Көлбеу жазықтық және үйкеліс

Жер текшені беткей бойымен төмен тартады, ал үйкеліс оны ұстап тұрады. α бұрышын және бетінің «өрескелдігін» μ өзгертіп, үйкеліс қай сәтте жеңіліп, текше сырғана бастайтынын көр. Сызбада бәрі көрінеді: күштер, олардың құраушылары, шектік бұрыш және сандар.

30 секундта түсіну

Жер төмен тартады — беткей бұл күшті «бөледі»

Ауырлық күші mg тура төмен бағытталған. Беткейде оны екі бөлікке жіктеген ыңғайлы: mg·sinα текшені беткей бойымен төмен тартады, ал mg·cosα оны беткейге қысады. Беткей тік болған сайын бірінші бөлік артып, екіншісі кемиді.

Үйкеліс дәл керегінше жауап береді

Текше тұрғанда тыныштық үйкелісі тартатын күшке тең: Fү = mg·sinα — шкафты тартсаң да, ол қозғалмайтыны сияқты. Бірақ үйкелістің шегі бар: μN = μ·mg·cosα. Бет өрескел және дене қатты қысылған сайын, шек жоғары болады.

Табалдырық: tg α = μ — масса мұнда түкке тұрмайды

Текше mg·sinα мәні μ·mg·cosα мәнінен артқанда, яғни tg α > μ болғанда сырғанайды. Масса m екі бөлікте де бар және қысқарып кетеді: жеңіл және ауыр текшелер бірдей бұрышта қозғалып, бірдей a = g(sinα − μ·cosα) үдеумен жүреді.

Өзің байқап көр

«Ағаш» бетін таңда (μ = 0,40) да, беткейдің төбесін баяу жоғары тарт. Текше α ≈ 21,8° кезінде қозғалады — бұл α_шек = arctg μ. Сары үзік сызықпен салыстырып көр.
«m ×2» батырмасын бас: N, mg·sinα және Fү күштері екі есе өседі, ал табалдырық пен үдеу өзгермейді. Масса қысқарып кетті!
«Мұзды» таңда (μ = 0,05): беткей әлі көлбеу емес, ал текше қазірдің өзінде сырғанайды. «Резеңкені» таңда (μ = 0,80): текше тек α > 38,7° болғанда қозғалады.
Кіші бұрышта, α < α_шек кезінде, түрткі v₀ бер: текше аздап жүріп тоқтайды — сырғанау үйкелісі тежейді. Ал α шамасы α_шек-тен сәл ғана кіші болса, ол соншалықты баяу тежеледі, тұрақты жылдамдықпен жүріп келе жатқандай көрінеді.

Күнделікті өмірде

Көктайғақ: мұздың μ-і аз (≈ 0,05…0,1), сондықтан көлік немесе жаяу адам небәрі 3–6° еңісте-ақ сырғанап кетеді, ал құрғақ асфальтта (μ ≈ 0,7) 35° дейінгі еңісте тұруға болады.
Табиғи құламалық бұрышы: құрғақ құм α = arctg μ бұрышынан тік жата алмайды. Сондықтан құм, қиыршық тас және астық үйінділері табанындағы бұрышы бірдей конус пішінді болады.
Шаңғышылар μ-ді азайтып, жылдамырақ жүру үшін шаңғыны майлайды, ал жүргізушілер μ-ді арттырып, сырғанап кетпеу үшін қыста шипті шина киеді.

Графиктер: не және қалай өзгереді

Жоғарғы екі график күштер мен үдеудің α бұрышына тәуелділігін көрсетеді. Төменгі екеуі түсу кезінде «тікелей» сызылады, ал сұр үзік сызық — басынан бастап формула бойынша есептеу: симулятор нүктелері дәл соның үстіне түседі.

Күштер мен бұрыш: тартатын күш үйкеліс шегінен қай жерде асып түседі

Үдеу мен бұрыш: α_шек-ке дейін нөл, одан кейін өседі

Жылдамдықтың уақытқа тәуелділігі v(t)

Жолдың уақытқа тәуелділігі s(t)

α көлбеу бұрышы 30°

Беткейдің беті

μ үйкеліс коэффициенті 0,30

m текше массасы 2,0 кг

v₀ төмен қарай түрткі 0,0 м/с

Бір басумен байқап көр

Көрсету жылдамдығы

Көрсету

mg құраушылары (үзік сызық) және текшедегі α бұрышы

табалдырық α_шек — сары «елес» беткей

жол сызғышы (0…4 м)

Зертхана: белгісіз беттің μ-ін тап

Қарапайымдылық үшін тыныштық және сырғанау үйкеліс коэффициенттерін тең деп аламыз — мектеп есептерінде солай. Масса α_шек табалдырығына да, үдеуге де әсер етпейді.

