Энергияның сақталу заңы: математикалық маятник

Маятникті шеткетіп, жіберіп жібер — «биіктік» энергиясы қозғалыс энергиясына және керісінше қалай айналатынын қара. Қосынды әрдайым бірдей — бұл энергияның сақталу заңы. Кедергіні қос — энергияның қайда кететінін көресің.

Құбылыстың мәні 30 секундта

Көтердік — қорладық

Жүк неғұрлым биік көтерілсе, оның энергия қоры соғұрлым көп. Бұл потенциалдық энергия — «орналасу энергиясы»: Eп = mgh, мұндағы h — ең төменгі нүктеден биіктік.

Жібердік — айналдырдық

Жүк түседі: биіктік азайып, жылдамдық артады. «Биіктік энергиясы» қозғалыс энергиясына — кинетикалық энергияға айналады: Eк = mv²/2. Ең төменгі нүктеде ол ең үлкен болады.

Қосынды өзгермейді

Энергия жоғалмайды да, жоқтан пайда болмайды да — ол тек бір түрден екіншісіне айналады: Eп + Eк = const. Кедергі болса, бір бөлігі Q жылуына кетеді, бірақ жылумен бірге қосынды бұрынғыдай.

Өзің байқап көр

Маятникті іске қос та, оң жақтағы бағананы қара: қызғылт сары және жасыл бөліктер бір-біріне «құйылады», ал бағананың жалпы биіктігі өзгермейді.
«m ×2» батырмасын бас: барлық энергия екі есе өсті, ал төменгі нүктедегі жылдамдық бұрынғыдай қалды. Неге? v = √(2gh) формуласында масса қысқарады.
«h ×2» батырмасын бас — жүк екі есе биік көтерілді. Төмендегі жылдамдық артты, бірақ екі есе емес, √2 ≈ 1,41 есе.
«Ауа» немесе «Су» таңда: қызыл сегмент (Q жылуы) өседі, ал жүк сары h₀ сызығынан барған сайын төмен көтеріледі. Eп + Eк + Q әлі де E₀-ге тең екенін тексер.

Өмірде қайда кездеседі

Селкі: шеткі нүктеде бір сәт тоқтайсың (Eк = 0), төменде ең жылдам ұшасың (Eп = 0). Жоғарырақ тербелу үшін энергия қосу керек — қозғалыспен үйлесіп итеру.
Маятникті сағат: ілмектегі үйкелістен маятник тоқтап қалар еді, сондықтан салмақ немесе серіппе әр тербелісте жоғалған энергияны қосып отырады.
Американдық төбешіктер мен трамплин: төмендегі жылдамдық тек түсу биіктігіне тәуелді, v = √(2gh), массаға тәуелді емес (ауа кедергісін есепке алмағанда).

Графиктер: не және қалай өзгереді

Бірінші график — «потенциалдық шұңқыр»: Eп(θ) қисығы, сары сызық — толық энергия E, жасыл кесінді — Eк. Жүк әрдайым қисықтың үстінде тұрады және ол сары сызыққа тірелген жерде кері бұрылады. Қалған графиктер тікелей салынады; бұрыш графигіндегі сұр үзік сызық — кіші тербелістерге арналған жуықтау: үлкен ауытқуда нағыз маятник одан артта қалады, өйткені период амплитудаға тәуелді.

Потенциалдық шұңқыр: маятник неге кері бұрылады

Энергия уақыт бойынша: Eп мен Eк бір-біріне құйылады, қосынды тегіс

Бұрыш уақыт бойынша θ(t) және кіші тербелістермен салыстыру

Жылдамдық уақыт бойынша v(t): шыңдар төменгі нүктеде

θ₀ жіберу бұрышы 60°

l жіп ұзындығы 2,0 м

m жүк массасы 2,0 кг

Орта

b орта кедергісі 0,00 1/с

Бір басуда тәжірибелер

Көрсету жылдамдығы 1×

Көрсету

ауырлық күші мен жылдамдық

биіктік деңгейлері h және h₀

қозғалыс ізі

биіктік сызғышы

«Жылдамдықты болжа» режимі

Жіп салмақсыз әрі созылмайды, жүк — материалдық нүкте деп алынады. Ортаның кедергісін b коэффициенті (1/с) сипаттайды: ол неғұрлым үлкен болса, маятник энергияны соғұрлым тез жоғалтады. Жоғалған механикалық энергия Q жылуына айналады. Жіберу бұрышы 90°-тан аспайды: көлденеңнен жоғары жіп босап кетер еді.

