Шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалыс

Жіпке байланған тасты, бұрылыстағы көлікті немесе каруселді іске қосып, айналатын дене жылдамдығы өзгермесе де, неге үнемі центрге қарай үдейтінін көр. Жіпті кессең — дене түзу сызықпен ұшып кетеді. Осьтердегі көлеңкелер, графиктер және табло сандары бәрін оқулықтағы формулалармен салыстыруға көмектеседі.

Құбылыстың мәні 30 секундта

Жылдамдық — көрсеткі

Дене шеңбер бойымен жылдамдығының модулін өзгертпей қозғалады, бірақ жылдамдық көрсеткісі үнемі бұрылып тұрады: ол әрқашан шеңберге жанама бойымен орналасады.

Көрсеткінің бұрылуы — үдеу

Жылдамдықтың кез келген өзгерісі — шамасы бойынша да, бағыты бойынша да — үдеу деп аталады. Мұнда жылдамдық тек бұрылады, ал үдеу центрге қарайды: a = v²/R. «a_ц қайдан шығады» құсбелгісін қойсаң, мұны суреттен көресің.

Центрге күш тартады

Дене бұрылуы үшін оған центрге бағытталған күш әсер етуі керек: жіп, дөңгелектің үйкелісі, карусель орындығы. Оны алып тастасаң, дене «сыртқа ұшып» кетпей, түзу сызықпен кетеді.

Не істеп көру керек

«Бастау» батырмасының астындағы қызыл батырманы бас — центрге бағытталған күш жоғалады. Дене қайда ұшады? Сосын күшті қайтар.
«v × 2» батырмасын бас. Үдеу неше есе өзгерді? Ал «R × 2» кезінде ше?
Сол v кезінде R жүгірткісін жылжыт: суреттегі радиус өзгермейді, ал үдеу мен көрсеткілер өзгереді. Олар R-ге қалай тәуелді?
«Көлікті» таңда, «Мұзды» қой да көлікті үдете бер: қандай жылдамдықта ол тайып кетеді?

Графиктер: не өзгереді, не өзгермейді

Әрбір қисықтағы нүкте денемен бірге қозғалады. Координаталар мен жылдамдық проекциялары тербеледі, ал v модулі тұрақты болып қалады. Төменгі графиктер a_ц-ның v-ға және R-ге қалай тәуелді екенін көрсетеді.

Не айналады

R радиус 1,5 м

v арқылы беру T арқылы беру

v жылдамдық 4,00 м/с

T период 2,36 с

m масса 0,5 кг

F_max жіптің беріктігі 30 Н

Егер… болса, не болады

Баяулату / көрсету қарқыны

Солға сүйре — бәрі баяулайды (физика өзгермейді). Екі рет бас — 1× қайтады

1×

0,05×1×4×

Көрсету

v және a_ц векторлары

F_ц күшін

a_ц қайдан шығады (Δv)

x және y осьтеріндегі көлеңкелер

θ бұрышы

Із

Сынақ

Сурет сахнаның өлшеміне бейімделеді, ал панельдегі сандар дәл — олар формулалар бойынша есептеледі.

Қысқаша: шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалыста жылдамдықтың шамасы өзгермейді, бірақ бағыты өзгереді, яғни центрге бағытталған a_ц = v²/R үдеуі бар. Мысал: R = 2 м, v = 3 м/с — период T = 2πR/v ≈ 4,19 с, үдеу a_ц = 4,5 м/с², ал m = 1 кг болғанда күш F_ц = 4,5 Н. «Тасты» және «v арқылы беруді» таңдап, осы сандарды қой да, табложан тексер.

Сондай-ақ қараңыз

Көкжиекке бұрыш жасай лақтыруТағы бір қисық сызықты қозғалыс: мұнда да үдеу жылдамдық бойымен бағытталмайды Серіппелі маятникШеңбердегі нүктенің көлеңкесі серіппедегі жүк сияқты тербеледі Орбиталар және ғарыштық жылдамдықтарСерік — сол шеңбер, ал центрге бағытталған күшті Жердің тартылысы жасайды

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Центрге тартқыш үдеу

$$a_ц = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R$$

Шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалатын дененің үдеуі: әрқашан центрге қарай және жылдамдыққа перпендикуляр бағытталған

▶ Толық түсіндірме

Айналым кезінде жылдамдық тек бағытын өзгертеді, бірақ жылдамдықтың кез келген өзгерісі — үдеу, және ол шеңбердің центріне қарай бағытталады: a_ц = v²/R = ω²R. Үдеудің модулі тұрақты — табло бойынша a_ц уақытпен өзгермейді, тек көрсеткі бұрылады. Радиус кіші және жылдамдық үлкен болған сайын үдеу көп болады: v = 3 м/с және R = 2 м кезінде ол 4,5 м/с², яғни g-дан екі есеге жуық кем, ал v = 10 м/с және R = 2 м кезінде ол 50 м/с², яғни шамамен 5g.

