Отдача пушки: закон сохранения импульса

Пушка выстреливает снаряд — и откатывается назад. В замедленной съёмке видно, что горизонтальные импульсы снаряда и пушки равны и противоположны, Σpₓ = 0, а их энергии отличаются в десятки раз. Подними ствол, поменяй массы и трение и измерь путь отката по линейке.

→p₁ — импульс тележки 1 →p₂ — импульс тележки 2 →Σp — сумма импульсов ◉центр масс системы

Готовые опыты

m₁ масса тележки 1

v₁ скорость тележки 1

m₂ масса тележки 2

v₂ скорость тележки 2

«+» — вправо, «−» — влево. Тележка 1 слева, тележка 2 справа

Тип удара

Замедление

Готовые опыты

M масса пушки

m масса снаряда

v скорость снаряда

Относительно земли, сразу после вылета из ствола

α угол ствола °

μ коэффициент трения (колёса на тормозе)

Замедленная съёмка выстрела

Где стартует ракета

u скорость газа относительно ракеты

m₀/m_к отношение масс · топливо %

m₀ = 100 т — стартовая масса, mₖ — масса ракеты без топлива

t_гор время работы двигателя

Скорость показа

Стрелки импульсов и скоростей

Центр масс

Проверь себя

Расчёт точный: движение задано формулами от времени, а моменты удара, выстрела, отрыва и выгорания находятся из уравнений, поэтому числа совпадают с формулами и не зависят от скорости показа. Удар и выстрел мгновенные, сопротивления воздуха нет, g = 9,8 м/с².

До удара

p₁ = m₁v₁

p₂ = m₂v₂

Σp = p₁ + p₂

v_c = Σp / (m₁ + m₂)

скорость центра масс — до и после удара одна и та же

После удара

v = (m₁v₁ + m₂v₂) / (m₁ + m₂)

E_k до

E_k′ после

Q = m₁m₂(v₁ − v₂)² / 2(m₁ + m₂)

ушло в тепло

Q / E_k

V = m v cosα / M

скорость отката сразу после выстрела

m v cosα

горизонтальный импульс снаряда

−M V

импульс пушки

m v sinα

вертикальный импульс — его дала опора

E_сн / E_п = M / (m cos²α)

E_сн = mv²/2

E_п = MV²/2

s = V² / (2μg)

путь отката до остановки

t = V / (μg)

время отката

μ = (m₀ − m_к) / t_гор

расход топлива

F = μu

реактивная сила (тяга)

Сейчас

m = m₀ − μt

v − u

скорость только что выброшенного газа относительно места старта

Начни с задачи из учебника: пушка 800 кг стреляет горизонтально снарядом 10 кг со скоростью 400 м/с — скорость отката V = mv/M = 5 м/с. Подними ствол на 45° и 60°: откат станет слабее, потому что сохраняется только горизонтальная часть импульса. Поставь «Снаряд = пушка по массе» — откат станет таким же быстрым, как выстрел. А на льду (μ = 0) пушка уже не остановится.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Закон сохранения импульса

$$\vec p = m\vec v, \qquad m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2 = m_1\vec v_1^{\,\prime} + m_2\vec v_2^{\,\prime}$$

В замкнутой системе сумма импульсов до взаимодействия равна сумме после него

▶ Подробное объяснение

Импульс — произведение массы на скорость, вектор, направленный как скорость. При взаимодействии двух тел силы, с которыми они действуют друг на друга, равны и противоположны (третий закон Ньютона) и действуют одно и то же время. Значит, одно тело получает импульс FΔt, другое — −FΔt, и сумма не меняется.

Знаки важны: для движения вдоль одной прямой выбери положительное направление, и скорости «навстречу» бери со знаком минус. В симуляторе стрелки p₁, p₂ — импульсы тел, золотая стрелка Σp — их сумма: при ударе, выстреле и работе двигателя ракеты в космосе она не меняется ни по длине, ни по направлению.

Отдача пушки

$$MV = mv\cos\alpha \;\Rightarrow\; V = \frac{mv\cos\alpha}{M}, \qquad s = \frac{V^2}{2\mu g}$$

v — скорость снаряда относительно земли, α — угол ствола; s — путь отката до остановки при трении μ

▶ Подробное объяснение

До выстрела Σp = 0. Пороховые газы толкают снаряд вперёд, а пушку — назад, и по горизонтали внешних сил за время выстрела практически нет, поэтому mv·cos α − MV = 0. По вертикали импульс не сохраняется: когда ствол поднят, снаряд уносит вверх импульс mv·sin α, а пушку в землю вдавливает сила, и Земля отвечает импульсом реакции опоры.

