Однородная лестница 10 кг стоит под углом 60° к полу у гладкой стены. Найти силу трения пола и силу реакции стены — Задачи по физике | PhysLabo
Loading...

Лестница у гладкой стены: силы трения и реакции

Средняя 10 класс Механика / Статика
Условие

Однородная лестница массой $m = 10$ кг и длиной $L$ стоит, опираясь на гладкую вертикальную стену и шероховатый пол, и образует с полом угол $\alpha = 60°$ (см. рисунок). Найдите силу реакции стены $N_w$ и силу трения, действующую на лестницу со стороны пола, а также минимальный коэффициент трения пола, при котором лестница не скользит. Принять $g = 10$ м/с², $\mathrm{tg}\,60° \approx 1{,}73$.

Однородная лестница длиной L опирается на гладкую вертикальную стену и шероховатый пол, угол с полом α
Дано
  • $m = 10$ кг
  • $\alpha = 60°$, $\mathrm{tg}\,60° \approx 1{,}73$
  • $g = 10$ м/с²
  • $N_w = ?$, $F_{тр} = ?$, $\mu_{min} = ?$
Подсказки
Подсказка 1 / 2
Выбери ось моментов в нижней точке лестницы: через неё проходят две неизвестные силы ($N$ и $F_{тр}$), их моменты равны нулю.
Подсказка 2 / 2
Плечо силы тяжести — $\frac{L}{2}\cos\alpha$, плечо силы реакции стены — $L\sin\alpha$. Стена гладкая, поэтому её реакция перпендикулярна стене.
Решение

На лестницу действуют: сила тяжести $m\vec g$ в её середине, сила реакции стены $\vec N_w$ (горизонтальна, так как стена гладкая), сила реакции пола $\vec N$ (вверх) и сила трения $\vec F_{тр}$ (вдоль пола, к стене) в нижней точке $O$. Лестница в равновесии: сумма сил и сумма моментов равны нулю.

Силы на лестницу и плечи относительно точки O
Силы на лестницу и плечи относительно точки O

1. Силы по вертикали и по горизонтали:

$$N = mg = 100 \text{ Н}, \qquad F_{тр} = N_w$$

2. Моменты относительно точки $O$ (тогда $N$ и $F_{тр}$ в уравнение не входят). Плечо силы тяжести равно $\frac{L}{2}\cos\alpha$, плечо силы $N_w$ — $L\sin\alpha$:

$$N_w\,L\sin\alpha = mg\,\frac{L}{2}\cos\alpha \;\Rightarrow\; N_w = \frac{mg}{2\,\mathrm{tg}\,\alpha} = \frac{100}{2 \cdot 1{,}73} \approx 28{,}9 \text{ Н}$$

3. Сила трения $F_{тр} = N_w \approx 28{,}9$ Н. Чтобы лестница не скользила, нужно $F_{тр} \le \mu N$:

$$\mu_{min} = \frac{F_{тр}}{N} = \frac{28{,}9}{100} \approx 0{,}29$$
Ответ

$N_w = F_{тр} \approx 28{,}9$ Н; $\mu_{min} \approx 0{,}29$

Задачи по этой главе
Симуляторы по этой главе
К списку главы