Энергияның сақталу заңы: төбешік

Вагонетка рельс бойымен моторсыз домалайды. Оны жоғарырақ немесе төменірек тарт та, «биіктік энергиясының» қозғалыс энергиясына және керісінше қалай айналатынын, ал вагонетканың сары «төбеден» неге жоғары көтеріле алмайтынын қара. Үйкеліс қос — энергияның қайда кететінін көресің.

30 секундта түсіну

Биіктік — энергия «қоры»

Вагонетканы төбешікке шығару үшін жұмыс керек, ол жоғалмайды: h биіктіктегі вагонетка Eп = mgh энергиясын сақтайды. Ең жоғарғы нүктеде бүкіл энергия «биіктікте» жатыр. Төмен түсу кезінде мотор жоқ — вагонетканы дәл осы қор домалатады.

Биіктік ⇄ жылдамдық

Төмен түседі — биіктік азаяды, жылдамдық артады: Eп → Eк. Жоғары көтеріледі — керісінше. Eп + Eк қосындысы үнемі бірдей, сондықтан вагонетка сары «төбеден» — өзі басталған биіктіктен — жоғары ешқашан көтерілмейді. Ал кез келген нүктедегі жылдамдық тек биіктіктер айырмасына тәуелді: v = √(2g·Δh), масса маңызды емес.

Үйкеліс және «артық» күш

Үйкеліс болса, энергияның бір бөлігі Q жылуына (қызыл) кетеді. «Төбе» баяу төмендеп, вагонетка төбелерге жете алмайтын болады. Ал бұрылыстарда рельстің қысу күші N де бар: ойпаңда ол салмақтан артық (G > 1, орындыққа басады), төбеде — аз (G < 1), ал G = 0 болғанда салмақсыздық пайда болады.

Өзің байқап көр

«m ×2» батырмасын бас: масса екі есе көп, энергиялар екі есе өсті, ал төмендегі жылдамдық бұрынғыдай — таблоға қара: v өзгермеді.
«h₀ ÷2» батырмасын бас: биіктік екі есе аз, ал төмендегі жылдамдық екі есе емес, тек √2 ≈ 1,41 есе аз. Жылдамдық биіктіктен баяу өседі.
«Төбешіктер» жолын таңда да, вагонетканы 6 м биіктікке тарт — төбеден (7 м) төмен. Ол төбеден асып өте алмай, кері қайтады: сары «төбеден» жоғарғы рельс сөндірілген. Энергия жетпейді!
«Айналма» жолын таңда да, «жол шегі» батырмасын бас: h₀ = 2,5R-дан старт. Жоғарыда G = 0 — бұл дәл шек. Сәл төмен болса, еркін шар құлап кетер еді. R = 3 м кезінде h₀ = 7 м-ді байқап көр де, жоғарыдағы G-ға қара.
«Қалыпты» немесе «Тот» үйкелісін қос: қызыл бағананың өсіп, «төбенің» төмендеп бара жатқанын қара. «Тостағанда» вагонетка ақыры түбінде тоқтайды — бүкіл энергия жылуға кетті.

Өмірде қайда кездеседі

Американдық төбешіктер: бірінші төбе әрқашан ең биік. Одан кейін вагонетканы көтерілуде жиналған энергия ғана жүргізеді, сондықтан келесі төбелердің ешқайсысы біріншіден биік бола алмайды.
Аттракциондар мен ұшақтағы аса жүктеме: тік шеңбердің ойпаңында ұшқыш бірнеше есе «ауырлайды», ал төбешіктің төбесінде дерлік салмақсыздықты сезінеді. Сондықтан төбелерді үшкір емес, дөңгелектеніп жасайды.
Скейт-парк және СЭС: скейтердің «тостағанында» да солай — түбінде жылдам, жоғарыда тоқтап қаласың. СЭС-те бөгеттің үстіндегі су потенциалдық энергияны сақтайды, төмен құлап, турбинаны айналдырады.

Графиктер: сол нәрсе сандармен

Қызғылт сары — Eп, жасыл — Eк, қызыл — Q жылуы; сары үзік сызық — «төбе» E/mg. Жол профилінде вагонетка — қызғылт сары нүкте, ал «төбеге» дейінгі жасыл аралық дәл оның Eк-сы.

