Закон сохранения момента импульса: скамья Жуковского
Человек сидит на вращающейся скамье Жуковского с гантелями в руках. Прижимает руки к груди — и начинает вращаться быстрее, разводит — медленнее: момент инерции I меняется, а момент импульса L = I·ω остаётся постоянным. Во втором опыте человек держит раскрученное велосипедное колесо и, переворачивая его, сам приходит во вращение.
Длины стрелок — в относительном масштабе (от начальных значений опыта). Вращение против часовой стрелки (вид сверху) — вектор направлен вверх.
Без трения внешний момент сил относительно оси равен нулю, и L = Iω сохраняется. Гантели — точечные массы, руки человека включены в I₀. Двигай ползунок r прямо во время вращения: L не меняется, а ω и Eк пересчитываются. Изменение I₀, m или ω₀ начинает опыт заново.
Главная идея: момент импульса замкнутой системы не меняется, поэтому всё, что уменьшает момент инерции, ускоряет вращение — I₁ω₁ = I₂ω₂. Энергия при этом не сохраняется: прижимая гантели, человек совершает работу, и Eк = L²/(2I) растёт. А опыт с колесом показывает, что момент импульса — вектор: переворот колеса на 180° закручивает скамью с моментом импульса 2Lк.
КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ
Момент импульса тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен L = I·ω, где I — момент инерции относительно этой оси, а ω — угловая скорость. Закон сохранения момента импульса гласит: если суммарный момент внешних сил относительно оси равен нулю, то L не меняется со временем. Скамья Жуковского — круглое сиденье на подшипнике с почти нулевым трением — даёт именно такую систему: сила тяжести и реакция опоры направлены вдоль оси вращения и вращающего момента не создают.
В режиме «Гантели» человек с гантелями массой m в каждой руке вращается с угловой скоростью ω₀ при разведённых руках. Момент инерции системы I = I₀ + 2·m·r², где I₀ — момент инерции человека вместе со скамьёй, а r — расстояние гантелей от оси. Нажми «Прижать руки» или двигай ползунок r прямо во время вращения: r уменьшается, I падает, и угловая скорость растёт так, чтобы произведение I·ω оставалось прежним — I₁·ω₁ = I₂·ω₂. На 3D-сцене фиолетовая стрелка L не меняет длины, а зелёная стрелка ω вытягивается; на графиках видно то же самое. Так же ускоряется фигуристка, прижимая руки в пируэте, и прыгун в воду, группируясь в сальто.
Обрати внимание на энергию: Eк = I·ω²/2 = L²/(2I). При постоянном L и уменьшении I кинетическая энергия вращения растёт — её прирост равен работе, которую совершают мышцы человека, подтягивая гантели к оси против «центробежного» стремления. Разводя руки, человек, наоборот, отдаёт энергию. Панель измерений показывает I, ω, частоту оборотов, L, Eк и работу A = ΔEк относительно начального состояния.
В режиме «Колесо» человек сидит неподвижно и держит над головой велосипедное колесо, раскрученное вокруг вертикальной оси, — момент импульса всей системы L = L_к направлен вверх. Переверни колесо: его момент импульса развернётся вниз, и, чтобы суммарная вертикальная составляющая осталась прежней, скамья с человеком закрутится в ту сторону, куда вращалось колесо вначале, с моментом импульса 2·L_к. Это наглядное доказательство того, что момент импульса — вектор. Включи «Трение в оси», и увидишь, что внешний момент сил постепенно «съедает» L: закон сохранения выполняется только для замкнутой системы. Галочка «Проверь себя» предложит сначала предсказать результат опыта, а потом показать его.
Ещё по этой теме
Сначала — симуляторы и задачи из этой же главы, дальше — близкие темы раздела.
Та же тема
Та же тема
Та же тема
Та же тема
Механика · Движение
Механика · Энергия