Серіппелі маятник: жүк неге тербеледі және период неге тәуелді

Жүкті тартып, жіберіп жібер — серіппе оны синусоида бойымен тербетеді. Қатаңдық пен массаны өзгерт, Айға немесе салмақсыздыққа ұш, ортаның кедергісін қос — сонда негізгі нәрсені көресің: T = 2π√(m/k) периоды тербеліс ауқымына да, еркін түсу үдеуіне де тәуелді емес.

30 секундта түсіну

Серіппе кері тартады

Жүкті тарттың — серіппе қарсылық етіп, оны кері тартады; қысты — итереді. Қаншалықты көп тартсаң, соншалықты күшті тартады: F = −kx. «Минус» белгісі күштің әрқашан тепе-теңдік қалпына, жүк оралғысы келетін жаққа бағытталғанын білдіреді.

Үдеу, ұшып өту, баяулау

Тепе-теңдікке қарай жүк үдейді, ал тепе-теңдіктің өзінде күш нөлге тең — бірақ жылдамдық мұнда ең үлкен, сондықтан жүк инерциямен әрі қарай ұшады. Енді серіппе оны екінші жағынан тежейді, ол шеткі нүктеде тоқтайды (күш ең үлкен, жылдамдық нөл) да кері жүреді. Бұл кезде энергия ауысып отырады: Eп ⇄ Eк.

Период — тек k және m

Бір тербеліске кететін уақыт T = 2π√(m/k) жүктің қаншалықты тартылғанына тәуелді емес: алысырақ тартсаң — күштірек үдейді, ал уақыт сол. Ауыр жүк баяу, қатаң серіппе жылдам тербеледі. Период g-ға да тәуелді емес: Айда да, салмақсыздықта да ол бірдей.

Өзің байқап көр

«A ×2» батырмасын бас: жүк екі есе алыс ұшады, бірақ период өзгермейді — таспадағы уақыт белгілеріне және T(A) графигіне қара: нүкте көлденең түзу бойымен сырғиды.
«m ×4» батырмасын бас: жүк 4 есе ауыр, ал тек 2 есе баяу тербеледі — бұл T = 2π√(m/k) формуласындағы түбір. «k ×4» үшін де солай.
«Жер», «Ай», «Юпитер», «Салмақсыздық» арасында ауыстыр: серіппе әртүрлі салбырайды (Δl = mg/k), ал период сол. Математикалық маятникте бәрі басқаша — оның периоды T = 2π√(l/g) g-ға тәуелді.
«Ауа», «Май», «Бал» таңда: қызыл бағананың (Q жылуы) өсіп, синусоиданың өшіп бара жатқанын қара. Балда тербеліс мүлде жоқ — жүк тепе-теңдікке жай ғана жылжиды.
«Салыстыру» батырмасын бас: қасында амплитудасы екі есе аз екінші жүк ілінеді. Ол жылдамдығы бойынша баяу, бірақ тепе-теңдікке де, шеткі нүктелерге де екеуі бір мезгілде жетеді.

Өмірде қайда кездеседі

Автокөліктің аспасы: серіппе + амортизатор. Серіппе тербеліс тудырады, амортизатор (тұтқыр орта, «Май» сияқты) оны өшіреді — әйтпесе көлік әр шұңқырдан кейін тербеле беретін еді.
Ғарыштық «таразы»: станцияда бәрі салмақсыз, сондықтан ғарышкерді өлшеп болмайды. Оны серіппелі орындыққа отырғызып, T = 2π√(m/k) периодын өлшейді — массаны осыдан табады.
Батут пен тарзанка: серпімді тор немесе жіп — F = −kx күші бар сол серіппе. Ол қатаң болған сайын және секіруші жеңіл болған сайын, ол жиірек секіреді.

Графиктер: сол нәрсе сандармен

Қисықтар дәл формулалармен салынған. Ашық бөлік — болып өткені, күңгірті — болатыны; тік үзік сызық — «қазір». Түстер сахнадағыдай: қызғылт сары — Eп, жасыл — Eк, қызыл — Q жылуы.

Жүк әр сәтте қайда? x(t)

Ол қаншалықты жылдам қозғалады? v(t)

Энергия қайда өтеді? E(t)

Энергияның «шұңқыры» Eп(x): жүк параболамен домалайды

Период k-ға қалай тәуелді? T(k)

Период амплитудаға қалай тәуелді? T(A)

k серіппенің қатаңдығы 20 Н/м

m жүктің массасы 1,0 кг

A амплитуда (қаншаға тартылды) 0,15 м

Тәжірибе қайда жүреді? (g үдеуі)

Орта (кедергі)

ζ өшу (неғұрлым үлкен — орта соғұрлым тұтқыр) 0,00

Жылдам тәжірибелер

көрсету жылдамдығы 1×

Көрсету

күш пен жылдамдық көрсеткілері

таспа-өзіжазғыш (синусоида)

деңгейлер: x = 0, ±A, бос ұзындық

сызғыш

жүктің ізі

«Периодты болжа» режимі

Параметрлердің кез келген өзгерісі жүкті тыныштық күйден қайта жібереді. Қозғалыс дәл формулалармен есептеледі, сондықтан период пен амплитуда кадр жиілігіне байланысты «жылжымайды».

