Бросок тела под углом к горизонту

Выстрели из пушки и посмотри, почему тело летит по параболе. Его движение складывается из двух простых: по горизонтали оно летит равномерно, а по вертикали тормозит и разгоняется, как мяч, подброшенный вверх. Тени на осях и стробоскоп показывают это наглядно, а числа на табло совпадают с формулами из учебника.

Графики движения

Пунктир — весь полёт по формулам, сплошная линия рисуется вместе с телом. Сравни: vₓ не меняется, а vᵧ убывает равномерно и в вершине проходит через ноль.

v₀ начальная скорость 15 м/с

θ угол броска к горизонту 50°

h₀ высота точки броска 0 м

Где бросаем

g ускорение свободного падения 9,8 м/с²

Готовые опыты

Скорость показа

Показывать

куда полетит (пунктир)

векторы скорости v и ускорения g

проекции скорости vₓ и vᵧ

стробоскоп: положения через равные Δt

тени тела на осях x и y

сравнить с мячом в воздухе

Игра «Попади в цель»

Сопротивление воздуха не учитывается (кроме оранжевого мяча), тело бросают с высоты h₀ над ровной землёй. Положение и скорость считаются по точным формулам, поэтому числа на экране совпадают с учебником.

Коротко о главном: брошенное тело участвует сразу в двух движениях. По горизонтали оно летит равномерно — vₓ = v₀·cos θ не меняется. По вертикали движется равноускоренно с ускорением g, как мяч, подброшенный вверх. Вместе эти движения и дают параболу. Пример: v₀ = 20 м/с, θ = 30° — тело поднимется на 5,1 м и упадёт через 2,04 с в 35,4 м от пушки. Поставь эти числа и проверь.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Проекции начальной скорости

$$v_{0x} = v_0\cos\theta, \qquad v_{0y} = v_0\sin\theta$$

Начальную скорость раскладывают на горизонтальную и вертикальную части. θ — угол между вектором скорости и горизонтом.

▶ Подробное объяснение

Вектор v₀ — гипотенуза прямоугольного треугольника, его проекции — катеты. Горизонтальный катет прилежит к углу θ, поэтому v₀ₓ = v₀·cos θ, вертикальный лежит против угла, поэтому v₀ᵧ = v₀·sin θ. Проверка: v₀ₓ² + v₀ᵧ² = v₀².

Пример: v₀ = 20 м/с, θ = 30°. v₀ₓ = 20·0,866 = 17,32 м/с, v₀ᵧ = 20·0,5 = 10 м/с. В симуляторе до броска эти две стрелки нарисованы прямо у пушки.

По горизонтали — равномерное движение

$$v_x = v_0\cos\theta = \text{const}, \qquad x = v_0\cos\theta \cdot t$$

По горизонтали на тело не действует ни одна сила, поэтому горизонтальная скорость за весь полёт не меняется.

▶ Подробное объяснение

Сила тяжести направлена вертикально, её горизонтальная проекция равна нулю, значит aₓ = 0. За каждую секунду тело сдвигается вперёд на одно и то же расстояние vₓ. В симуляторе это видно по синей тени на земле: метки стробоскопа на оси x стоят на равных расстояниях друг от друга. На графике vₓ(t) — горизонтальная прямая.

По вертикали — равноускоренное движение

$$v_y = v_0\sin\theta - g t, \qquad y = h_0 + v_0\sin\theta \cdot t - \frac{g t^2}{2}$$

Вертикальная скорость каждую секунду уменьшается на g: тело движется по вертикали так же, как брошенное прямо вверх. h₀ — высота точки броска.

▶ Подробное объяснение

Ось y направлена вверх, ускорение g — вниз, поэтому в формулах стоит минус. Пока vᵧ > 0, тело поднимается и замедляется по вертикали, в верхней точке vᵧ = 0, затем vᵧ < 0 и тело падает всё быстрее. График vᵧ(t) — наклонная прямая с наклоном −g, график y(t) — парабола.

Пример: v₀ᵧ = 10 м/с, h₀ = 0. Через 0,5 с vᵧ = 10 − 9,8·0,5 = 5,1 м/с, y = 10·0,5 − 9,8·0,25/2 = 3,78 м.

Время подъёма и наибольшая высота

$$t_1 = \frac{v_0\sin\theta}{g}, \qquad H = h_0 + \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$$

В верхней точке вертикальная скорость равна нулю. Высота зависит только от вертикальной проекции начальной скорости.

▶ Подробное объяснение

Из vᵧ = v₀·sin θ − g·t₁ = 0 получаем t₁. Подставив t₁ в y(t), находим H. В верхней точке скорость тела не ноль, а vₓ = v₀·cos θ, и ускорение по-прежнему g.

Пример: v₀ = 20 м/с, θ = 30°, h₀ = 0. t₁ = 10/9,8 = 1,02 с, H = 10²/(2·9,8) = 5,10 м. При θ = 90° (бросок вверх) H = v₀²/(2g) = 20,4 м — это предел для данной скорости.