Вагонетка жолда қайда? Профиль h(s) және «төбе»

Энергия қайда өтеді? E(t)

Ол қаншалықты жылдам жүреді? v(t)

Жолаушы не сезінеді? Аса жүктеме G(t)

Жол

R айналма радиусы 3,0 м

h₀ старт биіктігі 8,6 м

v₀ бастапқы итеру 0,0 м/с

m вагонетка массасы 500 кг

Дөңгелектің рельспен үйкелісі

μ үйкеліс коэффициенті 0,00

Жылдам тәжірибелер

көрсету жылдамдығы 1×

Көрсету

күш пен жылдамдық көрсеткілері

«төбе» E/mg және вагонеткадағы энергия бағанасы

вагонетка ізі

биіктік сызғышы

«Болжа» режимі

Жолды, биіктікті немесе итеруді өзгерту вагонетканы басынан қайта жібереді, ал массаны мен үйкелісті жүріп бара жатқанда өзгертуге болады. Қозғалыс 1/240 с қадаммен дәл теңдеулер бойынша есептеледі, сондықтан сандар кадр жиілігіне де, көрсету жылдамдығына да тәуелді емес.

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

h биіктіктегі потенциалдық энергия

$$E_{\text{п}} = mgh$$

Энергия жолдың ең төменгі нүктесінен жоғары биіктікте «жиналған»: онда h = 0 және Eп = 0.

▶ Толық түсіндірме

h биіктігі нөлдік деңгейден — жолдың ең төменгі нүктесінен — санаймыз. Вагонетка неғұрлым биік болса, көтеруге соғұрлым көп жұмыс жұмсалған және Eп = mgh қоры соғұрлым көп. Тек биіктік маңызды, жол емес: жатық та, тік те көтерілуде бір биіктікке қор бірдей болады.

Мысал: m = 500 кг, h = 9 м ⇒ Eп = 500·9,8·9 = 44 100 Дж = 44,1 кДж. 7 м биіктікте (төбешіктің басы) Eп = 500·9,8·7 = 34,3 кДж.

Кинетикалық энергия

$$E_{\text{к}} = \frac{mv^2}{2}$$

Қозғалыс энергиясы жылдамдықтың квадратындай өседі.

▶ Толық түсіндірме

Екі есе жылдам — төрт есе көп энергия. Сондықтан төбешіктің түбінде, жылдамдық ең үлкен жерде, Eк де ең үлкен, ал төбеде (v = 0) Eк = 0.

Мысал: m = 500 кг, v = 13,28 м/с ⇒ Eк = 500·13,28²/2 ≈ 44,1 кДж — вагонетка 9 м биіктікте жинаған бүкіл энергия.

Төбешіктегі энергияның сақталу заңы

$$E_{\text{п}} + E_{\text{к}} = mgh + \frac{mv^2}{2} = E_0 = \text{const}$$

Үйкеліс болмаса, потенциалдық және кинетикалық энергияның қосындысы жолдың кез келген нүктесінде бірдей.

▶ Толық түсіндірме

Ауырлық күші «қайтарушы»: вагонетка биіктікте жоғалтқанын жылдамдықта алады, және керісінше. Рельстің реакция күші әрдайым жылдамдыққа перпендикуляр және жұмыс істемейді. Сондықтан әр нүктеде Eп + Eк = E₀ = mgh₀ (итеру болса E₀ = mgh₀ + mv₀²/2). Осыдан вагонетка h₀-ден жоғары көтеріле алмайды: сол биіктікте Eп = E₀, Eк-ге ештеңе қалмайды — вагонетка тоқтайды. Экранда бұл сары «төбе» сызығы.

Мысал: E₀ = 44,1 кДж. 7 м биіктікте: Eп = 34,3 кДж, демек Eк = 44,1 − 34,3 = 9,8 кДж, ал v = √(2Eк/m) = √(2·9800/500) = 6,26 м/с.

