Наклонная плоскость и трение

Земля тянет кубик вниз по склону, а трение его удерживает. Крути угол α и «шершавость» μ — и смотри, в какой момент трение сдаётся и кубик едет. На схеме видно всё: силы, их составляющие, пороговый угол и числа.

Суть за 30 секунд

Земля тянет вниз — склон «делит» эту силу

Сила тяжести mg направлена строго вниз. На склоне её удобно разложить на две части: mg·sinα тянет кубик вдоль склона вниз, а mg·cosα вдавливает его в склон. Чем круче склон, тем больше первая часть и меньше вторая.

Трение отвечает ровно настолько, насколько нужно

Пока кубик стоит, трение покоя равно тянущей силе: Fтр = mg·sinα — как если бы вы тянули шкаф, а он не двигался. Но у трения есть потолок μN = μ·mg·cosα. Чем шершавее поверхность и сильнее прижато тело, тем потолок выше.

Порог: tg α = μ — и масса тут ни при чём

Кубик поедет, как только mg·sinα станет больше μ·mg·cosα, то есть при tg α > μ. Масса m стоит в обеих частях и сокращается: лёгкий и тяжёлый кубики трогаются при одном и том же угле и едут с одинаковым ускорением a = g(sinα − μ·cosα).

Попробуй сам

Выбери поверхность «Дерево» (μ = 0,40) и медленно тяни вершину склона вверх. Кубик тронется при α ≈ 21,8° — это и есть α_кр = arctg μ. Проверь по жёлтой пунктирной линии.
Нажми «m ×2»: силы N, mg·sinα и Fтр вырастут вдвое, а порог и ускорение не изменятся. Масса сократилась!
Выбери «Лёд» (μ = 0,05): склон почти пологий, а кубик уже едет. Выбери «Резину» (μ = 0,80): кубик тронется только при α > 38,7°.
Дай толчок v₀ при маленьком угле, α < α_кр: кубик проедет немного и остановится — трение скольжения тормозит. А при α чуть ниже α_кр он тормозит так слабо, что кажется едущим равномерно.

Где это встречается

Гололёд: у льда μ мал (≈ 0,05…0,1), поэтому машина или пешеход соскальзывают уже на уклоне в 3–6°, а по сухому асфальту (μ ≈ 0,7) можно стоять на уклоне до 35°.
Угол естественного откоса: сухой песок не может лежать круче α = arctg μ. Поэтому насыпи, кучи щебня и зерна всегда имеют форму конуса с одним и тем же углом у основания.
Лыжники смазывают лыжи, чтобы уменьшить μ и ехать быстрее, а водители зимой ставят шипованные шины, чтобы μ увеличить и не соскользнуть.

Графики: что и как меняется

Два верхних графика показывают, как силы и ускорение зависят от угла α. Два нижних рисуются «вживую» во время спуска, а серый пунктир — расчёт по формуле от старта: точки симулятора ложатся ровно на него.

Силы и угол: где тянущая сила обгоняет потолок трения

Ускорение и угол: до α_кр — ноль, дальше растёт

Скорость со временем v(t)

Путь со временем s(t)

α угол наклона 30°

Поверхность склона

μ коэффициент трения 0,30

m масса кубика 2,0 кг

v₀ толчок вниз 0,0 м/с

Попробуй в один клик

Скорость показа

Показывать

составляющие mg (пунктир) и угол α у кубика

порог α_кр — жёлтый «призрачный» склон

линейку пути (0…4 м)

Лаборатория: найди μ неизвестной поверхности

Для простоты считаем μ покоя равным μ скольжения — так принято в школьных задачах. Масса не влияет ни на порог α_кр, ни на ускорение.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Разложение силы тяжести на составляющие

$$mg\sin\alpha,\quad mg\cos\alpha$$

Сила тяжести на склоне: mg·sinα тянет вдоль склона вниз, mg·cosα прижимает тело к склону

▶ Подробное объяснение

Сила тяжести mg направлена вертикально вниз, и в таком виде на склоне она неудобна — ведь склон «работает» вдоль и поперёк себя. Поэтому её раскладывают на две перпендикулярные составляющие: вдоль склона mg·sinα (она «катит» тело вниз) и поперёк склона mg·cosα (она вдавливает тело в склон, и именно из неё рождается реакция опоры N). Угол между mg и составляющей mg·cosα равен углу наклона α — он отмечен на схеме у кубика. Две составляющие снова складываются в mg: пунктирные стрелки и серая стрелка образуют прямоугольник. Пример: m = 2 кг, α = 30°, g = 9,8 м/с² → mg = 19,6 Н, mg·sin30° = 9,8 Н, mg·cos30° ≈ 17,0 Н. Проверка крайних случаев: при α = 0 (пол) вся сила тяжести прижимает, sin 0 = 0; при α = 90° (стена) вся сила тяжести тянет вдоль, cos 90° = 0.