Время полёта (бросок с земли)

$$T = \frac{2 v_0 \sin\theta}{g}$$

Если тело бросили с земли и оно падает на тот же уровень, подъём и спуск занимают одинаковое время, поэтому T = 2t₁.

▶ Подробное объяснение

Формула следует из y(T) = v₀·sin θ·T − g·T²/2 = 0. Время полёта зависит только от вертикальной проекции скорости: тела, брошенные с одинаковой v₀ᵧ, летят одинаково долго при любой vₓ.

Пример: v₀ = 20 м/с, θ = 30°: T = 2·10/9,8 = 2,04 с. Если тело бросают с высоты h₀, эта формула не годится — см. формулу броска с высоты.

Дальность полёта (бросок с земли)

$$L = v_{0x}\,T = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}, \qquad L_{max} = \frac{v_0^2}{g}\ (\theta = 45^\circ)$$

Дальность — горизонтальная скорость, умноженная на время полёта. Наибольшая при 45°; углы θ и 90° − θ дают одну дальность.

▶ Подробное объяснение

L = v₀·cos θ · 2v₀·sin θ / g = v₀²·2sin θ·cos θ / g = v₀²·sin 2θ / g. Синус не больше единицы, и sin 2θ = 1 при θ = 45°. Поскольку sin 2θ = sin(180° − 2θ), углы 30° и 60° дают одну дальность.

Пример: v₀ = 20 м/с, θ = 30°: L = 400·0,866/9,8 = 35,35 м; при 45° L_max = 400/9,8 = 40,8 м. На графике L(θ) под сценой эта кривая видна целиком.

Уравнение траектории — парабола

$$y = h_0 + x\tan\theta - \frac{g\,x^2}{2 v_0^2 \cos^2\theta}$$

Если из x(t) выразить время и подставить его в y(t), получится квадратичная зависимость y от x — уравнение параболы с ветвями вниз.

▶ Подробное объяснение

t = x / (v₀·cos θ). Подставляем в y = h₀ + v₀·sin θ·t − g·t²/2 и получаем формулу. Первое слагаемое с x — прямая, вдоль которой тело летело бы без тяжести (вдоль ствола пушки). Второе — то, на сколько тело «отстаёт» от этой прямой из-за падения: ровно g·t²/2.

Уравнение помогает в задачах «перелетит ли тело через стену высотой h на расстоянии x»: подставь x и сравни y с h.

Бросок с высоты h₀

$$T = \frac{v_0\sin\theta + \sqrt{v_0^2\sin^2\theta + 2 g h_0}}{g}, \qquad L = v_0\cos\theta \cdot T$$

Время полёта — положительный корень уравнения y(T) = 0. При горизонтальном броске (θ = 0) T = √(2h₀/g), как у тела, которое просто отпустили.

▶ Подробное объяснение

Уравнение h₀ + v₀ᵧ·T − g·T²/2 = 0 — квадратное относительно T. Отрицательный корень отбрасываем. При h₀ = 0 формула превращается в T = 2v₀·sin θ / g.

Пример: с башни h₀ = 20 м тело бросили горизонтально со скоростью 15 м/с. T = √(2·20/9,8) = 2,02 с, L = 15·2,02 = 30,3 м. Скорость у земли v = √(v₀² + 2gh₀) = √(225 + 392) = 24,8 м/с. С высоты лучший угол меньше 45°: tg θ* = v₀ / √(v₀² + 2gh₀).

Скорость в любой точке траектории

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 - 2g\,(y - h_0)}, \qquad \tan\alpha = \frac{v_y}{v_x}$$

Модуль скорости зависит только от высоты над точкой броска. α — угол, который вектор скорости образует с горизонтом в данный момент.

▶ Подробное объяснение

Вторая форма — это закон сохранения энергии: mv₀²/2 + mgh₀ = mv²/2 + mgy. Поэтому на одной высоте при подъёме и при спуске скорость одинакова по величине, а при h₀ = 0 тело падает со скоростью v₀. Наименьшая скорость — в верхней точке, она равна vₓ = v₀·cos θ.

Пример: v₀ = 20 м/с, θ = 30°, в верхней точке v = 17,32 м/с, у земли — снова 20 м/с под углом 30° вниз.

Что такое бросок под углом. Тело бросили со скоростью v₀ под углом θ к горизонту, и дальше на него действует только сила тяжести. Сопротивлением воздуха пренебрегаем. Тогда ускорение тела всё время одно и то же: a = g ≈ 9,8 м/с², и направлено оно вертикально вниз. Это верно на подъёме, в верхней точке и на спуске. Так летят камень, мяч, струя воды из шланга, ядро из пушки. Траектория такого движения — парабола.