Биіктіктер айырмасынан жылдамдық

$$v = \sqrt{v_0^2 + 2g\,(h_0 - h)}$$

Масса қысқарады: ауыр да, жеңіл де вагонетка бірдей биіктіктен бірдей жүреді.

▶ Толық түсіндірме

mgh₀ + mv₀²/2 = mgh + mv²/2 теңдігін m-ге бөлеміз де v² = v₀² + 2g(h₀ − h) аламыз. Итерусіз (v₀ = 0): v = √(2g(h₀ − h)). Жылдамдық вагонетканың қаншаға төмен түскеніне ғана тәуелді, массаға да, түсу формасына да тәуелді емес.

Мысал: h₀ = 9 м-ден старт. Төменде (h = 0): v = √(2·9,8·9) = 13,28 м/с. 7 м төбеде: v = √(2·9,8·2) = 6,26 м/с. Екі есе аз биіктіктен (4,5 м) төмендегі жылдамдық √(2·9,8·4,5) = 9,39 м/с — екі есе емес, √2 есе ғана аз. 4 м биіктіктен v₀ = 6 м/с итерумен: төменде v = √(36 + 2·9,8·4) = 10,7 м/с.

Үйкеліс: энергия жылуға кетеді

$$E_{\text{п}} + E_{\text{к}} + Q = E_0,\qquad Q = \mu\int N\,ds$$

μN үйкеліс күші қозғалысқа қарсы жұмыс істейді, ал бұл жұмыс Q жылуына айналады.

▶ Толық түсіндірме

Дөңгелектің рельспен үйкеліс күші F = μN жылдамдыққа қарсы бағытталған және жолдың әр ds бөлігінде механикалық энергияның бір бөлігін «жейді»: Q = ∫μN ds. Eп + Eк энергиясы азаяды, сары «төбе» төмендейді, қызыл сегмент өседі, бірақ жиынтығында Eп + Eк + Q = E₀: энергия жоғалмайды, тарап кетеді (дөңгелектер мен рельс қызады).

Түзу көлбеу бөлік үшін мысал: Q = μ·mg·cosα·s. μ = 0,06, m = 500 кг, α = 30° және s = 10 м жол болса: Q = 0,06·500·9,8·0,866·10 ≈ 2,55 кДж. Тоқтағаннан кейін вагонетка tg α ≤ μ болса, тұрып қалады (тыныштық үйкелісі).

Рельстің реакциясы және аса жүктеме

$$N = m\left(g\cos\theta + \frac{v^2}{R}\right),\qquad G = \frac{N}{mg}$$

Иілген жерде рельс вагонетканы салмағынан күштірек немесе әлсізірек қысады — жолаушы осыны сезінеді.

▶ Толық түсіндірме

θ — рельстің горизонтқа көлбеу бұрышы, R — иілу радиусы (ойпаң мен айналманың ішкі жағы үшін «+» белгісімен, төбе үшін «−» белгісімен). Тегіс бөлікте N = mg, G = 1. Ойпаңның төменгі нүктесінде N = m(g + v²/R): орындыққа басылып қаласың (G > 1). Төбеде N = m(g − v²/R): неғұрлым жылдам болса, соғұрлым жеңіл, ал v² = gR кезінде N = 0 — салмақсыздық.

Мысал: айналманың төменгі нүктесінде R = 3 м, h₀ = 7,5 м-ден старт болса, v² = 2gh₀ = 147 м²/с², N = m(9,8 + 147/3) = 58,8·m, G = 6 — алты еселік аса жүктеме.

Айналма жол: ең аз биіктік 2,5R

$$mgh_0 = mg\cdot 2R + \frac{mv^2}{2},\quad v^2 \ge gR \;\Rightarrow\; h_0 \ge \frac{5}{2}R$$

Жоғарыда ажырамау үшін v ≥ √(gR) жылдамдық керек, ол үшін — старт 2,5R-дан төмен емес.

▶ Толық түсіндірме

Айналманың жоғарғы нүктесінде рельс вагонетканы N күшімен төмен қысады, ауырлық күшімен бірге олар центрге тартқыш үдеу тудырады: N + mg = mv²/R. Ажырамау үшін N ≥ 0, яғни v² ≥ gR. Төбенің биіктігі 2R, сондықтан энергияның сақталу заңы бойынша mgh₀ = mg·2R + mv²/2 ≥ mg·2R + mgR/2 = 2,5·mgR. Осыдан h₀ ≥ 2,5R.

