac{c}{v}, \qquad \lambda = \frac{\lambda_0}{n}$$

c = 3·10⁸ м/с — скорость света в вакууме, v — скорость света в среде, λ₀ — длина волны в вакууме, λ — в среде

▶ Подробное объяснение

Показатель преломления показывает, во сколько раз свет в веществе медленнее, чем в вакууме: у воздуха n ≈ 1,0003 (в задачах берут 1), у воды 1,33 (v ≈ 2,26·10⁸ м/с), у стекла около 1,5 (v = 2·10⁸ м/с), у алмаза 2,42 (v ≈ 1,24·10⁸ м/с). Среду с большим n называют оптически более плотной.

При переходе из среды в среду частота света ν не меняется (сколько гребней пришло к границе, столько и ушло), а скорость v = λν уменьшается — значит, уменьшается и длина волны: λ = λ₀/n. Включи в симуляторе волновые фронты: в стекле они идут теснее и медленнее.

Предельный угол полного внутреннего отражения

$$\sin\alpha_0 = \frac{n_2}{n_1}, \qquad n_1 > n_2$$

Свет идёт из оптически более плотной среды (n₁) в менее плотную (n₂). При α > α₀ преломлённого луча нет — весь свет отражается

▶ Подробное объяснение

Из закона преломления sin β = (n₁/n₂)·sin α. При n₁ > n₂ правая часть растёт быстрее sin α и при угле α₀ достигает единицы: β = 90°, преломлённый луч скользит вдоль границы. При больших углах уравнение не имеет решения — свет полностью отражается обратно. Для границы с воздухом: вода — α₀ ≈ 48,8°, стекло — 41,8°, алмаз — 24,4°. Для границы стекло (1,5) — вода (1,33): sin α₀ = 1,33/1,5 = 0,887, α₀ ≈ 62,5°.

Переход к ПВО плавный: по мере приближения к α₀ преломлённый луч тускнеет, а отражённый становится ярче (формулы Френеля). Полное внутреннее отражение — основа оптоволокна, призменных биноклей и перископов, катафотов; маленький предельный угол алмаза заставляет свет многократно отражаться внутри огранённого камня, и он сверкает.

Числовая апертура волокна

$$\mathrm{NA} = \sin\theta_{max} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}$$

θ_max — наибольший угол между лучом и осью волокна, при котором свет ещё удерживается; n₁ — сердцевина, n₂ — оболочка, снаружи воздух

▶ Подробное объяснение

Луч входит в торец под углом θ: sin θ = n₁·sin θ₁. Внутри он падает на стенку под углом φ = 90° − θ₁, и ПВО требует sin φ = cos θ₁ ≥ n₂/n₁. Наибольший допустимый θ₁ даёт sin θ_max = n₁·sin θ₁ = n₁·√(1 − n₂²/n₁²) = √(n₁² − n₂²).

Пластиковое волокно (1,49/1,41): NA ≈ 0,48, θ_max ≈ 28,8°. Телекоммуникационное (1,468/1,462): NA ≈ 0,13, θ_max ≈ 7,6°. Стеклянный стержень в воздухе (1,5/1,0): NA > 1 — он ловит свет под любым углом. Чем больше NA, тем легче завести свет в волокно, но тем сильнее расплываются импульсы.

Время пути и межмодовая дисперсия

$$t = \frac{L\,n_1}{c}, \qquad \Delta t = \frac{L\,n_1}{c}\left(\frac{n_1}{n_2} - 1\right)$$

t — время прохождения волокна длиной L осевым лучом; Δt — запаздывание самого наклонного удерживаемого луча (φ = α₀)

▶ Подробное объяснение

Осевой луч идёт со скоростью c/n₁: 1000 км стеклянного волокна (n = 1,5) свет проходит за 5 мс. Наклонный луч идёт зигзагом, и его путь длиннее в 1/cos θ₁ раз; у самого крутого удерживаемого луча cos θ₁ = n₂/n₁, отсюда Δt.

Для пластикового волокна (1,49/1,41) длиной 1 км Δt ≈ 0,28 мкс: импульсы короче этого сливаются, и скорость передачи ограничена. У телеком-волокна с близкими n (1,468/1,462) Δt ≈ 20 нс на километр, а в одномодовом волокне с сердцевиной 9 мкм остаётся единственный путь, и межмодовой дисперсии нет вовсе.

Как устроено волокно. Оптическое волокно — тонкая стеклянная или пластиковая нить из двух слоёв: сердцевины с показателем преломления n₁ и оболочки с чуть меньшим n₂. Луч внутри сердцевины падает на границу с оболочкой под большим углом φ. Если φ больше предельного угла α₀ (sin α₀ = n₂/n₁), происходит полное внутреннее отражение — свет отражается без потерь и, отражаясь снова и снова, идёт вдоль волокна даже по изогнутому пути.

Конус приёма и числовая апертура. Не каждый луч, попавший в торец, удержится внутри. Входя под углом θ к оси, луч преломляется: sin θ = n₁·sin θ₁ — и падает на стенку под углом φ = 90° − θ₁. Условие φ ≥ α₀ даёт максимальный угол входа sin θ_max = √(n₁² − n₂²) = NA — числовую апертуру. Лучи внутри конуса с половинным углом θ_max (зелёный конус) проходят, остальные вытекают через стенки на первых отражениях. У пластикового волокна NA ≈ 0,5, у телекоммуникационного — около 0,1–0,2.

Изгиб. На изгибе внешняя стенка поворачивается навстречу лучу, и угол падения на неё уменьшается. Если радиус изгиба мал, угол становится меньше предельного: ПВО нарушается, и часть света уходит в оболочку. Поэтому для оптических кабелей задают минимальный радиус изгиба. В симуляторе это видно по вспышкам на изгибе и ступенькам на графике мощности P(s).

Скорость и дисперсия. В сердцевине свет идёт со скоростью v = c/n₁ ≈ 2·10⁸ м/с. Лучи, вошедшие под разными углами, проходят разные пути: в прямом волокне наклонный луч идёт зигзагом и отстаёт от осевого, а на изгибах лучи ещё и меняют наклон. Поэтому короткий импульс на выходе расплывается — это межмодовая дисперсия. Её уменьшают, делая разницу n₁ и n₂ маленькой или сердцевину такой тонкой (около 9 мкм), что в ней остаётся единственный путь. Так устроено одномодовое волокно магистральных линий связи.

Потери на торцах. На входе и выходе часть света отражается от торцов по формулам Френеля: у стекла около 4 % на каждой поверхности при падении по нормали. Симулятор учитывает и эти потери.