Период, жиілік және бұрыштық жылдамдық

$$T = \frac{2\pi R}{v}, \quad f = \frac{1}{T}, \quad \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f, \quad v = \omega R$$

Шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалыстағы v, R, T, f және ω арасындағы барлық байланыс

▶ Толық түсіндірме

Период T — бір айналымның уақыты: дене 2πR шеңбер ұзындығын v жылдамдықпен жүріп өтеді, сондықтан T = 2πR/v. Жиілік f = 1/T — секундтағы айналым саны. Бұрыштық жылдамдық ω = 2π/T = 2πf дененің секундына қандай бұрышқа (радианмен) бұрылатынын көрсетеді; сызықтық жылдамдық v = ωR. Симулятордағы «v / T арқылы беру» ауыстырғышы екінші шаманы дәл осы формулалармен қайта есептейді. Тексер: R = 2 м және v = 3 м/с кезінде T ≈ 4,19 с, f ≈ 0,24 Гц, ω = 1,5 рад/с шығады.

Центрге тартқыш күш

$$F_ц = ma_ц = m\frac{v^2}{R} = m\omega^2 R$$

Ньютонның екінші заңы бойынша шеңбердегі дененің жылдамдығын бұратын күш

▶ Толық түсіндірме

Центрге тартқыш күш — жаңа әрекеттесу түрі емес, қарапайым күштердің нәтижесі: жіптің керілуі, үйкеліс, тіреудің реакция күші немесе тартылыс. Ньютонның екінші заңы бойынша F_ц = ma_ц = mv²/R: жылдамдықты түзу сызықты қозғалыстан әр сәтте ауытқытатын дәл осы күш. m массасын қой, «Өлшемдер» панелінде F_ц көрінеді: v = 3 м/с, R = 2 м және m = 1 кг кезінде ол 4,5 Н-ға тең. Жер маңындағы орбитадағы серік үшін бұл рөлді Жердің тартылысы атқарады — серік Жерге үнемі «құлап» отырады, бірақ бүйірге қозғалып, әр жолы жанынан өтіп кетеді. Күшті алып тастасаң — дене түзу сызықпен кетеді.

Айналым кезіндегі координаталар проекциясы

$$\begin{aligned} x(t) &= R\cos\omega t \\ y(t) &= R\sin\omega t \end{aligned}$$

Шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалыстың осьтерге проекциялары — фазасы π/2-ге жылжыған екі синусоида

▶ Толық түсіндірме

Бастапқы орын x осінде таңдалған, сондықтан x = R cos ωt, ал y = R sin ωt — бір бірқалыпты қозғалыстың проекциялары. Екі тәуелділік те бірдей жиіліктегі, фазасы π/2-ге (ширек период) жылжыған гармоникалық тербеліс. Бұл графиктерде көрінеді: x(t) және y(t) синусоидалары бірдей, бірақ екіншісі біріншіден T/4 кешігеді. «x және y осьтеріндегі көлеңкелерді» қос: көк және жасыл нүктелер серіппедегі жүк сияқты тербеледі. Айналымды екі проекция арқылы беру тербеліс пен толқындар тақырыбының негізінде жатыр.