Мысал: R = 3 м ⇒ h₀ ≥ 7,5 м; шекте жоғарыда v = √(gR) = √(9,8·3) = 5,42 м/с. Төмен биіктіктен еркін шар құлап кетер еді, ал нағыз вагонетканы сақтандыру дөңгелектері ұстап тұрады (рельс оны «тартады», G < 0). Бастапқы итеру болса, шарт мынадай: h₀ + v₀²/(2g) ≥ 2,5R.

Мұнда не болып жатыр. Вагонетка рельс бойымен моторсыз, тек ауырлық күшінің әсерімен жүріп барады. Оны жолдың ең төменгі нүктесінен h биіктікке көтеру үшін жұмыс керек, ол жоғалмайды: вагонетка потенциалдық энергия Eп = mgh «жинайды». Егер оны итермей жіберсе, жоғарғы нүктеде бүкіл энергия потенциалдық, ал жылдамдық нөлге тең.

Айналу және «төбе». Вагонетка төмен түседі: биіктік азаяды, жылдамдық артады, Eп кинетикалық энергия Eк = mv²/2 болып айналады. Төменде h = 0, бүкіл энергия кинетикалық — жылдамдық ең үлкен. Көтерілгенде бәрі керісінше жүреді. Үйкеліс болмаса, кез келген нүктеде Eп + Eк қосындысы E₀ = mgh₀-ге тең — бұл механикалық энергияның сақталу заңы. Осыдан төбешіктердің басты ережесі шығады: вагонетка өзі басталған h₀ биіктіктен (экрандағы сары «төбе» сызығы) жоғары көтерілмейді, ал кез келген нүктедегі жылдамдық тек биіктіктер айырмасына тәуелді: v = √(2g(h₀ − h)). Масса бұл формулаға кірмейді. Мысал: m = 500 кг, h₀ = 9 м ⇒ E₀ = 500·9,8·9 = 44,1 кДж; төменде v = √(2·9,8·9) = 13,28 м/с, төбешіктің басында (7 м) v = √(2·9,8·2) = 6,26 м/с.

Үйкеліс және жылу. Дөңгелектің рельспен үйкелісін қос: жолдың әр метрінде механикалық энергияның бір бөлігі Q жылуына (қызыл сегмент) кетеді. «Төбе» баяу төмендеп, вагонетка төбелерге жете алмайтын болады: алдымен төбеге жете алмайды, сосын ойпаңда тербеліп, ақыры тоқтайды. Энергия жоғалмайды: Eп + Eк + Q = E₀. Рельс тым жатық болса, вагонетканы тыныштық үйкелісі ұстап тұрады (tg α ≤ μ) — ол жүрмейді.

Айналма жол және аса жүктеме. Рельстің иілген жерінде вагонетканы N реакция күші әсер етеді, жолаушы оны G = N/(mg) аса жүктемесі ретінде сезінеді. Ойпаңның төменгі нүктесінде G бірден артық (орындыққа басылып қаласың), төбеде — аз, ал G = 0 болғанда салмақсыздық пайда болады. Радиусы R тік айналманың жоғарғы нүктесінде жылдамдық v ≥ √(gR) болуы керек, әйтпесе еркін дене құлап кетер еді. Энергияның сақталу заңынан әйгілі ереже шығады: итерусіз айналма жолдан өту үшін старт h₀ = 2,5R-дан төмен болмауы керек. Мысал: R = 3 м ⇒ h₀ = 7,5 м, жоғарыда v = 5,42 м/с, төменде аса жүктеме G = 6.

Тренажёр доғалар мен түзулерден тұратын рельс бойымен дәл қозғалысты есептейді (жуықтау емес), сондықтан экрандағы сандар формулаларға сәйкес келеді. «Энергияның сақталу заңы: математикалық маятник» және «Үйкелісі бар көлбеу жазықтық» симуляторларымен салыстыр.