Правило рычага и простые механизмы

Повесь грузы на рычаг и найди положение, в котором он уравновесится: один груз на длинном плече удерживает несколько грузов на коротком. Сравни моменты сил M₁ и M₂ — дуги у оси показывают, какой из них больше. Потяни рычаг динамометром под углом и посмотри, как растёт сила, когда укорачивается её плечо. Затем подними груз неподвижным блоком, подвижным блоком и полиспастом: динамометр покажет, во сколько раз ты выиграл в силе, а рулетки — во сколько раз проиграл в расстоянии. Это и есть «золотое правило» механики.

↓F₁, l₁, M₁— груз слева, его плечо и момент ↓F₂, l₂, M₂— груз справа, его плечо и момент →F— сила руки (показание динамометра) ↓P— вес груза ↑F— натяжение верёвки — одинаково по всей длине ↕h, s— путь груза и путь руки

Цветной отрезок — плечо силы: кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы (пунктир). Дуги у оси — моменты M₁ и M₂, их длины пропорциональны моментам. Грузы и динамометр можно перетаскивать мышью вдоль рычага.

Механизм

Левое плечо

F₁ грузы по 102 г 3 × 1 Н

l₁ расстояние от оси до точки подвеса 20 см

Правое плечо

F₂ грузы по 102 г 2 × 1 Н

l₂ расстояние от оси до точки подвеса 20 см

Векторы сил

Плечи, линии действия и моменты сил

Масса каждого груза 102 г, как в школьном лабораторном наборе: его вес 0,102 кг · 9,8 Н/кг ≈ 1 Н. Отверстия на рычаге — через 5 см. Пока ты двигаешь грузы, рычаг держат упоры, потом он отпускается сам.

F₁

l₁

M₁ = F₁l₁

Реши задачу, введи ответ и нажми «Проверить» — установка повторит опыт с твоими данными.

Графики

Слева — какая сила нужна для равновесия (у рычага — гипербола F = M/l: чем длиннее плечо, тем меньше сила; у блоков — сравнение механизмов). Справа — «золотое правило»: работа двух сил при повороте рычага или полезная и затраченная работа при подъёме груза.

Рычаг — один из самых древних механизмов: им пользовались строители пирамид и мельники задолго до того, как появилась физика. Правило рычага первым строго доказал Архимед в III веке до н. э. в сочинении «О равновесии плоских фигур». Ему приписывают слова: «Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю». Яков Перельман в «Занимательной механике» подсчитал, чего бы это стоило. Допустим, Архимед может поднять 60 кг, а масса Земли — 6·10²⁴ кг, то есть в 10²³ раз больше. Чтобы поднять Землю всего на 1 см, его конец рычага должен пройти в 10²³ раз больший путь — 10¹⁸ км. Двигая рычаг со скоростью 1 м/с, Архимед потратил бы на это около 30 триллионов лет. Выигрыш в силе всегда оплачивается проигрышем в расстоянии. По рассказу Плутарха, Архимед всё же показал силу простых механизмов: с помощью системы блоков он в одиночку сдвинул с места нагруженный корабль, который не могли вытащить на берег множество людей.

КЛЮЧЕВЫЕ ФОРМУЛЫ

Момент силы

$$M = F\,l, \qquad [M] = \text{Н}\cdot\text{м}$$

F — модуль силы, Н; l — плечо силы, м: кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы

▶ Подробное объяснение

Момент силы показывает, насколько сильно сила поворачивает тело вокруг оси. Одна и та же сила вращает рычаг тем сильнее, чем дальше от оси проходит линия её действия. Поэтому дверную ручку ставят у края двери, а гайку легче открутить длинным ключом.

Плечо — не расстояние до точки приложения силы, а длина перпендикуляра, опущенного из оси на линию действия силы. Если динамометр, прикреплённый на расстоянии 40 см от оси, тянуть под углом 60° к вертикали, плечо уменьшится до 20 см. Чтобы момент остался прежним, сила должна вырасти вдвое. Сила, линия действия которой проходит через ось, момента не создаёт: её плечо равно нулю.