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Серіппелі маятниктің периоды

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$$

Бір толық тербелістің уақыты тек жүктің массасы мен серіппенің қатаңдығына тәуелді — амплитудаға да, g-ға да емес

▶ Толық түсіндірме

Период — бір толық тербелістің уақыты. Ол массаның түбіріне пропорционал және қатаңдықтың түбіріне кері пропорционал: жүк неғұрлым ауыр болса — баяу, серіппе неғұрлым қатаң болса — жылдам. Симулятордағы сандар: k = 20 Н/м, m = 1 кг → T = 2π√(1/20) ≈ 1,40 с, f = 1/T ≈ 0,71 Гц. Масса ×4 — период ×2 (T ≈ 2,81 с); қатаңдық ×4 — период ÷2 (T ≈ 0,70 с). A амплитудасы мен g үдеуі формулаға кірмейді: жүкті 5 см немесе 25 см тартыңыз, тәжірибені Жерде, Айда не салмақсыздықта жасаңыз — T 1,40 с күйінде қалады. Бұл — изохрондылық. Математикалық маятниктен айырмашылығына назар аударыңыз: онда T = 2π√(l/g) g-ға тәуелді.

Циклдік жиілік және жиілік

$$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$

ω — фазаның секундына неше радиан өтетіні; f — секундына неше толық тербеліс

▶ Толық түсіндірме

ω фазаның қаншалықты жылдам өзгеретінін көрсетеді: бір период ішінде фаза 2π өтеді, сондықтан ω = 2πf = 2π/T. Өлшем бірліктері: ω — рад/с, f — Гц (1/с). Серіппелі маятник үшін ω = √(k/m) тек екі параметрге тәуелді: k ×4 → ω ×2, m ×4 → ω ÷2. k = 20 Н/м, m = 1 кг үшін: ω ≈ 4,47 рад/с. Жүктің ең үлкен жылдамдығы vmax = Aω, ең үлкен үдеуі amax = Aω²: A = 0,15 м болғанда олар 0,67 м/с және 3,0 м/с². Симулятор «Өлшемдер» қойындысында дәл осы сандарды көрсетеді, тепе-теңдік қалпындағы және шеткі нүктелердегі көрсеткіштерді солармен салыстыруға болады.

Гармониялық тербеліс заңы

$$\begin{aligned} x(t) &= A\cos\omega t \\ v(t) &= -A\omega\sin\omega t \\ a(t) &= -A\omega^{2}\cos\omega t \end{aligned}$$

Ығысу косинус бойынша, жылдамдық синус бойынша (период ширегіне озық), үдеу — таңбасы қарама-қарсы ығысудай өзгереді

▶ Толық түсіндірме

Жүкті A қашықтыққа тартып, итермей жіберді — сонда x(t) = A·cos(ωt). Жылдамдық — ығысудың туындысы: v = −Aω·sin(ωt); үдеу — жылдамдықтың туындысы: a = −Aω²·cos(ωt) = −ω²x. |x| ең үлкен болғанда (шеткі нүктелер) v = 0; x = 0 болғанда |v| ең үлкен. Симулятордағы таспа-«өзіжазғыш» дәл осы косинусты салады: жүк із қалдырады, ал қағаз бүйірге жылжиды. Симулятор қозғалысты интегралдаумен емес, осы формулалармен есептейді: сондықтан период пен амплитуда қателік жинамайды, ал тепе-теңдіктен өту (ωt = π/2 + nπ) және шеткі нүктелер (ωt = nπ) сәттері дәл белгілі.

Серпімділік (қайтарушы) күші

$$F = -kx,\qquad ma = -kx \;\Rightarrow\; a = -\frac{k}{m}\,x$$

Күш ығысуға пропорционал және әрқашан тепе-теңдік қалпына қарай бағытталған

▶ Толық түсіндірме

Гук заңы: F = −kx. «Минус» — барлық мағына: күш ығысуға қарсы бағытталған. Жүкті төмен тарттың (x > 0) — күш жоғары тартады (F < 0); жоғары көтерді (x < 0) — күш төмен тартады. Сондықтан оны қайтарушы күш дейді: ол жүктің ұшып кетуіне жол бермейді. ma = F теңдеуіне қойсақ: a = −(k/m)x — үдеу ығысуға пропорционал және оған қарама-қарсы таңбалы; бұл гармониялық тербелістің анықтамасы. Мысалы: k = 20 Н/м, x = 0,15 м → F = 3,0 Н. Симуляторда бұл — қызғылт сары F көрсеткісі: шеткі нүктелерде ол ең ұзын, тепе-теңдікте жоқ. Ауырлық күшін ескергенде F — серіппе мен ауырлық күшінің тең әсерлі күші (Δl = mg/k формуласын қара).