Энергии делятся обратно массам: E_сн/E_п = M/m (при α = 0). После выстрела пушка тормозится трением с ускорением μg и проходит путь s = V²/(2μg) за время V/(μg) — тут импульс пушки уже не сохраняется, его забирает Земля через силу трения.

Скорость центра масс

$$\vec v_c = \frac{m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2 + \dots}{m_1 + m_2 + \dots} = \frac{\sum \vec p}{\sum m}$$

Если внешние силы не действуют, центр масс системы движется равномерно и прямолинейно

▶ Подробное объяснение

Числитель — полный импульс системы, знаменатель — её масса. Раз Σp не меняется, не меняется и скорость центра масс. Внутренние силы не могут сдвинуть центр масс: человек в лодке переходит на корму — лодка едет вперёд; пушка стреляет — центр масс «пушка + снаряд» остаётся на месте.

В симуляторе центр масс — золотой маркер. При ударе он плывёт с той же скоростью до и после столкновения, и слипшиеся тележки движутся вместе с ним. У ракеты в космосе центр масс «ракета + выброшенный газ» стоит там, откуда ракета стартовала, хотя сама ракета улетает на сотни километров.

Энергия при выстреле делится неравно

$$E = \frac{p^2}{2m}, \qquad \frac{mv^2/2}{MV^2/2} = \frac{M}{m\cos^2\alpha}$$

Импульсы снаряда и пушки равны, а энергия обратно пропорциональна массе

▶ Подробное объяснение

Кинетическую энергию удобно выразить через импульс: E = mv²/2 = p²/(2m). При горизонтальном выстреле импульсы снаряда и пушки равны по модулю, поэтому энергии относятся обратно массам: E_сн/E_п = M/m. Пушка 800 кг и снаряд 10 кг: снаряд получает в 80 раз больше энергии, хотя импульсы одинаковы.

Если ствол поднят на угол α, пушка получает только горизонтальную часть импульса, и отношение растёт до M/(m·cos²α). Энергию для обоих тел дают пороховые газы — закон сохранения энергии здесь не помогает найти скорости, а закон сохранения импульса помогает. Поэтому в задачах на отдачу всегда начинают с импульса.

Почему пушка откатывается. До выстрела пушка и снаряд покоятся, их суммарный импульс равен нулю. Пороховые газы толкают снаряд вперёд, а пушку — назад, и эти силы равны (третий закон Ньютона). Выстрел длится тысячные доли секунды, за это время трение колёс о землю ничтожно по сравнению с давлением газов, поэтому горизонтальный импульс системы сохраняется: mv·cos α − MV = 0, откуда V = mv·cos α / M. Здесь v — скорость снаряда относительно земли.

Ствол под углом. Вертикальная составляющая импульса снаряда mv·sin α не сохраняется: в момент выстрела пушку вдавливает в землю, и Земля отвечает импульсом силы реакции (зелёная стрелка у колёс). Поэтому чем круче ствол, тем слабее откат: при 60° он вдвое меньше, чем при горизонтальном выстреле.

Импульсы равны — энергии нет. Энергия выражается через импульс: E = p²/(2m). При равных импульсах лёгкий снаряд получает в M/m раз больше энергии, чем тяжёлая пушка (при угле α — в M/(m·cos²α) раз). Поэтому опасен снаряд, а не откат, а винтовку прижимают к плечу, чтобы «добавить» к её массе массу стрелка.

После выстрела. Трение тормозит пушку с ускорением μg, и она останавливается на пути s = V²/(2μg) за время V/(μg). Теперь на систему действует внешняя сила, поэтому Σpₓ начинает расти — импульс пушки уходит в Землю. Центр масс «пушка + снаряд» в момент выстрела стоит на месте, а сдвигается только из-за внешних сил: трения и удара снаряда о землю.

Где ещё. Отдача винтовки, рывок пожарного шланга, лодка, от которой прыгает человек, — всё это тот же закон. Если «стрелять» газом непрерывно, получится реактивное движение ракеты; если тела не разлетаются, а слипаются — неупругий удар. Модель идеальная: выстрел мгновенный, сопротивления воздуха нет, g = 9,8 м/с².