Интерференция волн

Две палочки бьют по воде в такт, и от каждой бегут круговые волны. Там, где гребень встречает гребень, вода бушует; где гребень встречает впадину — стоит спокойно. Тяни источники и зонд, меняй длину волны и сдвиг фаз — и смотри, откуда берутся «тихие» и «бурные» полосы.

× замедление: тяни влево — медленнее ×0,50

линии усиления (максимумы) линии гашения (узлы) лишний путь Δr путь r₁ от S₁ (бусины — через λ) путь r₂ от S₂ вода: светлее — гребень, темнее — впадина, ровно — тишина

Что происходит в точке P

Тяни зонд P по воде. Слева — две вращающиеся стрелки (фазоры), справа — как качается вода в этой точке.

Что увидит экран

Экран справа от ванны показывает, как ярко «светится» каждая высота y. Двигай экран влево-вправо и смотри, как меняются полосы.

Суть за 30 секунд

Каждый источник — своя волна

Две палочки бьют по воде в такт и посылают круговые волны. Каждая волна сама по себе — обычные кольца: гребень, впадина, гребень… Включи опыт «Одна волна» и убедись.

Волны складываются

В каждой точке воды смещения от двух волн просто складываются. Гребень + гребень = двойной гребень (усиление). Гребень + впадина = ноль (гашение): вода стоит на месте, хотя обе волны сюда дошли.

Всё решает разность хода

Если одна волна прошла до точки на целое число длин волн больше другой (Δr = mλ), они приходят в одной фазе — усиление. Если на полторы, две с половиной… (Δr = (m + ½)λ) — в противофазе, гашение. Поэтому «бурные» и «тихие» места лежат вдоль гипербол.

Попробуй сам

Включи только S₁, потом добавь S₂: появятся «тихие» линии. Пока источник один, их нет.
Тяни зонд P по воде: на жёлтой линии амплитуда A удваивается, на голубой пунктирной — падает до нуля.
Увеличь длину волны λ: полосы станут шире, а их число уменьшится. Уменьши — полосы тонкие и частые.
Раздвигай источники (d): полос становится больше. Сделай d меньше λ — останется один широкий максимум.
Поставь Δφ = π: на оси симметрии теперь тишина, а всё, что было максимумом, стало минимумом.
Уменьши A₂: узлы перестанут быть абсолютно спокойными — одна волна не может полностью заглушить другую, если она сильнее.

Где это в жизни

Наушники с шумоподавлением: микрофон слушает шум, а динамик излучает такой же звук в противофазе — в ухе остаётся тишина.
«Мёртвые зоны» Wi-Fi и радио, «глухие» места в концертном зале: там волны, пришедшие разными путями, гасят друг друга.
Радар и 5G: решётка антенн с небольшим сдвигом фаз поворачивает луч, не вращая сами антенны.
Переливы мыльного пузыря и масляной плёнки на воде: свет, отражённый от двух поверхностей плёнки, интерферирует, а цвет зависит от толщины.
Опыт Юнга с двумя щелями — доказательство волновой природы света, а потом и электронов: полосы получаются даже тогда, когда частицы летят по одной.

Режим

Опыты в один клик

λ длина волны 10.0

d расстояние между источниками

Δφ S₂ отстаёт от S₁ 0

A₁ амплитуда S₁ 1.00

A₂ амплитуда S₂ 1.00

Физика

затухание волн с расстоянием 1/√r

Показывать

линии усиления (максимумы) и их номера m

линии гашения (узлы)

пути S₁→P и S₂→P с линейкой из λ

гребни волн (кольца)

луч дальней зоны θₘ (d·sinθ = mλ)

сетку 10 см

Любое число на экране считается по точным формулам, а не по шагам: картина не зависит ни от частоты кадров, ни от «скорости показа». Волны не отражаются от стенок ванны (берега поглощают). Источники синусоидальные, с одной частотой и постоянной разностью фаз — то есть когерентные.

m порядок максимума m = 1

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Скорость, длина волны и частота

$$v = \lambda f = \frac{\lambda}{T}, \qquad k = \frac{2\pi}{\lambda}, \quad \omega = 2\pi f$$

За один период волна проходит ровно одну длину волны — отсюда v = λf

▶ Подробное объяснение

За время T одного колебания гребень уходит от источника на расстояние λ, поэтому v = λ/T = λf. В симуляторе скорость волн задана (v = 25 см/с), поэтому свободна только одна из величин — λ или f: растёт частота — длина волны сокращается. Числа на табло связаны именно этой формулой: λ = 10 см и f = 2,5 Гц дают v = 25 см/с. Волновое число k = 2π/λ говорит, сколько радиан фазы набегает на каждый сантиметр пути, а круговая частота ω = 2πf — на каждую секунду времени; именно k и ω стоят под синусом в формуле волны.