Ауырлық күші әсеріндегі тепе-теңдік: Δl = mg/k

$$\begin{aligned} mg &= k\,\Delta l \;\Rightarrow\; \Delta l = \frac{mg}{k} \\ F_{\text{net}} &= mg - k(\Delta l + x) = -kx \end{aligned}$$

Ауырлық күші тек тепе-теңдік қалпын жылжытады: оның төңірегіндегі тербеліс сол F = −kx заңына бағынады

▶ Толық түсіндірме

Жүгі бар тік серіппе серпімділік күші mg-ны теңестіргенге дейін ауырлық күшінен созылады: kΔl = mg. Бұл — тепе-теңдік қалпы, x осыдан саналады. m = 1 кг, k = 20 Н/м үшін: Жерде Δl = 9,8/20 = 0,49 м; Айда (g = 1,62 м/с²) Δl ≈ 0,081 м; Юпитерде (g = 24,8 м/с²) Δl ≈ 1,24 м; салмақсыздықта Δl = 0. Жүкті тепе-теңдіктен x жылжытсақ — тең әсерлі күш mg − k(Δl + x) = −kx: g қысқарып кетті. Сондықтан T = 2π√(m/k) Айда да, Жерде де, салмақсыздықта да бірдей. Ғарыш станцияларында ғарышкердің массасын дәл осылай — серіппедегі тербеліс периоды бойынша өлшейді, өйткені салмақсыздықта таразыға тартуға болмайды.

Тербелістегі энергия алмасуы

$$E = \frac{kA^2}{2} = \underbrace{\frac{kx^2}{2}}_{E_{\text{п}}} + \underbrace{\frac{mv^2}{2}}_{E_{\text{к}}} = \text{const}$$

Тербелістің толық энергиясы тұрақты: потенциалдық кинетикалыққа айналады және кері

▶ Толық түсіндірме

Потенциалдық энергия Eп = kx²/2 тек ығысуға, кинетикалық энергия Eк = mv²/2 тек жылдамдыққа тәуелді, ал олардың қосындысы амплитудаға дейін тартқанда жұмсалған энергияға тең: E = kA²/2. Шеткі нүктелерде x = ±A, v = 0 — бүкіл энергия потенциалдық; тепе-теңдік қалпында x = 0, |v| = Aω — бүкіл энергия кинетикалық. k = 20 Н/м, A = 0,15 м үшін: E = 0,225 Дж, vmax = 0,67 м/с — симулятор дәл осы сандарды көрсетеді. Тік серіппеде Eп — серпімділік энергиясы мен ауырлық өрісіндегі энергияның бірге алынған қосындысы, тепе-теңдік қалпынан саналады. Графиктерде қызғылт сары қисық — Eп, жасыл — Eк, үзік сызық — олардың қосындысы. Eп(x) «шұңқырында» жүк параболамен домалайды, ал E деңгейіне дейінгі аралық — Eк.

Өшетін тербеліс

$$\begin{aligned} x(t) &= A\,e^{-\gamma t}\!\left(\cos\omega_d t + \frac{\gamma}{\omega_d}\sin\omega_d t\right) \\ \gamma &= \zeta\omega,\quad \omega_d = \omega\sqrt{1-\zeta^2},\quad \zeta = \frac{b}{2\sqrt{km}} \end{aligned}$$

Ортаның кедергісі тербелісті өшіреді: тербеліс ауқымы экспонента бойынша кемиді, ал энергия жылуға кетеді

▶ Толық түсіндірме

Тұтқыр ортаның кедергі күші F = −bv. ζ = b/(2√(km)) саны ортаның қаншалықты «қою» екенін көрсетеді. ζ < 1 болғанда жүк тербеледі, тербеліс ауқымы e^(−γt) заңымен кемиді, ал жиілік сәл аз: ωө = ω√(1−ζ²). k = 20 Н/м, m = 1 кг және ζ = 0,25 («Май» режимі) кезінде: ωө ≈ 4,33 рад/с, Tө ≈ 1,45 с (1,40 с орнына), энергия әр ≈ 0,31 с сайын екі есе кемиді. ζ = 1 кезінде өшу критикалық: жүк тепе-теңдікке тербелмей, ең жылдам жетеді (b = 2√(km) ≈ 8,9 кг/с). ζ > 1 («Бал» режимі) кезінде тербеліс жоқ — жүк тепе-теңдікке баяу жылжиды. Жоғалған энергия жоғалмайды: Eп + Eк + Q = E₀, мұндағы жылу Q = ∫bv²dt. Симуляторда үш режим де дәл формулалармен есептеледі, ал Q дәл v(t) бойынша интеграл ретінде жиналады — баланс 10⁻¹² Дж дәлдігімен орындалады.

