Упругое столкновение двух тел

Два шара катятся по рельсу и сталкиваются. Задай массы и скорости (знак — направление) и смотри, что происходит при ударе: как шары обмениваются импульсом, как энергия на миг прячется в их сжатии и почему общий импульс и общая энергия остаются прежними.

Суть за 30 секунд

Удар — это обмен импульсом

Пока шары касаются, они давят друг на друга одинаково сильно, но в разные стороны (третий закон Ньютона). Сколько импульса теряет один шар, столько получает другой — поэтому общий импульс не меняется.

Энергия не пропадает

При упругом ударе шары на миг сжимаются, как две пружинки: энергия движения прячется в сжатии, а потом целиком возвращается. Поэтому общая кинетическая энергия до и после удара одна и та же. (Пластилиновые шары слиплись бы, а часть энергии ушла бы в тепло — это неупругий удар.)

Сближение = разлёт

С какой скоростью шары сближались, с такой же они и разлетаются. Это правило вместе с законом сохранения импульса даёт скорости после удара без сложных вычислений.

Попробуй сам

Нажми «Равные массы»: шары просто обмениваются скоростями — летевший останавливается, стоявший уезжает с его скоростью.
Нажми «Лёгкий → тяжёлый»: лёгкий шар отскакивает назад, а тяжёлый едва шевелится — как мячик о стену.
Нажми «Тяжёлый → лёгкий»: лёгкий шар вылетает вперёд быстрее тяжёлого — почти вдвое.
Включи «Вид из центра масс»: в этой системе отсчёта шары просто разворачивают скорости — картинка становится симметричной.

Где это встречается

Бильярд и боулинг: удар шара о шар почти упругий — поэтому работают и «обмен скоростями», и отскоки.
Молекулы газа сталкиваются почти упруго — на этом построена молекулярно-кинетическая теория и объяснение давления газа.
Ядерные реакторы: нейтроны замедляют упругими ударами о лёгкие ядра (вода, графит) — чем ближе массы, тем сильнее замедление.

m₁ масса 1,0 кг

v₁ скорость +2,0 м/с

m₂ масса 1,0 кг

v₂ скорость −1,0 м/с

Знак скорости — это направление: плюс — вправо, минус — влево. Скорость шара можно менять и на сцене: «В начало» и потяни за кружок на стрелке.

Попробуй в один клик

Скорость показа

Условия опыта

Стенки: шары отскакивают от краёв

Вид из центра масс

Показывать

Стрелки скоростей

Стробоскоп: отпечатки через равные промежутки времени

Центр масс

Силы удара

Замедлять момент удара (только показ)

Проверь себя: угадай скорость после удара

Шары идеально упругие, трения нет. Показ можно замедлять и ускорять — числа от этого не меняются. Настоящий удар длится доли секунды: в «кино» его растянули, чтобы было видно сжатие.

Графики: что и как меняется

Скорость каждого шара меняется при ударе, а суммарные импульс и энергия — золотые линии — идут ровно. Зелёная область на графике энергии — энергия, на миг «спрятанная» в сжатии шаров.

Скорости шаров: меняются только во время удара

Импульс: у каждого шара меняется, сумма — нет

Энергия: движение + сжатие, сумма постоянна

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Закон сохранения импульса

$$m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'$$

Общий импульс двух шаров до удара равен общему импульсу после удара

▶ Подробное объяснение

Импульс — векторная величина: p = mv (в одномерной задаче направление задаёт знак). Во время удара шары давят друг на друга равными и противоположными силами в течение одного и того же времени (третий закон Ньютона), поэтому импульс, потерянный одним шаром, получает другой, а сумма не меняется. Это верно для любых масс и скоростей и даже для неупругого удара. В симуляторе это золотая линия: на шкале «p» под сценой и на графике импульса она не двигается ни во время сближения, ни во время удара, ни после него (пока шары не ударились о стенку — стенка добавляет внешний импульс).

Сохранение кинетической энергии

$$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{m_1v_1'^2}{2} + \frac{m_2v_2'^2}{2}$$

При упругом ударе сумма кинетических энергий шаров до и после удара одна и та же

▶ Подробное объяснение

Именно это отличает упругий удар от неупругого: при неупругом ударе часть энергии уходит в тепло и деформацию, и E уменьшается. При упругом ударе энергия не теряется, но на миг меняет форму: шары сжимаются, как пружинки, и кинетическая энергия превращается в энергию сжатия, а потом возвращается. В симуляторе полная энергия E = E₁ + E₂ + E_сж (шкала «E» под сценой) постоянна в любой момент, а кинетическая энергия E₁ + E₂ только на время удара «проваливается» и снова поднимается до прежнего значения.

Скорости после упругого удара

$$\begin{aligned} v_1' &= \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2v_2}{m_1 + m_2} \\ v_2' &= \frac{(m_2 - m_1)v_2 + 2m_1v_1}{m_1 + m_2} \end{aligned}$$

Скорости обоих шаров сразу после центрального упругого удара

▶ Подробное объяснение

Формулы получаются из двух условий: закона сохранения импульса и закона сохранения кинетической энергии. Знак скорости задаёт направление: плюс — вправо, минус — влево. В симуляторе эти значения видны заранее — в строке под сценой и в таблице «до и после» (колонка «по формуле»), а после удара таблица показывает то, что получилось в симуляции: числа совпадают. Подставь m₁ = m₂ — получишь v₁′ = v₂, v₂′ = v₁ (обмен скоростями).