Наложение волн от двух источников

$$u = A_1\sin(\omega t - k r_1) + A_2\sin(\omega t - k r_2 - \Delta\varphi)$$

Смещение воды в точке — сумма двух круговых волн от когерентных источников

▶ Подробное объяснение

От каждого источника по воде бежит круговая волна. Фаза ωt − kr означает: в точке на расстоянии r вода повторяет колебание источника с опозданием r/v. Слагаемое −Δφ говорит, что S₂ отстаёт от S₁ по фазе на Δφ. По принципу суперпозиции смещения просто складываются. Волна «включается» в момент t = 0 и её фронт бежит со скоростью v: пока фронт не дошёл, вода спокойна. В реальной ванне амплитуда круговой волны убывает как 1/√r — энергия растекается по окружности длиной 2πr. Эта поправка включается галочкой «затухание»: тогда вдали a₁ ≠ a₂, и в узлах остаётся |a₁ − a₂|, а не ноль.

Разность хода и разность фаз

$$\psi = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta r - \Delta\varphi, \qquad \Delta r = r_1 - r_2$$

Один лишний сантиметр пути сдвигает фазу на 2π/λ; сдвиг источников добавляется сверху

▶ Подробное объяснение

Одну и ту же разность хода можно описать в сантиметрах и в радианах: путь Δr = λ — это ровно один оборот фазы (2π). Поэтому в точке волны от S₁ и S₂ сдвинуты по фазе на ψ = 2πΔr/λ − Δφ: первое слагаемое даёт геометрия (где стоит точка), второе — источники (насколько S₂ отстаёт). На диаграмме с вращающимися стрелками ψ — это угол между стрелками, и он не меняется со временем, потому что обе стрелки вращаются с одной частотой. Когда ψ кратно 2π — стрелки смотрят в одну сторону (усиление), когда ψ = π, 3π… — в противоположные (гашение).

Условия максимума и минимума

$$\Delta r = \left(m + \frac{\Delta\varphi}{2\pi}\right)\lambda \;\Rightarrow\; \max, \qquad \Delta r = \left(m + \frac12 + \frac{\Delta\varphi}{2\pi}\right)\lambda \;\Rightarrow\; \min$$

Для синфазных источников (Δφ = 0): максимум при Δr = mλ, минимум при Δr = (m + ½)λ

▶ Подробное объяснение

Максимум — это ψ = 2πm, минимум — ψ = (2m + 1)π; подставив ψ из предыдущей формулы, получаем условия на разность хода. При Δφ = 0 они совсем простые: целое число длин волн — усиление, полуцелое — гашение. Множество точек с одинаковой разностью хода r₁ − r₂ = const — гипербола с фокусами в источниках, поэтому на сцене жёлтые линии (максимумы) и голубые пунктирные (минимумы) — гиперболы. Центральная линия m = 0 лежит на оси симметрии. Линий не бесконечно много: |Δr| не может быть больше расстояния между источниками d, поэтому m ограничено. Сдвиг Δφ смещает все линии сразу; при Δφ = π максимумы и минимумы меняются местами.

Амплитуда суммы и интенсивность

$$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\psi}, \qquad I \propto A^2, \qquad \langle I\rangle \propto A_1^2 + A_2^2$$

Длина суммы двух стрелок; яркость пропорциональна квадрату амплитуды, а средняя яркость равна сумме яркостей

▶ Подробное объяснение

Два колебания одной частоты складываются в колебание той же частоты, а его амплитуда — это длина суммы двух векторов длиной A₁ и A₂ с углом ψ между ними (теорема косинусов). При ψ = 0 стрелки сложены в линию, A = A₁ + A₂; при ψ = π направлены навстречу, A = |A₁ − A₂|, и при равных амплитудах вода стоит. Интенсивность пропорциональна A², поэтому в максимуме она в (A₁ + A₂)²/(A₁² + A₂²) раз больше, чем сумма интенсивностей по отдельности (в 2 раза при равных амплитудах), а в минимуме — меньше. Усредняя cos ψ по всем фазам, получаем ⟨I⟩ ∝ A₁² + A₂²: интерференция не создаёт и не уничтожает энергию, а лишь перераспределяет её. Именно это показывает пунктирная линия I₁ + I₂ на графике экрана.

Число максимумов

$$N = 2\left\lfloor \frac{d}{\lambda} \right\rfloor + 1 \qquad (\Delta\varphi = 0)$$

Сколько направлений усиления даёт пара синфазных источников на расстоянии d

▶ Подробное объяснение

Разность хода Δr = r₁ − r₂ в любой точке плоскости лежит в пределах от −d до +d. Максимумы возможны только при |mλ| ≤ d, то есть |m| ≤ d/λ. Целых m от −⌊d/λ⌋ до +⌊d/λ⌋ получается 2⌊d/λ⌋ + 1, включая центральный m = 0. При λ = 10 см и d = 30 см: N = 2·3 + 1 = 7 (крайние m = ±3 идут вдоль линии источников). Если d < λ, то N = 1: остаётся один широкий максимум вперёд, боковых нет. При Δφ ≠ 0 формула меняется: нужно посчитать целые m, для которых |(m + Δφ/2π)λ| ≤ d, — это число показано на вкладке «Измерения».

