Эффект Доплера и звуковой барьер

Самолёт-источник звука летит мимо наблюдателя: смотри, как сферические фронты сжимаются впереди и растягиваются позади, слушай, как падает тон при пролёте, — а потом разгонись до скорости звука и пробей звуковой барьер. При v > c фронты складываются в конус Маха, и наблюдатель слышит звуковой удар.

сжатие воздуха разрежение гребни волны (фронты); купола — те же фронты в объёме

Срез вдоль линии полёта

Сигнал и частота у наблюдателя

Скорость источника

v скорость источника 170 · M = 0.50

f₀ частота источника 340 · λ₀ = 1.00

v_н скорость наблюдателя 0

Проекция на ось полёта: «+» — в ту же сторону, что и источник, «−» — навстречу

Замедление времени

Фронты в объёме (купола)

Конус Маха

Сетка 1 м

Проверь себя

Гребни — сферы, испущенные из точных точек траектории; их радиус c·(t − tₙ). Частота у наблюдателя считается через момент излучения звука, поэтому числа совпадают с формулами и не зависят от замедления. c = 340 м/с.

M = v / c

число Маха

λ₀ = c / f₀

длина волны неподвижного источника

λ₁ = (c − v) / f₀

впереди источника

λ₂ = (c + v) / f₀

позади источника

f₀(c − v_н) / (c − v)

источник приближается

f₀(c + v_н) / (c + v)

источник удаляется

T₀ = 1 / f₀

sin α = c / v

угол конуса Маха

Момент звукового удара у наблюдателя

Наблюдатель сейчас

f_н (точно)

угол в момент излучения

f₀(c − v_нcosθ) / (c − v cosθ)

R, τ = R / c

путь звука от точки излучения и время в пути

Эффект Доплера — изменение частоты (высоты тона), которую слышит наблюдатель, когда источник волн и наблюдатель движутся друг относительно друга. Сам источник звучит как обычно, а скорость звука в воздухе остаётся c = 340 м/с. Меняется расстояние между гребнями: если источник догоняет свои волны, они сжимаются и приходят чаще — тон выше; если удаляется, растягиваются — тон ниже. Поэтому сирена скорой помощи звучит выше, пока машина едет к тебе, и резко «съезжает» вниз в момент, когда она проезжает мимо. Явление предсказал австрийский физик Кристиан Доплер в 1842 году, а в 1845-м голландец Бейс-Баллот проверил его: на открытой платформе поезда трубачи тянули одну ноту, а музыканты с абсолютным слухом на перроне слышали, как она повышается при приближении и понижается при удалении. Сегодня на эффекте Доплера работают полицейские радары, УЗИ кровотока и измерение скорости звёзд и галактик по сдвигу их спектров. Если источник летит быстрее звука, волны вообще не успевают уйти вперёд: они складываются в конус Маха, и вместо нарастающего гула наблюдатель слышит резкий хлопок — звуковой удар.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Скорость, длина волны и частота

$$v = \lambda f = \frac{\lambda}{T}, \qquad k = \frac{2\pi}{\lambda}, \quad \omega = 2\pi f$$

За один период волна проходит ровно одну длину волны — отсюда v = λf

▶ Подробное объяснение

За время T одного колебания гребень уходит от источника на расстояние λ, поэтому v = λ/T = λf. В симуляторе скорость волн задана (v = 25 см/с), поэтому свободна только одна из величин — λ или f: растёт частота — длина волны сокращается. Числа на табло связаны именно этой формулой: λ = 10 см и f = 2,5 Гц дают v = 25 см/с. Волновое число k = 2π/λ говорит, сколько радиан фазы набегает на каждый сантиметр пути, а круговая частота ω = 2πf — на каждую секунду времени; именно k и ω стоят под синусом в формуле волны.

Движущийся источник

$$\lambda' = \frac{c \mp v}{f_0}, \qquad f = f_0\,\frac{c}{c \mp v}$$

Верхний знак — источник приближается (впереди), нижний — удаляется (позади)

▶ Подробное объяснение

За период T₀ = 1/f₀ гребень уходит вперёд на cT₀, а источник за ним — на vT₀. Следующий гребень испускается уже из новой точки, поэтому впереди расстояние между гребнями λ' = (c − v)T₀, позади — (c + v)T₀. Гребни летят к наблюдателю со скоростью c, значит, он слышит f = c/λ' = f₀·c/(c ∓ v).

Пример: f₀ = 340 Гц, v = 170 м/с (0.5c). Впереди λ' = 170/340 = 0.5 м, f = 680 Гц; позади λ' = 1.5 м, f ≈ 227 Гц. Повышение и понижение несимметричны: при v → c частота впереди растёт неограниченно, а позади стремится лишь к f₀/2. Формула работает только при v < c: при v ≥ c впереди источника волн нет.

Движущийся наблюдатель

$$f = f_0\,\frac{c \pm v_н}{c}$$

«+» — наблюдатель движется навстречу волнам, «−» — убегает от них

▶ Подробное объяснение

Если источник покоится, волны в воздухе симметричны и λ = c/f₀ не меняется. Но наблюдатель, бегущий навстречу, встречает гребни со скоростью c + vₙ относительно себя, поэтому за секунду их приходит (c + vₙ)/λ = f₀(c + vₙ)/c. Убегая, он встречает их реже.

Важно: здесь меняется не длина волны, а только частота встреч. В симуляторе поставь v = 0 и сдвинь ползунок vₙ — окружности на полу останутся концентрическими, а частота на графике f(t) изменится.

