Неупругий удар: закон сохранения импульса

Две тележки на воздушной дорожке сталкиваются и слипаются. Синяя и красная стрелки — импульсы тележек, золотая — их сумма Σp: при ударе отдельные импульсы меняются, а сумма остаётся прежней. Посмотри, какая часть кинетической энергии превращается в тепло и почему центр масс системы движется так же, как до удара.

→p₁ — импульс тележки 1 →p₂ — импульс тележки 2 →Σp — сумма импульсов ◉центр масс системы

Готовые опыты

m₁ масса тележки 1

v₁ скорость тележки 1

m₂ масса тележки 2

v₂ скорость тележки 2

«+» — вправо, «−» — влево. Тележка 1 слева, тележка 2 справа

Тип удара

Замедление

Готовые опыты

M масса пушки

m масса снаряда

v скорость снаряда

Относительно земли, сразу после вылета из ствола

α угол ствола °

μ коэффициент трения (колёса на тормозе)

Замедленная съёмка выстрела

Где стартует ракета

u скорость газа относительно ракеты

m₀/m_к отношение масс · топливо %

m₀ = 100 т — стартовая масса, mₖ — масса ракеты без топлива

t_гор время работы двигателя

Скорость показа

Стрелки импульсов и скоростей

Центр масс

Проверь себя

Расчёт точный: движение задано формулами от времени, а моменты удара, выстрела, отрыва и выгорания находятся из уравнений, поэтому числа совпадают с формулами и не зависят от скорости показа. Удар и выстрел мгновенные, сопротивления воздуха нет, g = 9,8 м/с².

До удара

p₁ = m₁v₁

p₂ = m₂v₂

Σp = p₁ + p₂

v_c = Σp / (m₁ + m₂)

скорость центра масс — до и после удара одна и та же

После удара

v = (m₁v₁ + m₂v₂) / (m₁ + m₂)

E_k до

E_k′ после

Q = m₁m₂(v₁ − v₂)² / 2(m₁ + m₂)

ушло в тепло

Q / E_k

V = m v cosα / M

скорость отката сразу после выстрела

m v cosα

горизонтальный импульс снаряда

−M V

импульс пушки

m v sinα

вертикальный импульс — его дала опора

E_сн / E_п = M / (m cos²α)

E_сн = mv²/2

E_п = MV²/2

s = V² / (2μg)

путь отката до остановки

t = V / (μg)

время отката

μ = (m₀ − m_к) / t_гор

расход топлива

F = μu

реактивная сила (тяга)

Сейчас

m = m₀ − μt

v − u

скорость только что выброшенного газа относительно места старта

Начни с задачи: тележка 3 кг со скоростью 4 м/с налетает на тележку 2 кг, которая едет навстречу со скоростью 6 м/с. Импульсы равны и противоположны, Σp = 0, — и после удара тела замирают, а вся кинетическая энергия 60 Дж переходит в тепло. Потом выбери «Пуля в брусок»: при ударе лёгкого быстрого тела в тепло уходит 91 % энергии. И переключи удар на упругий — импульс сохраняется так же, а тепла нет.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Закон сохранения импульса

$$\vec p = m\vec v, \qquad m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2 = m_1\vec v_1^{\,\prime} + m_2\vec v_2^{\,\prime}$$

В замкнутой системе сумма импульсов до взаимодействия равна сумме после него

▶ Подробное объяснение

Импульс — произведение массы на скорость, вектор, направленный как скорость. При взаимодействии двух тел силы, с которыми они действуют друг на друга, равны и противоположны (третий закон Ньютона) и действуют одно и то же время. Значит, одно тело получает импульс FΔt, другое — −FΔt, и сумма не меняется.

Знаки важны: для движения вдоль одной прямой выбери положительное направление, и скорости «навстречу» бери со знаком минус. В симуляторе стрелки p₁, p₂ — импульсы тел, золотая стрелка Σp — их сумма: при ударе, выстреле и работе двигателя ракеты в космосе она не меняется ни по длине, ни по направлению.

Абсолютно неупругий удар

$$v = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$$

Тела слипаются и движутся вместе; v₁, v₂ — проекции скоростей со знаком

▶ Подробное объяснение

После удара у тел одна общая скорость v, поэтому закон сохранения импульса m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)v сразу даёт ответ. Общая скорость совпадает со скоростью центра масс — она была такой и до удара.

Задача из учебника: m₁ = 3 кг, v₁ = 4 м/с, m₂ = 2 кг, v₂ = −6 м/с (навстречу). Σp = 12 − 12 = 0, значит v = 0 — тела останавливаются. Включи этот пресет и посмотри, что золотая стрелка с самого начала нулевой длины, а маркер центра масс стоит на месте.

