Реактивное движение и формула Циолковского

Ракета разгоняется, выбрасывая раскалённый газ: она отталкивается не от воздуха и не от Земли, а от собственной струи. Запусти её в открытом космосе или со стартового стола, смотри, как тает запас топлива и растёт скорость, — и поймай момент, когда ракета обгоняет собственный газ. В космосе импульс ракеты и импульс выброшенного газа в сумме всегда дают ноль.

→p₁ — импульс тележки 1 →p₂ — импульс тележки 2 →Σp — сумма импульсов ◉центр масс системы

Готовые опыты

m₁ масса тележки 1

v₁ скорость тележки 1

m₂ масса тележки 2

v₂ скорость тележки 2

«+» — вправо, «−» — влево. Тележка 1 слева, тележка 2 справа

Тип удара

Замедление

Готовые опыты

M масса пушки

m масса снаряда

v скорость снаряда

Относительно земли, сразу после вылета из ствола

α угол ствола °

μ коэффициент трения (колёса на тормозе)

Замедленная съёмка выстрела

Где стартует ракета

u скорость газа относительно ракеты

m₀/m_к отношение масс · топливо %

m₀ = 100 т — стартовая масса, mₖ — масса ракеты без топлива

t_гор время работы двигателя

Скорость показа

Стрелки импульсов и скоростей

Центр масс

Проверь себя

Расчёт точный: движение задано формулами от времени, а моменты удара, выстрела, отрыва и выгорания находятся из уравнений, поэтому числа совпадают с формулами и не зависят от скорости показа. Удар и выстрел мгновенные, сопротивления воздуха нет, g = 9,8 м/с².

До удара

p₁ = m₁v₁

p₂ = m₂v₂

Σp = p₁ + p₂

v_c = Σp / (m₁ + m₂)

скорость центра масс — до и после удара одна и та же

После удара

v = (m₁v₁ + m₂v₂) / (m₁ + m₂)

E_k до

E_k′ после

Q = m₁m₂(v₁ − v₂)² / 2(m₁ + m₂)

ушло в тепло

Q / E_k

V = m v cosα / M

скорость отката сразу после выстрела

m v cosα

горизонтальный импульс снаряда

−M V

импульс пушки

m v sinα

вертикальный импульс — его дала опора

E_сн / E_п = M / (m cos²α)

E_сн = mv²/2

E_п = MV²/2

s = V² / (2μg)

путь отката до остановки

t = V / (μg)

время отката

μ = (m₀ − m_к) / t_гор

расход топлива

F = μu

реактивная сила (тяга)

Сейчас

m = m₀ − μt

v − u

скорость только что выброшенного газа относительно места старта

Ракета стартует с Земли: при u = 3 км/с и m₀/m = 5 к выгоранию топлива (80 с) она набирает 4,04 км/с — на 0,78 км/с меньше, чем u·ln 5 ≈ 4,83 км/с. Разница — гравитационные потери gt = 9,8·80 = 784 м/с. Сделай горение долгим (300 с): тяга станет меньше веса, и ракета будет стоять на столе, пока не сожжёт часть топлива. Потом переключись на космос: там конечная скорость равна ровно u·ln(m₀/m) и не зависит от времени работы двигателя. И попробуй разогнать одну ступень до первой космической скорости 7,9 км/с.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Закон сохранения импульса

$$\vec p = m\vec v, \qquad m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2 = m_1\vec v_1^{\,\prime} + m_2\vec v_2^{\,\prime}$$

В замкнутой системе сумма импульсов до взаимодействия равна сумме после него

▶ Подробное объяснение

Импульс — произведение массы на скорость, вектор, направленный как скорость. При взаимодействии двух тел силы, с которыми они действуют друг на друга, равны и противоположны (третий закон Ньютона) и действуют одно и то же время. Значит, одно тело получает импульс FΔt, другое — −FΔt, и сумма не меняется.

Знаки важны: для движения вдоль одной прямой выбери положительное направление, и скорости «навстречу» бери со знаком минус. В симуляторе стрелки p₁, p₂ — импульсы тел, золотая стрелка Σp — их сумма: при ударе, выстреле и работе двигателя ракеты в космосе она не меняется ни по длине, ни по направлению.

Реактивная сила

$$F = \mu u, \qquad \mu = \frac{\Delta m}{\Delta t}$$

μ — расход топлива (масса газа за секунду), u — скорость газа относительно ракеты

▶ Подробное объяснение

За время Δt ракета выбрасывает газ массой Δm = μΔt, сообщая ему импульс Δm·u назад (в системе ракеты). По третьему закону Ньютона газ толкает ракету вперёд с силой F = Δm·u/Δt = μu. Опора для этого не нужна: ракета отталкивается от собственного газа.