Скорость сближения равна скорости разлёта

$$v_2' - v_1' = -(v_2 - v_1), \qquad e = \frac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2} = 1$$

Относительная скорость шаров при упругом ударе меняет знак, но не модуль

▶ Подробное объяснение

Коэффициент восстановления e — отношение скорости разлёта к скорости сближения. При упругом ударе e = 1: с какой скоростью шары сближались, с такой же они разлетаются. При неупругом 0 ≤ e < 1, а при e = 0 шары слипаются. Это правило вместе с законом сохранения импульса даёт те же формулы для v₁′ и v₂′ без возведения в квадрат — иногда так считать быстрее. В таблице «до и после» это строка «скорость сближения → разлёта».

Центр масс: скорость «отражается»

$$v_c = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}, \qquad v_1' = 2v_c - v_1, \quad v_2' = 2v_c - v_2$$

Скорость центра масс не меняется при ударе, а скорость каждого шара «отражается» относительно неё

▶ Подробное объяснение

Центр масс двух шаров едет равномерно и не «замечает» удара — это бирюзовая метка на сцене (если нет стенок). Если смотреть из системы, которая едет вместе с ним («Вид из центра масс»), общий импульс равен нулю, шары приближаются с равными по модулю импульсами, а после удара каждый просто разворачивает свою скорость: u′ = −u. Вернувшись в обычную систему, получаем v′ = 2v_ц − v. Это самый короткий способ найти скорости после упругого удара.

Частные случаи: один шар покоится

$$v_2 = 0: \qquad v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1, \qquad v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\,v_1$$

Если шар 2 стоял, шар 1 после удара едет со скоростью (m₁ − m₂)/(m₁ + m₂)·v₁, а шар 2 — с 2m₁/(m₁ + m₂)·v₁

▶ Подробное объяснение

Три важных случая. Равные массы (m₁ = m₂): v₁′ = 0, v₂′ = v₁ — налетевший шар останавливается, стоявший уезжает с его скоростью. Лёгкий на тяжёлый (m₁ ≪ m₂): v₁′ ≈ −v₁, v₂′ ≈ 0 — лёгкий отскакивает назад почти с той же скоростью, как мячик от стены. Тяжёлый на лёгкий (m₁ ≫ m₂): v₁′ ≈ v₁, v₂′ ≈ 2v₁ — тяжёлый почти не замедляется, а лёгкий вылетает вперёд почти вдвое быстрее. Попробуй все три кнопкой «Попробуй в один клик».

Что здесь происходит. Два шара катятся по гладкому рельсу и сталкиваются. «Упругий» значит, что шары не слипаются и не теряют энергию на тепло: после удара они разлетаются так, что и общий импульс p = m₁v₁ + m₂v₂, и общая кинетическая энергия E = ½m₁v₁² + ½m₂v₂² остаются такими же, какими были до удара. Скорость — со знаком: плюс означает движение вправо, минус — влево, поэтому отдельный угол не нужен.

Что происходит во время удара. Пока шары касаются, они давят друг на друга одинаковыми по величине силами, направленными в противоположные стороны (третий закон Ньютона). Поэтому сколько импульса теряет один шар, столько получает другой. Шары на короткое время сжимаются, как две пружинки: энергия движения «прячется» в сжатии (зелёная часть полоски энергии), а потом целиком возвращается. Настоящий удар длится доли секунды; в симуляторе показ вокруг удара замедляется («кино»), чтобы сжатие было видно, — на числа и формулы это не влияет.

Как найти скорости после удара. Из двух законов сохранения получаются формулы v₁′ = ((m₁ − m₂)v₁ + 2m₂v₂)/(m₁ + m₂) и v₂′ = ((m₂ − m₁)v₂ + 2m₁v₁)/(m₁ + m₂). Есть и короткий путь: найди скорость центра масс v_ц = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂) — после удара каждая скорость «отражается» относительно неё: v′ = 2v_ц − v. Ещё одно полезное правило: скорость сближения равна скорости разлёта, v₂′ − v₁′ = −(v₂ − v₁).

Частные случаи. Равные массы: шары просто обмениваются скоростями (как бильярдные). Лёгкий шар налетает на тяжёлый: он отскакивает почти с той же скоростью, а тяжёлый едва сдвигается (как мячик от стены). Тяжёлый шар налетает на лёгкий: тяжёлый почти не замедляется, а лёгкий вылетает вперёд почти вдвое быстрее.

Как пользоваться. Задай массы и скорости или нажми готовый опыт — и следи за таблицей «до и после», счётчиками импульса и энергии под сценой и графиками. Включи «Вид из центра масс», чтобы увидеть, что в этой системе шары просто разворачивают скорости. Режим «Проверь себя» даёт задачу: угадай скорость после удара, а потом проверь опытом.