Общая формула эффекта Доплера

$$f = f_0\,\frac{c - v_н\cos\theta}{c - v\cos\theta}$$

θ — угол между скоростями и направлением «точка излучения → наблюдатель»; на прямой cos θ = ±1

▶ Подробное объяснение

На эффект влияют только проекции скоростей на линию, по которой звук идёт от точки излучения к наблюдателю. Когда источник далеко впереди, cos θ = 1 и формула превращается в f₀(c − vₙ)/(c − v); когда он далеко позади, cos θ = −1 и f = f₀(c + vₙ)/(c + v). При θ = 90° (звук излучён, когда источник был ровно напротив) частота равна f₀ — но услышит её наблюдатель позже, когда самолёт уже пролетит.

Обрати внимание: угол берётся в момент излучения, а не в момент, когда звук услышан. Вкладка «Измерения» показывает θ и проверяет: число из этой формулы совпадает с точной частотой f_н.

Число Маха и конус Маха

$$M = \frac{v}{c}, \qquad \sin\alpha = \frac{c}{v} = \frac{1}{M}\quad (M > 1)$$

При сверхзвуковом полёте фронты образуют конус с половинным углом раствора α

▶ Подробное объяснение

За время t сфера, испущенная в начале, расширяется до радиуса ct, а источник улетает на vt. Если v > c, источник оказывается вне всех своих сфер, и общая касательная к ним — конус с вершиной в источнике. Из прямоугольного треугольника sin α = ct/(vt) = 1/M. При M = 1.5 α ≈ 41.8°, при M = 2 α = 30°: чем быстрее полёт, тем острее конус.

На поверхности конуса сжатия от многих гребней приходят одновременно — это ударная волна. Когда конус проходит через наблюдателя, слышен звуковой удар. Он сопровождает самолёт всё время сверхзвукового полёта, а не только в момент «преодоления барьера». В симуляторе момент удара считается точно: наблюдателя на расстоянии |y| от трассы конус настигает, когда самолёт ушёл вперёд на √(M² − 1)·|y|.

Почему меняется тон. Источник звука испускает гребни волны через равные промежутки времени T₀ = 1/f₀, и каждый гребень расходится от точки, где источник был в момент излучения, со скоростью звука c = 340 м/с. Скорость звука задаёт среда, а не источник. Если источник движется, центры сфер смещаются: впереди гребни догоняют друг друга, и длина волны становится меньше, λ = (c − v)/f₀; позади они растягиваются, λ = (c + v)/f₀. До неподвижного наблюдателя гребни доходят с той же скоростью c, поэтому он слышит частоту f = c/λ: f = f₀·c/(c − v), пока источник приближается, и f = f₀·c/(c + v), когда он удаляется. Это и есть эффект Доплера — знакомое «иииии-ууууу» проезжающей скорой помощи.

Что показывает симулятор. На полу — давление воздуха в плоскости полёта: оранжевым показано сжатие, синим разрежение, светлые окружности — гребни. Над полом — те же гребни в объёме, полупрозрачные купола. Зелёный шар — наблюдатель; его можно переставить щелчком по полу. Каждый пришедший к нему гребень вызывает вспышку, поэтому видно, что вспышки у наблюдателя идут чаще или реже, чем у источника. Под сценой — срез вдоль линии полёта: кривая давления p(x) с размерами λ впереди и позади и ряды частиц воздуха, которые качаются вдоль направления волны (звук — продольная волна). Ниже — осциллограмма «что излучает источник / что доходит до уха» и график частоты f(t) у наблюдателя с пунктирами f₀·c/(c − v) и f₀·c/(c + v). Время замедлено в 100 раз, но все числа — настоящие: положения гребней и частота считаются точными формулами.

Наблюдатель тоже может двигаться. Если источник стоит, а наблюдатель бежит навстречу со скоростью vₙ, длина волны в воздухе не меняется, но гребни встречаются чаще: f = f₀·(c + vₙ)/c. В общем случае f = f₀·(c − vₙ·cos θ)/(c − v·cos θ), где θ — угол между направлением полёта и прямой «точка излучения → наблюдатель». Вкладка «Измерения» показывает точную частоту и проверку этой формулой. Если наблюдатель стоит в стороне от трассы, частота меняется плавно — от высокой к низкой — ровно в тот момент, когда до него доходит звук, излучённый при пролёте.

Звуковой барьер и конус Маха. Число Маха M = v/c показывает, во сколько раз источник быстрее звука. При M = 1 источник летит вровень со своими гребнями: впереди они сливаются в одну стену повышенного давления — ударную волну. При M > 1 источник обгоняет свой звук, и фронты складываются в конус с углом раствора sin α = 1/M. Впереди конуса — зона тишины: сверхзвуковой самолёт сначала пролетает, и только потом до наблюдателя доходит конус — резкий хлопок, звуковой удар. После удара наблюдатель слышит сразу два звука: волны, испущенные в разные моменты, приходят одновременно.

Попробуй. 1) Нажми «0.5c» и сравни λ впереди и позади: 0.50 м и 1.50 м при f₀ = 340 Гц, а частоты — 680 и 227 Гц. 2) Включи «Слушать наблюдателя» и услышь, как падает тон при пролёте; кнопка «Пролёт в реальном времени» проигрывает тот же пролёт без замедления. 3) Нажми «Разгон через барьер» и посмотри, как из сжатых фронтов рождается ударная волна. 4) При «1.5c» измерь угол конуса: sin α = 1/1.5, α ≈ 41.8°. 5) Включи «Проверь себя» и предскажи результат до того, как увидишь опыт.