Реакция опоры

$$N = mg\cos\alpha$$

Реакция опоры на склоне равна прижимающей составляющей силы тяжести

▶ Подробное объяснение

Склон не даёт телу провалиться внутрь, поэтому его реакция N направлена перпендикулярно поверхности. Вдоль нормали тело не ускоряется (не проваливается и не отрывается), значит, силы по этой оси уравновешены: N = mg·cosα. С ростом угла cosα уменьшается: при α = 60° N = 0,5·mg, а на вертикальной стене (α = 90°) N = 0 — тело опоры не касается. Пример: m = 2 кг, α = 30° → N = 19,6·0,866 ≈ 17,0 Н. Именно эта сила определяет потолок трения: Fтр ≤ μN. Поэтому на крутом склоне трение слабее, чем на пологом, хотя μ у поверхности та же.

Сила трения: подстраивается, но не выше потолка

$$F_{\text{тр}} \le \mu N,\qquad F_{\text{тр}}^{\max} = \mu mg\cos\alpha$$

Трение покоя подбирается под тянущую силу, но не может превысить предел μN

▶ Подробное объяснение

Пока тело стоит, трение покоя равно ровно столько, сколько нужно, чтобы удержать его: Fтр = mg·sinα. Это не «постоянная» сила — она растёт вместе с тянущей. Но у неё есть потолок Fтр.max = μN = μ·mg·cosα: чем шершавее поверхность (больше μ) и чем сильнее тело прижато (больше N), тем выше потолок. Когда тело скользит, трение скольжения равно этому потолку: Fтр = μN. Пример: m = 2 кг, α = 30°, μ = 0,3 → mg·sinα = 9,8 Н, потолок μN = 0,3·17,0 ≈ 5,1 Н. Тянущая сила больше потолка — тело скользит, и трение равно 5,1 Н. Если взять μ = 0,8 → потолок 13,6 Н больше 9,8 Н, и тело стоит с трением 9,8 Н.

Условие скольжения и критический угол

$$\operatorname{tg}\alpha > \mu \iff \alpha > \alpha_{\text{кр}} = \operatorname{arctg}\mu$$

Тело поедет, когда tg α больше μ; критический угол зависит только от коэффициента трения

▶ Подробное объяснение

Тело начинает скользить, когда тянущая сила превышает потолок трения: mg·sinα > μ·mg·cosα. Разделим обе части на mg·cosα — получим tg α > μ. Масса и g сократились, поэтому критический угол зависит только от поверхности: α_кр = arctg μ. Примеры: лёд, μ = 0,05 → α_кр ≈ 2,9°; дерево по дереву, μ = 0,4 → α_кр ≈ 21,8°; резина по сухому асфальту, μ = 0,8 → α_кр ≈ 38,7°. Это и способ измерить μ: плавно увеличивай угол, пока тело не тронулось, — тогда μ = tg α_кр. При tg α = μ ровно тело «на грани»: оно стоит, но любое добавление угла его сорвёт; если же оно уже движется, то при tg α = μ едет с постоянной скоростью.

Ускорение при скольжении — без массы

$$a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$$

Ускорение вдоль склона: масса сокращается и на a не влияет

▶ Подробное объяснение

Второй закон Ньютона вдоль склона: ma = mg·sinα − μN = mg·sinα − μ·mg·cosα. Сократив m, получим a = g(sinα − μ·cosα). Поэтому брусок на 2 кг и на 10 кг скатятся одинаково. При μ = 0 (идеально гладко) a = g·sinα, а на вертикальной стене (α = 90°) a = g — свободное падение. Пример: α = 30°, μ = 0,3 → a = 9,8·(0,5 − 0,3·0,866) ≈ 2,35 м/с². Если выражение в скобках отрицательно, a < 0: тело уже движется, но трение сильнее тянущей силы — оно тормозит (и при остановке трение скольжения сменится трением покоя, a станет 0). Выражение имеет смысл только для скользящего тела: стоящее тело имеет a = 0.

Время спуска и скорость в конце пути

$$t = \sqrt{\frac{2L}{a}},\qquad v = \sqrt{2aL}$$

Из состояния покоя при постоянном ускорении: время и скорость после пути L

▶ Подробное объяснение

Ускорение постоянно, поэтому из покоя s = at²/2 и v = at. Выразив t из первой формулы (t = √(2L/a) при s = L), получаем v = at = √(2aL). Это формулы, по которым симулятор считает прогноз (вкладка «Измерения») — и точки на графиках s(t) и v(t) ложатся ровно на серый пунктир. Пример: L = 4 м, a = 2,35 м/с² → t = √(8/2,35) ≈ 1,84 с, v = √(2·2,35·4) ≈ 4,34 м/с. Если есть начальная скорость v₀, время находят из уравнения at²/2 + v₀t = L, а скорость v = √(v₀² + 2aL). Масса в формулах не участвует: тяжёлый кубик придёт к финишу одновременно с лёгким.