Энергия, ушедшая в тепло

$$Q = E_{k} - E_{k}^{\prime} = \frac{m_1 m_2\,(v_1 - v_2)^2}{2\,(m_1 + m_2)}$$

Кинетическая энергия при неупругом ударе убывает; потеря зависит только от относительной скорости

▶ Подробное объяснение

Подставь v = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂) в разность энергий ½m₁v₁² + ½m₂v₂² − ½(m₁ + m₂)v² — получится эта формула. Импульс сохраняется всегда, а механическая энергия при неупругом ударе — нет: она уходит на деформацию, нагрев, звук.

Доля потерь Q/E_k для покоящейся мишени равна m₂/(m₁ + m₂): пуля 0,5 кг в бруске 5 кг теряет 91 % энергии, а тяжёлое тело, налетающее на лёгкое, — мало. В задаче со встречными тележками (Σp = 0) теряется 100 %: 60 Дж целиком переходят в тепло. Шкала «энергия» под сценой показывает это наглядно.

Для сравнения: упругий удар

$$v_1^{\prime} = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2 v_2}{m_1 + m_2}, \qquad v_2^{\prime} = \frac{(m_2 - m_1)v_2 + 2m_1 v_1}{m_1 + m_2}$$

Сохраняются и импульс, и кинетическая энергия; Q = 0

▶ Подробное объяснение

Эти скорости получаются из двух уравнений: сохранения импульса и сохранения энергии. Удобная проверка: относительная скорость после удара равна по модулю относительной скорости до удара и противоположна ей, v₂′ − v₁′ = v₁ − v₂.

Переключи в симуляторе тип удара: при тех же массах и скоростях золотая стрелка Σp не изменится, а вот тепло Q станет равным нулю. Импульс сохраняется при любом ударе, энергия — только при упругом.

Скорость центра масс

$$\vec v_c = \frac{m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2 + \dots}{m_1 + m_2 + \dots} = \frac{\sum \vec p}{\sum m}$$

Если внешние силы не действуют, центр масс системы движется равномерно и прямолинейно

▶ Подробное объяснение

Числитель — полный импульс системы, знаменатель — её масса. Раз Σp не меняется, не меняется и скорость центра масс. Внутренние силы не могут сдвинуть центр масс: человек в лодке переходит на корму — лодка едет вперёд; пушка стреляет — центр масс «пушка + снаряд» остаётся на месте.

В симуляторе центр масс — золотой маркер. При ударе он плывёт с той же скоростью до и после столкновения, и слипшиеся тележки движутся вместе с ним. У ракеты в космосе центр масс «ракета + выброшенный газ» стоит там, откуда ракета стартовала, хотя сама ракета улетает на сотни километров.

Импульс и замкнутая система. Импульс тела p = mv — вектор, направленный как скорость. Если на систему тел не действуют внешние силы (или они уравновешены, как сила тяжести и реакция гладкой дорожки), её полный импульс не меняется: m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁′ + m₂v₂′. При ударе тележки действуют друг на друга равными и противоположными силами одно и то же время (третий закон Ньютона), поэтому сколько импульса получила одна, столько же потеряла другая.

Абсолютно неупругий удар. Тела слипаются и дальше движутся вместе со скоростью v = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂). Скорости подставляются со знаком: движение «навстречу» — со знаком минус. Импульс сохраняется, а кинетическая энергия — нет: часть её, Q = m₁m₂(v₁ − v₂)²/(2(m₁ + m₂)), уходит на деформацию пластилина и нагрев. Если мишень покоится, теряется доля m₂/(m₁ + m₂) энергии: поэтому пуля, застрявшая в бруске, отдаёт почти всю энергию в тепло, а тяжёлое тело, налетевшее на лёгкое, теряет мало.

Сравнение с упругим ударом. Если вместо пластилина поставить пружинный бампер, удар станет упругим: сохраняются и импульс, и энергия, тела разлетаются. Одинаковые тележки при этом обмениваются скоростями. Главный вывод: импульс сохраняется при любом ударе, механическая энергия — только при упругом.

Центр масс. Скорость центра масс v_c = Σp/Σm. Раз Σp не меняется, центр масс (золотой маркер) плывёт с одной и той же скоростью до удара и после, а слипшиеся тележки едут ровно вместе с ним. Когда Σp = 0, центр масс стоит на месте — и после удара тела останавливаются.

Что попробовать. Подбери скорости так, чтобы Σp = 0. Сравни «Лёгкая в тяжёлую» и «Тяжёлая в лёгкую» по шкале энергии под сценой. Тот же закон объясняет отдачу пушки и реактивное движение ракеты. Модель идеальная: дорожка без трения, удар мгновенный.