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Жүктің ең төменгі нүктеден биіктігі

$$h = l\,(1-\cos\theta)$$

Биіктік доғаның ең төменгі нүктесінен саналады: онда h = 0 және Eп = 0.

▶ Толық түсіндірме

Ұзындығы l жіп тік сызықтан θ бұрышқа ауытқыған. Ең төменгі нүкте ілмектен l қашықтықта төменде жатыр, ал жүктің өзі l·cosθ қашықтықта. Демек, жүк ең төменгі нүктеден h = l − l·cosθ = l(1 − cosθ) биіктікке көтерілген.

Мысал: l = 2 м, θ₀ = 60°. cos 60° = 0,5, сондықтан h₀ = 2·(1 − 0,5) = 1,00 м. Шеткі жағдайлар: θ = 0 болғанда h = 0 (төменгі нүкте); θ = 90° (жіп көлденең) болғанда h = l — жүк бұдан жоғары көтеріле алмайды, сондықтан симуляторда шек 90°.

Маятник үшін энергияның сақталу заңы

$$E_{\text{п}} + E_{\text{к}} = mgh + \frac{mv^2}{2} = E_0 = \text{const}$$

Кедергі болмаса, потенциалдық және кинетикалық энергияның қосындысы доғаның кез келген нүктесінде бірдей.

▶ Толық түсіндірме

Eп = mgh — биіктік энергиясы, Eк = mv²/2 — қозғалыс энергиясы. Жіптің керілуі жұмыс істемейді (ол әрдайым жылдамдыққа перпендикуляр), ал ауырлық күші «қайтарушы»: жүк биіктікте жоғалтқанын жылдамдықта алады. Сондықтан әр нүктеде Eп + Eк = E₀ = mgh₀, мұндағы h₀ — жүк жіберілген биіктік.

Мысал: m = 2 кг, h₀ = 1,00 м ⇒ E₀ = 2·9,8·1,00 = 19,6 Дж. h = 0,40 м биіктікте: Eп = 2·9,8·0,40 = 7,84 Дж, демек Eк = 19,6 − 7,84 = 11,76 Дж, ал жылдамдық v = √(2Eк/m) = √11,76 ≈ 3,43 м/с.

Төменгі нүктедегі жылдамдық

$$v = \sqrt{2gh_0} = \sqrt{2gl\,(1-\cos\theta_0)}$$

mgh₀ = mv²/2 теңдігінен: масса қысқарады, жылдамдық тек жіберілген биіктікке тәуелді.

▶ Толық түсіндірме

Төменгі нүктеде бүкіл энергия кинетикалық: mgh₀ = mv²/2. m-ді қысқартсақ, v = √(2gh₀) шығады. Бірдей биіктіктен жіберілген ауыр және жеңіл маятниктер төменнен бірдей жылдамдықпен өтеді.

Мысал: l = 2 м, θ₀ = 60° ⇒ h₀ = 1,00 м, v = √(2·9,8·1,00) = 4,43 м/с. Жүкті екі есе биік көтерсек (h₀ = 2 м; ол үшін l = 2 м және θ₀ = 90° керек), жылдамдық тек √2 ≈ 1,41 есе артады — 6,26 м/с-қа дейін. Жылдамдық биіктіктен баяу өседі. Шеткі жағдай θ₀ = 90°: v = √(2gl).

Кедергі кезіндегі энергия: қалғаны қайда кетеді

$$E_{\text{п}} + E_{\text{к}} + Q = E_0,\qquad Q = E_0 - (E_{\text{п}} + E_{\text{к}})$$

Кедергі механикалық энергияның бір бөлігін жылуға айналдырады, бірақ жылумен бірге толық энергия өзгермейді.

▶ Толық түсіндірме

Ауа кедергісі мен ілмектегі үйкелістен әр тербеліс алдыңғысынан сәл төмен болады. Механикалық энергия Eп + Eк кемиді, бірақ жоғалмайды: ол Q жылуына айналады (ауа мен ілмек қызады). Симуляторда Q қозғалыс теңдеулерінен кедергі күшінің жұмысы ретінде есептеледі — бұл бағананың қызыл сегменті.