Торможение: тело едет, но трение сильнее

$$a = -g(\mu\cos\alpha - \sin\alpha) < 0,\qquad s = \frac{v_0^2}{2|a|}$$

При tg α < μ и начальной скорости v₀ тело тормозит и останавливается на пути s = v₀²/(2|a|)

▶ Подробное объяснение

Если tg α < μ, тянущая сила меньше потолка трения. Стоящее тело останется стоять, но если его толкнуть, на него действует трение скольжения μN, и оно больше тянущей силы. Равнодействующая направлена против движения: a = g(sinα − μ·cosα) < 0. Скорость уменьшается по закону v = v₀ − |a|·t, тело останавливается через t = v₀/|a| и проходит путь s = v₀²/(2|a|). Пример: α = 10°, μ = 0,3, v₀ = 3 м/с → a = 9,8·(0,174 − 0,3·0,985) ≈ −1,19 м/с², t ≈ 2,51 с, s ≈ 3,77 м. Если тормозной путь больше длины склона (4 м в симуляторе), кубик успеет доехать до конца. После остановки на пологом склоне трение скольжения сменяется трением покоя: Fтр = mg·sinα, a = 0.

Энергия: куда уходит работа силы тяжести

$$mg\,s\sin\alpha = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} + \mu mg\cos\alpha\cdot s$$

Работа силы тяжести = прирост кинетической энергии + тепло трения

▶ Подробное объяснение

Сила тяжести совершает работу A = mg·sinα·s (составляющая mg·cosα работу не совершает — она перпендикулярна перемещению). Эта работа тратится на два дела: разгоняет тело (прирост кинетической энергии ΔEк = mv²/2 − mv₀²/2) и нагревает поверхность — это работа силы трения, Q = μN·s = μ·mg·cosα·s. В симуляторе три числа накапливаются независимо (вкладка «Измерения») и баланс «работа − Eк − Q» равен нулю. Пример: m = 2 кг, α = 30°, μ = 0,3, путь 4 м → A = 39,2 Дж, Q ≈ 20,4 Дж, Eк ≈ 18,8 Дж. Заметь: тепла получилось больше половины — трение «съело» значительную часть энергии. Масса входит во все три слагаемых одинаково, поэтому ускорение от неё не зависит.

Что здесь происходит. Кубик лежит на склоне. Земля тянет его вниз силой тяжести mg — она всегда направлена строго вертикально. Склон отвечает двумя силами: реакцией опоры N (перпендикулярно склону — склон не даёт кубику «провалиться») и силой трения Fтр (вдоль склона — она мешает скользить). Чтобы понять, что победит, силу тяжести раскладывают на две части: mg·sinα вдоль склона (она тянет кубик вниз) и mg·cosα поперёк (она вдавливает кубик в склон). На схеме эти части нарисованы пунктиром, и вместе с mg они образуют прямоугольник.

Трение «подстраивается» — но до предела. Пока кубик стоит, трение покоя уравновешивает тянущую силу: Fтр = mg·sinα. Если склон становится круче, трение растёт вместе с ним — это видно по оранжевой стрелке и по полоске «Кто сильнее». Но у трения покоя есть потолок: Fтр ≤ μN = μ·mg·cosα. Как только mg·sinα перерастает этот потолок, трение не успевает — кубик срывается и едет. Теперь на него действует сила трения скольжения, равная μN (в школьных задачах μ покоя и μ скольжения считают одинаковыми).

Порог и ускорение. Условие начала скольжения: mg·sinα > μ·mg·cosα, то есть tg α > μ. Угол, на котором это происходит, называют критическим: α_кр = arctg μ (при μ = 0,3 это 16,7°, при μ = 0,8 — 38,7°). Если кубик скользит, его ускорение a = g(sinα − μ·cosα). Массы в формуле нет: она сократилась, поэтому лёгкий и тяжёлый кубики трогаются при одном и том же угле и едут одинаково. Масса меняет только силы (N, Fтр) и энергию — смотри вкладку «Измерения».

Что ещё можно увидеть. Дай кубику толчок v₀ вниз при угле меньше α_кр — он проедет и остановится: трение скольжения сильнее тянущей силы, ускорение отрицательное. Тормозной путь s = v₀²/(2|a|) считается по формуле и совпадает с симуляцией. Жёлтый «призрачный склон» показывает порог α_кр. В режиме «Лаборатория» поверхность скрыта, и μ нужно найти самому — по углу, при котором кубик тронулся: μ = tg α_кр. Так коэффициент трения измеряют на практике.

Как устроен расчёт. На каждом участке ускорение постоянно, поэтому симулятор пользуется точными формулами s = v₀t + at²/2 и v = v₀ + at, а моменты событий — остановку и приход к концу склона — находит решением уравнения, а не «ближайшим кадром». Числа на экране не зависят от частоты кадров и скорости показа и совпадают с формулами: время спуска из покоя t = √(2L/a), скорость в конце v = √(2aL).