В симуляторе m₀ = 100 т, а расход μ = (m₀ − m_к)/t_гор, где m_к — масса ракеты без топлива. На старте с Земли ракета поднимается, только когда F > mg; если тяга меньше веса, она ждёт на столе, пока масса не уменьшится до F/g. Ускорение растёт по мере сгорания топлива: a = F/m − g.

Формула Циолковского

$$v = u\,\ln\frac{m_0}{m}, \qquad v = u\,\ln\frac{m_0}{m} - g\,t$$

m₀ — стартовая масса, m — текущая масса ракеты; второе выражение — вертикальный старт при g = const после отрыва в момент t = 0

▶ Подробное объяснение

Пусть ракета массой m выбросила газ массой dm со скоростью u относительно себя. Импульс системы сохраняется: m·dv = u·dm, откуда dv = u·dm/m. Складывая такие малые приращения, пока масса уменьшается от m₀ до m, получаем v = u·ln(m₀/m). Скорость не зависит от того, как долго работает двигатель, — только от u и от отношения масс.

При m₀/m = e ≈ 2,72 скорость ракеты равна u; дальше ракета летит быстрее своей струи, и газ за ней (скорость v − u) движется уже вперёд. Чтобы при u = 3 км/с получить 7,9 км/с, нужно m₀/m = e^2,63 ≈ 14: 93 % стартовой массы — топливо. Поэтому ракеты делают многоступенчатыми. При старте с Земли за время работы двигателя гравитация отнимает gt — чем дольше горение, тем больше потери (если ракета оторвалась не сразу, t отсчитывается от момента отрыва).

Скорость центра масс

$$\vec v_c = \frac{m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2 + \dots}{m_1 + m_2 + \dots} = \frac{\sum \vec p}{\sum m}$$

Если внешние силы не действуют, центр масс системы движется равномерно и прямолинейно

▶ Подробное объяснение

Числитель — полный импульс системы, знаменатель — её масса. Раз Σp не меняется, не меняется и скорость центра масс. Внутренние силы не могут сдвинуть центр масс: человек в лодке переходит на корму — лодка едет вперёд; пушка стреляет — центр масс «пушка + снаряд» остаётся на месте.

В симуляторе центр масс — золотой маркер. При ударе он плывёт с той же скоростью до и после столкновения, и слипшиеся тележки движутся вместе с ним. У ракеты в космосе центр масс «ракета + выброшенный газ» стоит там, откуда ракета стартовала, хотя сама ракета улетает на сотни километров.

Как движется ракета. Ракета выбрасывает газ назад со скоростью u относительно себя. По закону сохранения импульса газ уносит импульс назад, а ракета получает такой же импульс вперёд: каждую секунду двигатель выбрасывает массу μ и создаёт реактивную силу F = μu. Опора для этого не нужна, поэтому ракета разгоняется и в пустом космосе — там, где винту или колесу оттолкнуться не от чего.

Формула Циолковского. Пусть ракета массой m выбросила порцию газа dm. Импульс системы сохраняется: m·dv = u·dm, то есть dv = u·dm/m. Складывая такие шаги, пока масса уменьшается от m₀ до m, получаем v = u·ln(m₀/m). Скорость зависит только от скорости истечения и отношения масс, а не от того, быстро или медленно сгорает топливо: долгое горение даёт ту же скорость, просто с меньшим ускорением.

Ракета обгоняет свой газ. При m₀/m = e ≈ 2,72 скорость ракеты равна u. Дальше ракета летит быстрее собственной струи, и только что выброшенный газ (его скорость v − u относительно места старта) движется уже вперёд, вслед за ракетой. Чтобы при u = 3 км/с получить 7,9 км/с, нужно m₀/m ≈ 14: 93 % стартовой массы — топливо. Поэтому ракеты делают многоступенчатыми и сбрасывают пустые баки.

Старт с Земли. На Земле ракету тянет вниз сила тяжести: v = u·ln(m₀/m) − gt, и чем дольше горит двигатель, тем больше «гравитационные потери» gt. Если тяга меньше веса (μu < m₀g), ракета стоит на столе, пока масса не уменьшится до F/g, — момент отрыва t_отр = (m₀ − F/g)/μ. После выгорания ракета летит вверх по инерции и тормозит до высоты H = h_к + v_к²/(2g).

Тот же закон работает при отдаче пушки — это один «выстрел» вместо непрерывной струи — и при неупругом ударе. Модель идеальная: m₀ = 100 т, g = 9,8 м/с² постоянно, сопротивления воздуха нет, полёт вертикальный.