Направление максимума в дальней зоне

$$d\sin\theta_m = \left(m + \frac{\Delta\varphi}{2\pi}\right)\lambda$$

Угол θ отсчитывается от оси симметрии в сторону отстающего источника S₂

▶ Подробное объяснение

Далеко от источников лучи к точке идут почти параллельно, и разность хода зависит только от направления: Δr ≈ d·sinθ. Приравняв её условию максимума, получаем d·sinθ = (m + Δφ/2π)λ. При Δφ = 0 главный максимум m = 0 идёт строго вперёд (θ = 0), а остальные — под углами sinθ = mλ/d. При Δφ ≠ 0 весь веер поворачивается: для m = 0 имеем sinθ = Δφ·λ/(2πd). Так работает фазированная антенная решётка: меняя сдвиг фаз между антеннами, луч радара или 5G поворачивают, не вращая сами антенны. Включи опыт «Поворот луча» и галочку «луч дальней зоны», чтобы увидеть это на сцене.

Расстояние между полосами на экране

$$\Delta y = \frac{\lambda L}{d} \qquad (L \gg d)$$

Чем дальше экран и чем длиннее волна, тем шире полосы; чем дальше источники друг от друга — тем уже

▶ Подробное объяснение

На экране на расстоянии L координата m-го максимума y_m = L·tgθ_m. При малых углах tgθ ≈ sinθ = mλ/d, поэтому y_m ≈ mλL/d, а расстояние между соседними максимумами Δy = λL/d. Формула приближённая: она точна, когда экран далеко (L ≫ d). В симуляторе L/d обычно порядка 2, поэтому на вкладке «Измерения» рядом стоят два числа — ширина полосы, снятая с картинки, и по формуле; чем больше L/d (отодвинь экран, сдвинь источники), тем лучше они совпадают. Та же формула описывает опыт Юнга с двумя щелями для света, только там λ ≈ 500 нм, а Δy — доли миллиметра.

Интерференция — это сложение волн. В каждой точке среды смещение равно сумме смещений от всех источников: u = u₁ + u₂. Всё решает разность хода Δr = |r₁ − r₂| — на сколько одна волна прошла дальше другой. Если Δr — целое число длин волн (Δr = mλ), гребень приходит вместе с гребнем, и колебания усиливаются: амплитуда A = A₁ + A₂. Если Δr — полуцелое число (Δr = (m + ½)λ), гребень встречает впадину, и волны гасят друг друга: A = |A₁ − A₂|, а при равных амплитудах вода стоит на месте. Источники должны быть когерентными — одной частоты и с постоянной разностью фаз, иначе картина «плывёт» и полос не видно. Симулятор считает поле не по шагам, а точной формулой: u = A₁·sin(ωt − k·r₁) + A₂·sin(ωt − k·r₂ − Δφ), где k = 2π/λ, ω = 2πf, а скорость волн v = λ·f = 25 см/с. Сначала от источников разбегаются кольцевые фронты (кнопка «Новые капли» запускает волны заново), потом картина заполняет всю ванну. Три вида сцены показывают одно и то же поле по-разному: «Вода» — освещённая поверхность (светлее — гребень, темнее — впадина, ровно — узел), «Цвет» — смещение u цветом (тёплый — вверх, холодный — вниз), «Интенсивность» — средняя за период яркость ⟨u²⟩, то есть то, что увидит экран. Жёлтые линии — места усиления (максимумы Δr = (m + Δφ/2π)λ), голубые пунктирные — места гашения (узлы); это гиперболы с фокусами в источниках. Зонд P показывает, что делают две волны именно в его точке: красный кусочек пути — «лишний» путь Δr, бусины на лучах отсчитывают длины волн, а вращающиеся стрелки (фазоры) показывают, как складываются колебания: длина суммы A = √(A₁² + A₂² + 2A₁A₂·cos ψ), где ψ = 2πΔr/λ − Δφ. Экран справа показывает яркость I(y): полосы, их номера m и пунктир I₁ + I₂ — яркость без интерференции. Среднее по экрану совпадает с этим пунктиром: энергия не пропадает, а перераспределяется из минимумов в максимумы. Число направлений усиления между источниками при Δφ = 0 равно N = 2⌊d/λ⌋ + 1; вдали они идут под углами d·sinθ = mλ, а расстояние между полосами на экране Δy = λL/d (при L ≫ d). Увеличь d — полос станет больше, увеличь λ — они станут шире; если d < λ, остаётся один широкий максимум. Сдвиг фаз Δφ смещает всю картину: при Δφ = π максимумы и минимумы меняются местами, а промежуточные значения поворачивают луч — так работают фазированные антенные решётки радаров. Режимы «Квиз» и «Лаборатория» проверяют понимание: в лаборатории длина волны скрыта, и её нужно найти, измерив разности хода в узлах.