Правило рычага (условие равновесия)

$$M_1 = M_2 \quad\Leftrightarrow\quad F_1 l_1 = F_2 l_2 \quad\Leftrightarrow\quad \frac{F_1}{F_2} = \frac{l_2}{l_1}$$

Рычаг в равновесии, если момент, вращающий его против часовой стрелки, равен моменту, вращающему по часовой. Силы обратно пропорциональны своим плечам

▶ Подробное объяснение

Пример: слева на расстоянии l₁ = 20 см от оси висят три груза по 1 Н (F₁ = 3 Н). Момент M₁ = 3 Н · 0,20 м = 0,60 Н·м. Справа два груза (F₂ = 2 Н) уравновесят рычаг, если M₂ = M₁, то есть l₂ = M₁/F₂ = 0,60/2 = 0,30 м = 30 см.

Если на одной стороне рычага несколько сил, их моменты складываются. При равновесии рычаг остаётся в покое в любом положении, а не только в горизонтальном: при повороте оба плеча уменьшаются в одно и то же число раз. Горизонтальное положение удобно тем, что плечи сразу видны по делениям на рычаге.

Неподвижный блок

$$F = P, \qquad s = h$$

P — вес груза, F — сила, с которой тянут верёвку, s — путь конца верёвки, h — высота подъёма груза. Неподвижный блок меняет только направление силы

▶ Подробное объяснение

Неподвижный блок — это равноплечий рычаг: ось блока служит точкой опоры, а плечи обеих сил равны радиусу блока R. Из правила рычага F·R = P·R, значит F = P. Натяжение верёвки одинаково по всей её длине, поэтому сила не зависит от того, под каким углом тянуть верёвку.

Зато неподвижный блок позволяет тянуть вниз, используя собственный вес, или вбок, а груз при этом поднимается вверх. Так устроены флагшток, жалюзи, подъёмник колодезного ведра.

Подвижный блок и полиспаст

$$F = \frac{P}{n}, \qquad s = n\,h$$

n — число участков верёвки, на которых висит подвижный блок с грузом (подвижный блок: n = 2). Выигрыш в силе в n раз сопровождается проигрышем в расстоянии в n раз

▶ Подробное объяснение

Груз на подвижном блоке висит на двух участках одной верёвки, натяжение каждого равно F. Условие равновесия блока: 2F = P, откуда F = P/2. То же даёт правило рычага: точка опоры — место, где верёвка касается блока слева, плечо веса груза равно R, а плечо силы F — диаметру 2R.

Если сам подвижный блок весит P_бл, его тоже приходится поднимать: F = (P + P_бл)/n. Пример: груз 20 кг (P = 196 Н) и подвижный блок 1 кг (9,8 Н) дают F = 205,8/2 ≈ 103 Н вместо 98 Н, КПД ≈ 95 %. Подвижный блок часто соединяют с неподвижным: выигрыш в силе тот же, но тянуть удобно вниз. Полиспаст из двух подвижных и двух неподвижных блоков (n = 4) позволяет поднять 40 кг силой около 100 Н.

«Золотое правило» механики

$$F\,s = P\,h \qquad \frac{P}{F} = \frac{s}{h}$$

Простые механизмы не дают выигрыша в работе: во сколько раз выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии

▶ Подробное объяснение

Для рычага: когда он поворачивается на небольшой угол, концы плеч проходят пути, пропорциональные плечам: h₁/h₂ = l₁/l₂. Вместе с правилом рычага F₁l₁ = F₂l₂ это даёт F₁h₁ = F₂h₂ — работы обеих сил равны. Например, при равновесии 3 Н на 20 см и 2 Н на 30 см поворот рычага на 15° поднимает левый груз на 5,2 см, а правый опускается на 7,8 см: 3·0,052 ≈ 2·0,078 ≈ 0,16 Дж.

Для подвижного блока: чтобы поднять груз на h, каждый из двух участков верёвки должен укоротиться на h, поэтому конец верёвки проходит s = 2h. Работа руки F·s = (P/2)·2h = P·h. Правило впервые сформулировали ещё древние учёные (Герон Александрийский), а строго обосновали Галилей и Стевин.

КПД простого механизма

$$\eta = \frac{A_{\text{п}}}{A_{\text{з}}}\cdot 100\% = \frac{P\,h}{F\,s}\cdot 100\%$$

Aп = P·h — полезная работа (подъём груза), Aз = F·s — затраченная работа (работа руки). В реальном механизме η < 100 %

▶ Подробное объяснение

Затраченная работа всегда больше полезной: часть её уходит на подъём подвижного блока, на трение в оси и на изгиб верёвки. Для подвижного блока весом P_бл без трения η = P/(P + P_бл). Груз 5 кг на блоке 2 кг: η = 49/(49 + 19,6) ≈ 71 %. Груз 50 кг на том же блоке: η ≈ 96 %.