Два движения вместо одного. Главная идея, которую заметил ещё Галилей: движение по горизонтали и движение по вертикали не мешают друг другу. Начальную скорость раскладывают на две проекции: v₀ₓ = v₀·cos θ и v₀ᵧ = v₀·sin θ. По горизонтали сила не действует, поэтому vₓ = v₀ₓ остаётся постоянной и x = v₀ₓ·t. Это равномерное движение. По вертикали действует g, поэтому vᵧ = v₀ᵧ − g·t и y = h₀ + v₀ᵧ·t − g·t²/2. Это равноускоренное движение, точно такое же, как у тела, брошенного вертикально вверх со скоростью v₀ᵧ. В симуляторе это видно по теням: синяя тень на земле проходит равные отрезки за равные Δt, а зелёная тень на оси y поднимается всё медленнее, замирает и падает всё быстрее.

Скорость в полёте. Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории. Его горизонтальная часть vₓ не меняется, а вертикальная vᵧ каждую секунду уменьшается на 9,8 м/с. В верхней точке vᵧ = 0, но сама скорость не равна нулю: тело продолжает лететь вперёд со скоростью vₓ. Это самая маленькая скорость за весь полёт. При h₀ = 0 тело падает на землю с той же по величине скоростью v₀, с какой его бросили, и под тем же углом θ, только направленным вниз. Скорость в любой точке: v = √(vₓ² + vᵧ²) = √(v₀² − 2g(y − h₀)). Она зависит только от высоты, а не от того, летит тело вверх или вниз.

Высота, время и дальность. Время подъёма находим из условия vᵧ = 0: t₁ = v₀·sin θ / g. Наибольшая высота H = v₀²·sin²θ / (2g). Если бросок с земли, подъём и спуск занимают одинаковое время, поэтому полное время полёта T = 2v₀·sin θ / g. Дальность — это горизонтальная скорость, умноженная на время полёта: L = v₀ₓ·T = v₀²·sin 2θ / g. Пример: v₀ = 20 м/с, θ = 30°. Тогда v₀ₓ = 17,32 м/с, v₀ᵧ = 10 м/с, t₁ = 1,02 с, H = 5,10 м, T = 2,04 с, L = 35,35 м. Поставь эти значения в симуляторе и проверь каждое число в панели «Измерения».

Почему 45°. В формуле дальности стоит sin 2θ, а он наибольший, когда 2θ = 90°, то есть θ = 45°. При этом L_max = v₀²/g. Углы, которые дополняют друг друга до 90° (30° и 60°, 15° и 75°), дают одинаковую дальность, ведь sin 60° = sin 120°. Но под большим углом тело летит выше и дольше. Это видно на правом графике под сценой: кривая L(θ) симметрична относительно 45°. Если бросать с высоты h₀, лучший угол становится меньше 45°: с башни 10 м при v₀ = 20 м/с выгоднее всего бросать под 39,3°, и тело улетит на 49,8 м вместо 40,8 м с земли.

Бросок с высоты и горизонтальный бросок. Если тело бросают с высоты h₀, время полёта находят из уравнения y(T) = 0: T = (v₀ᵧ + √(v₀ᵧ² + 2gh₀))/g, а дальность по-прежнему L = v₀ₓ·T. Формула L = v₀²·sin 2θ / g здесь уже не работает. При горизонтальном броске (θ = 0) вертикальной скорости в начале нет, и тело падает ровно столько же, сколько падало бы, если бы его просто отпустили: T = √(2h₀/g). С высоты 20 м это 2,02 с при любой горизонтальной скорости. Проверь опытом «Бросок и падение».

Другие планеты и воздух. Все формулы содержат g в знаменателе. На Луне g = 1,62 м/с², в 6 раз меньше земного, поэтому тело с той же скоростью летит в 6 раз выше и в 6 раз дальше. На Юпитере (g = 24,8 м/с²) — наоборот, в 2,5 раза ближе. В реальном воздухе мяч летит не по параболе: сопротивление отнимает у него скорость, траектория становится круче на спуске, а дальность заметно меньше. Футбольный мяч, пущенный со скоростью 25 м/с под 45°, в вакууме пролетел бы 63,8 м, а в воздухе — около 40 м. Лучший угол для него уже не 45°, а примерно 41–43°. Включи «Сравнить с мячом в воздухе» и посмотри на оранжевую кривую.

Типичные ошибки в задачах. Считают, что в верхней точке скорость равна нулю, хотя нулю равна только vᵧ. Думают, что в верхней точке пропадает и ускорение, а оно всё время равно g. Путают синус и косинус: горизонтальная проекция — v₀·cos θ, вертикальная — v₀·sin θ (угол отсчитывается от горизонта). Применяют T = 2v₀·sin θ / g и L = v₀²·sin 2θ / g к броску с высоты. Забывают, что горизонтальная скорость не влияет на время падения.

Как устроен симулятор. Положение и скорость тела считаются по точным формулам x(t) и y(t), а не приближённо по кадрам, поэтому числа на табло совпадают с учебником до последнего знака и не зависят от скорости показа. Момент верхней точки и момент падения вычисляются точно. Полёт мяча в воздухе (масса 0,43 кг, диаметр 22 см) рассчитывается численно методом Рунге — Кутты 4-го порядка. Дым, искры и пыль — только украшение, на расчёт они не влияют. g на Земле принято равным 9,8 м/с².