Бұрылу бұрышы және доға ұзындығы

$$\theta = \omega t, \qquad s = R\theta = vt, \qquad N = \frac{t}{T}$$

Бірқалыпты айналымда бұрыш, жүрілген жол және айналым саны қалай өседі

▶ Толық түсіндірме

Бұрылу бұрышы θ уақытқа пропорционал өседі: θ = ωt. Ол радианмен өлшенеді: 1 рад — доға ұзындығы радиусқа тең болатын бұрыш, ал толық айналым — 2π рад ≈ 6,28 рад (360°). Дене жүрген доға ұзындығы s = Rθ; v = ωR болғандықтан s = vt шығады — түзу сызықты бірқалыпты қозғалыстағыдай. Айналым саны N = t/T. Мысал: R = 2 м және v = 3 м/с кезінде t = 10 с ішінде дене s = 30 м жүріп, θ = 15 рад-қа бұрылады және N ≈ 2,4 айналым жасайды. Симуляторда сары сектор θ-ны көрсетеді, ал t, N және s табло мен «Өлшемдер» панелінде көрінеді.

Шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалыс дегеніміз не. Дене R радиусты шеңбер бойымен қозғалады, ал оның v жылдамдығының модулі өзгермейді. Жылдамдық — вектор, оның бағыты үнемі өзгеріп отырады: ол әрқашан шеңберге жанама бойымен, яғни радиусқа перпендикуляр бағытталған. Осылай секундомер тілінің ұшы, жіпке байланған тас, шеңбер айналымындағы көлік, карусель орындығы, дөңгелек орбитадағы серік қозғалады.

Неге үдеу бар. Жылдамдықтың кез келген өзгерісі, тіпті тек бағытының өзгерісі де үдеу деп аталады. Жылдамдық бұрылады, демек, үдеу бар. Оны центрге тартқыш үдеу дейді: ол шеңбер центріне қарай, жылдамдыққа перпендикуляр бағытталған, сондықтан жылдамдықтың шамасын өзгертпей, тек бұрады. Модулі: a_ц = v²/R = ω²R = 4π²R/T². Симуляторда «a_ц қайдан шығады (Δv)» құсбелгісін қой — суретте екі жылдамдықтың айырмасы Δv = v₂ − v₁ центрге қарайтыны көрінеді.

Центрге бағытталған күш. Ньютонның екінші заңы бойынша мұндай үдеуге центрге бағытталған F_ц = m·a_ц = mv²/R күші керек. Бұл «тағы бір» күш емес, қарапайым күштердің нәтижесі: тас үшін жіптің керілуі, көлік үшін дөңгелектің үйкелісі, каруселде отырған адам үшін орындық пен тұтқаның әсері, серік үшін Жердің тартылысы. Бұл күш жоғалса (жіп үзілсе, жол мұзды болса), дене «сыртқа ұшып» кетпейді, сол жылдамдықпен жанама бойымен түзу жүреді — бұл инерция заңы. «Бастау» батырмасының астындағы қызыл батырманы бас та, көз жеткіз.

Период, жиілік, бұрыштық жылдамдық. Период T — бір айналымның уақыты: T = 2πR/v. Жиілік f = 1/T — секундтағы айналым саны. Бұрыштық жылдамдық ω = 2π/T = 2πf дененің секундына қандай бұрышқа (радианмен) бұрылатынын көрсетеді; толық айналым — 2π рад ≈ 6,28 рад. Бұрыш біркелкі өседі: θ = ωt, доға бойымен жол s = Rθ = vt, ал сызықтық жылдамдық v = ωR.

Проекциялар және тербеліс. Дененің осьтердегі көлеңкелері x = R cos ωt және y = R sin ωt заңдарымен қозғалады. Бұл — ширек период жылжыған екі бірдей синусоида: бірқалыпты айналым гармоникалық тербеліспен осылай байланысады.

Үдеу неге тәуелді. Ол жылдамдықтың квадратындай өседі (екі есе тез — 4 есе көп) және радиус өскен сайын кемиді (бұрылыс екі есе тар — екі есе көп). Төменгі графиктер мен «v × 2», «R × 2» батырмалары мұны тәжірибеде көрсетеді. Масса үдеуге әсер етпейді, бірақ F_ц күші оған тәуелді.

Симулятор қалай есептейді. Бірқалыпты айналымның дәл θ = ωt формуласы бар, сондықтан есептеуде жуықтау жоқ: кадр жиілігі мен көрсету жылдамдығы сандарға әсер етпейді. Сурет сахнаның өлшеміне бейімделеді, ал панельдегі сандар дәл. Көлік a_ц > μg болғанда тайып кетеді, ал жіп F_ц > F_max болғанда үзіледі; одан кейін дене тұрақты жылдамдықпен түзу жүреді (тайғанақтағы тежелу ескерілмейді).