КПД не может быть больше 100 %: иначе механизм давал бы выигрыш в работе, а это противоречит «золотому правилу» и закону сохранения энергии.

Простые механизмы. Простыми механизмами называют устройства, которые преобразуют силу: изменяют её модуль или направление. К ним относятся рычаг, блок, ворот, наклонная плоскость, клин и винт. С их помощью человек поднимает и передвигает грузы, которые не смог бы сдвинуть одними руками. В этом симуляторе собраны рычаг и блоки.

Рычаг и плечо силы. Рычаг — твёрдое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной опоры. Плечо силы l — это кратчайшее расстояние от точки опоры до прямой, вдоль которой действует сила (линии действия силы). Если груз висит на горизонтальном рычаге, плечо равно расстоянию от оси до точки подвеса. Если же тянуть динамометром наискосок, плечо становится короче, и чтобы удержать рычаг, нужна большая сила. В симуляторе плечо нарисовано цветным отрезком, а линия действия силы — пунктиром.

Момент силы и правило рычага. Вращающее действие силы зависит не только от её модуля, но и от плеча. Его характеризует момент силы M = F·l, он измеряется в ньютон-метрах (Н·м). Рычаг находится в равновесии, если момент силы, вращающей его против часовой стрелки, равен моменту силы, вращающей его по часовой стрелке: M₁ = M₂, то есть F₁l₁ = F₂l₂. Отсюда F₁/F₂ = l₂/l₁: силы, действующие на рычаг, обратно пропорциональны их плечам. Груз весом 1 Н на плече 40 см уравновешивает 8 Н на плече 5 см. Если моменты не равны, рычаг поворачивается в сторону большего момента.

Неподвижный и подвижный блок. Блок — колесо с жёлобом, через которое перекинута верёвка. Ось неподвижного блока закреплена, и он не даёт выигрыша в силе: F = P. Зато он меняет направление силы — можно тянуть вниз или вбок, а груз пойдёт вверх. Неподвижный блок — это рычаг с равными плечами, каждое равно радиусу блока. Подвижный блок поднимается вместе с грузом. Груз держат два участка верёвки, каждый натянут с силой F, поэтому 2F = P и F = P/2 — выигрыш в силе в 2 раза. Подвижный блок — рычаг с плечами 2R и R. Полиспаст, где груз держат n участков верёвки, даёт выигрыш в силе в n раз.

«Золотое правило» механики. Ни один простой механизм не даёт выигрыша в работе: во сколько раз выигрываем в силе, во столько же раз проигрываем в расстоянии. Для блоков F·s = P·h, где s — путь конца верёвки, h — высота подъёма груза. Чтобы подвижным блоком поднять груз на 40 см, верёвку нужно вытянуть на 80 см, а полиспастом с четырьмя нитями — на 1,6 м. У рычага при повороте точки приложения сил проходят пути, пропорциональные плечам: h₁/h₂ = l₁/l₂, поэтому F₁h₁ = F₂h₂. Нажми «Повернуть рычаг» или «Поднять груз» и сравни работы во вкладке «Измерения».

КПД механизма. В настоящем механизме вместе с грузом приходится поднимать и сам подвижный блок, а ещё преодолевать трение. Поэтому полезная работа Aп = P·h всегда меньше затраченной Aз = F·s. Отношение η = Aп/Aз·100 % называют коэффициентом полезного действия (КПД). Задай массу подвижного блока и посмотри, как вырастет сила F и уменьшится КПД. Тяжёлый блок особенно невыгоден при лёгком грузе.

Что попробовать. 1) Уравновесь один груз против восьми — где для этого нужно повесить грузы? 2) Поставь динамометр на 8-е деление и наклони его на 60°: плечо станет вдвое короче, а сила — вдвое больше. 3) Неподвижным блоком меняй угол, под которым тянешь верёвку: показание динамометра не меняется. 4) Подними груз 40 кг полиспастом — хватит силы около 100 Н, но верёвку придётся тянуть в 4 раза дольше. 5) Во вкладке «Проверь себя» сначала посчитай ответ, а потом проверь его опытом.