Мысал: E₀ = 19,6 Дж. Бірнеше тербелістен кейін Eп + Eк = 14,2 Дж — демек, Q = 19,6 − 14,2 = 5,4 Дж жылуға кетті. Маятник тоқтағанда Q = E₀ = 19,6 Дж, ал E₀ − Eп − Eк − Q балансы нөлге тең болып қалады.

Маятник периоды және ауытқу

$$T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}},\qquad T \approx T_0\left(1+\frac{\theta_0^{2}}{16}\right)$$

Период жіптің ұзындығына, ал үлкен ауытқуда бұрышқа да аздап тәуелді (θ₀ радианмен).

▶ Толық түсіндірме

T₀ = 2π√(l/g) — кіші бұрыштардағы период: ол массаға да, ауытқуға да тәуелді емес. Бірақ нағыз маятник сызықты емес (бұрыштық үдеу θ-ға емес, sin θ-ға пропорционал), сондықтан үлкен ауытқуда тербеліс сәл баяу. Түзету: T ≈ T₀(1 + θ₀²/16), мұндағы θ₀ — радианмен.

Мысал: l = 2 м ⇒ T₀ = 2π√(2/9,8) ≈ 2,84 с. θ₀ = 60° (1,047 рад) кезінде дәл период 3,05 с — 7 % ұзағырақ; θ₀ = 90° кезінде 3,35 с, 18 % ұзағырақ. Бұрыш графигіндегі сұр үзік сызық — T₀ периодымен тербеліс: үлкен ауытқуда нағыз қисық одан артта қалады.

Мұнда не болып жатыр. Математикалық маятник — жіңішке, созылмайтын жіпке ілінген жүк. Жүкті тік сызықтан шеткетіп көтергенде, ол доғаның ең төменгі нүктесінен h биіктікке көтеріледі, ал біз оған орналасу энергиясын — потенциалдық энергияны «жинаймыз»: Eп = mgh. Жүкті итермей жіберсек, сол сәтте бүкіл энергия потенциалдық, ал жылдамдық нөлге тең.

Айналу және сақталу. Жүк төмен түседі: биіктік азаяды, жылдамдық артады, ал потенциалдық энергия кинетикалық энергияға айналады: Eк = mv²/2. Ең төменгі нүктеде h = 0, Eп = 0, бүкіл энергия кинетикалық — сондықтан жылдамдық мұнда ең үлкен: v = √(2gh₀). Одан әрі жүк инерциямен қарсы жаққа көтеріледі — қайтадан h₀ биіктікке дейін, және бәрі қайталанады. Кедергі болмаса, кез келген нүктеде Eп + Eк қосындысы бірдей: бұл — механикалық энергияның сақталу заңы. Мысал: m = 2 кг, l = 2 м, θ₀ = 60° ⇒ h₀ = 1,00 м, E₀ = 19,6 Дж, төмендегі жылдамдық v = 4,43 м/с — және ол массаға тәуелді емес.

Кедергі және жылу. «Ауа» немесе «Су» ортасын қос: ауа кедергісі мен ілмектегі үйкеліс салдарынан әр тербеліс алдыңғысынан сәл төмен болады. Механикалық энергия Eп + Eк кемиді, бірақ жоғалмайды — ол Q жылуына айналады (бағанадағы қызыл сегмент). Жылуды қоса есептегенде қосынды бұрынғыдай: Eп + Eк + Q = E₀.

Неге 90°-тан артық емес және период қайда? Жүкті көлденеңнен жоғары жіберсек, жіп босап кетер еді (оның керілуі T = mg·cosθ теріс болар еді), сондықтан жіберу бұрышы 90°-пен шектелген. Маятник теңдеуі сызықты емес: бұрыштық үдеу θ-ға емес, sin θ-ға пропорционал. Кіші бұрыштарда период T₀ = 2π√(l/g) массаға да, ауытқуға да тәуелді емес; үлкен ауытқуда маятник сәл баяу тербеледі (60° кезінде период 7 %, 90° кезінде 18 % ұзағырақ) — бұл бұрыш графигіндегі сұр үзік сызықтан көрінеді. Тренажёр жуықтауды емес, нақты сызықты емес қозғалысты есептейді.

«Серіппелі маятник: гармоникалық тербелістер» және «Энергияның сақталу заңы: төбешік» симуляторларымен салыстыр: серіппелі маятниктің периоды амплитудаға қатаң түрде тәуелді емес, ал төбешікте жүк кез келген рельеф бойымен сырғиды — бірақ энергияның сақталу заңы дәл солай жұмыс істейді.