Серіппелі маятник — қатаңдығы k серіппеге ілінген массасы m жүк. Жүкті тепе-теңдік қалпынан x қашықтыққа тарттың — серіппе оны F = −kx күшімен кері тартады (Гук заңы). «Минус» белгісі күштің әрқашан тепе-теңдікке қарай бағытталғанын білдіреді, ал шамасы ауытқумен бірге өседі. Ньютонның екінші заңы бойынша ma = −kx, яғни a = −(k/m)·x: үдеу ығысуға пропорционал және оған қарама-қарсы таңбалы. Мұндай қозғалысты гармониялық тербеліс деп атайды, ал оның шешімі — x(t) = A·cos(ωt), мұндағы ω = √(k/m).

Тербеліс неге серіппенің бос ұзындығының емес, дәл тепе-теңдік қалпының төңірегінде жүреді? Өйткені жүкке ауырлық күші mg та әсер етеді. Ол серіппені Δl = mg/k шамасына созады, ал жүк mg = kΔl болатын жерде тыныш тұрады — бұл тепе-теңдік қалпы. Жүкті тағы x қашықтыққа жылжытсақ, тең әсерлі күш mg − k(Δl + x) = −kx болады. Ауырлық күші тепе-теңдік қалпының ішіне «жасырынды», ал тербеліс онсыз қандай заңға бағынса, сол заңға бағынады. Сондықтан период g-ға тәуелді емес: Айда серіппе азырақ, Юпитерде көбірек салбырайды, салмақсыздықта мүлде салбырамайды — ал жүк сол T-мен тербеледі.

Симуляторда күш пен жылдамдықтың «орын ауыстыратыны» жақсы көрінеді. Шеткі нүктелерде x = ±A: F = kA күші ең үлкен, ал жылдамдық нөлге тең — бүкіл энергия серіппеде жиналған, Eп = kA²/2. Тепе-теңдік қалпында x = 0: күш нөл, бірақ жылдамдық ең үлкен — |v| = Aω — және бүкіл энергия кинетикалық, Eк = mv²/2. Жүк тепе-теңдіктен инерциямен ұшып өтеді, серіппе оны екінші жағынан тежей бастайды — және бәрі қайталанады. Eп + Eк = kA²/2 қосындысы өзгермейді (Eп = kx²/2 — серіппе мен ауырлық күшінің бірге алынған энергиясы, тепе-теңдік қалпынан саналады).

Беттің басты дерегі — изохрондылық: T = 2π√(m/k) периоды амплитудаға тәуелді емес. Жүкті екі есе алыс тарттың — ол екі есе алыс ұшады, бірақ жылдамдығы да екі есе үлкен, ал бір тербеліске кететін уақыт сол. «Салыстыру» режимі мұны тура көрсетеді: A және A/2 амплитудалы екі жүк тепе-теңдікке де, шеткі нүктелерге де бір мезетте жетеді. Масса төрт есе үлкен болса, период екі есе ұзарады, қатаңдық төрт есе үлкен болса — екі есе қысқарады: бұл формуладағы түбір. Бетте қозғалыс сандық интегралдаумен емес, дәл формулалармен есептеледі, сондықтан период кадр жиілігі қандай болса да «жылжып» кете алмайды.

Орта кедергі жасаса (ауа, май, бал), тербеліс өшеді. Өшу дәрежесін ζ = b/(2√(km)) өлшемсіз саны сипаттайды. ζ < 1 кезінде жүк тербеледі, бірақ ауқымы кішірейеді — энергия Q жылуына кетеді. ζ = 1 (критикалық өшу) кезінде жүк тепе-теңдікке ең жылдам оралады және одан асып кетпейді — есік жабушылар мен автокөлік амортизаторлары осылай жұмыс істейді. ζ > 1 кезінде тербеліс мүлде болмайды: жүк тепе-теңдікке баяу жылжиды. Eп + Eк + Q = E₀ балансы кез келген сәтте орындалады.

Салыстыру үшін «Энергияның сақталу заңы: математикалық маятник» симуляторын ашыңыз: онда T = 2π√(l/g) периоды g-ға, ал үлкен бұрыштарда амплитудаға да тәуелді. Серіппелі маятникте олай емес: g та, амплитуда да периодқа әсер етпейді.