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Ауырлық күшін құраушыларға жіктеу

$$mg\sin\alpha,\quad mg\cos\alpha$$

Беткейдегі ауырлық күші: mg·sinα беткей бойымен төмен тартады, mg·cosα денені беткейге қысады

▶ Толық түсіндірме

Ауырлық күші mg тік төмен бағытталған, ал беткейде оны сол қалпында пайдалану ыңғайсыз — өйткені беткей өзінің бойымен және оған көлденең «жұмыс істейді». Сондықтан оны екі перпендикуляр құраушыға жіктейді: беткей бойымен mg·sinα (ол денені төмен «домалатады») және беткейге көлденең mg·cosα (ол денені беткейге қысады, тірек реакциясы N осыдан туады). mg пен mg·cosα құраушысының арасындағы бұрыш көлбеу бұрышы α-ға тең — ол сызбада текшенің жанында белгіленген. Екі құраушы қайтадан mg-ға қосылады: үзік көрсеткілер мен сұр көрсеткі тіктөртбұрыш құрайды. Мысал: m = 2 кг, α = 30°, g = 9,8 м/с² → mg = 19,6 Н, mg·sin30° = 9,8 Н, mg·cos30° ≈ 17,0 Н. Шеткі жағдайлар: α = 0 (еден) кезінде ауырлық күшінің бәрі қысады, sin 0 = 0; α = 90° (қабырға) кезінде бәрі бойымен тартады, cos 90° = 0.

Тірек реакциясы

$$N = mg\cos\alpha$$

Беткейдегі тірек реакциясы ауырлық күшінің қысатын құраушысына тең

▶ Толық түсіндірме

Беткей денеге ішке құлап кетуге жол бермейді, сондықтан оның реакциясы N бет бетіне перпендикуляр бағытталған. Нормаль бойымен дене үдемейді (батпайды да, көтерілмейді де), яғни осы ось бойындағы күштер теңгерілген: N = mg·cosα. Бұрыш өскен сайын cosα кемиді: α = 60° кезінде N = 0,5·mg, ал тік қабырғада (α = 90°) N = 0 — дене тірекке тимейді. Мысал: m = 2 кг, α = 30° → N = 19,6·0,866 ≈ 17,0 Н. Дәл осы күш үйкеліс шегін анықтайды: Fү ≤ μN. Сондықтан тік беткейде үйкеліс жатық беткейге қарағанда әлсіз, бірақ беттің μ-і сол күйінде.

Үйкеліс күші: бейімделеді, бірақ шектен аспайды

$$F_{\text{ү}} \le \mu N,\qquad F_{\text{ү}}^{\max} = \mu mg\cos\alpha$$

Тыныштық үйкелісі тартатын күшке бейімделеді, бірақ μN шегінен аса алмайды

▶ Толық түсіндірме

Дене тұрғанда тыныштық үйкелісі оны ұстап тұруға керекті шамаға дәл тең: Fү = mg·sinα. Бұл «тұрақты» күш емес — ол тартатын күшпен бірге өседі. Бірақ оның шегі бар: Fү.max = μN = μ·mg·cosα: бет өрескел (μ үлкен) және дене қатты қысылған (N үлкен) болған сайын, шек жоғары. Дене сырғанағанда, сырғанау үйкелісі осы шекке тең: Fү = μN. Мысал: m = 2 кг, α = 30°, μ = 0,3 → mg·sinα = 9,8 Н, шек μN = 0,3·17,0 ≈ 5,1 Н. Тартатын күш шектен артық — дене сырғанайды, үйкеліс 5,1 Н. μ = 0,8 болса, шек 13,6 Н, ол 9,8 Н-нан артық, дене тұр, үйкеліс 9,8 Н.

Сырғанау шарты және шектік бұрыш

$$\operatorname{tg}\alpha > \mu \iff \alpha > \alpha_{\text{шек}} = \operatorname{arctg}\mu$$

tg α μ-ден артқанда дене сырғанайды; шектік бұрыш тек үйкеліс коэффициентіне байланысты

▶ Толық түсіндірме

Тартатын күш үйкеліс шегінен асқанда дене сырғана бастайды: mg·sinα > μ·mg·cosα. Екі жағын да mg·cosα-ға бөлеміз — tg α > μ шығады. Масса мен g қысқарып кетті, сондықтан шектік бұрыш тек бетке байланысты: α_шек = arctg μ. Мысалдар: мұз, μ = 0,05 → α_шек ≈ 2,9°; ағаш ағашта, μ = 0,4 → α_шек ≈ 21,8°; құрғақ асфальттағы резеңке, μ = 0,8 → α_шек ≈ 38,7°. Бұл μ-ді өлшеу тәсілі де: дене қозғалғанша бұрышты баяу үлкейт — сонда μ = tg α_шек. tg α = μ болғанда дене «шетінде»: ол тұр, бірақ бұрышты сәл қосу оны үзіп жібереді; егер ол қазірдің өзінде қозғалып келе жатса, tg α = μ кезінде тұрақты жылдамдықпен жүреді.

Сырғанау кезіндегі үдеу — массасыз

$$a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$$

Беткей бойындағы үдеу: масса қысқарып кетеді және a-ға әсер етпейді

▶ Толық түсіндірме

Ньютонның екінші заңы беткей бойымен: ma = mg·sinα − μN = mg·sinα − μ·mg·cosα. m-ді қысқартсақ, a = g(sinα − μ·cosα) шығады. Сондықтан 2 кг және 10 кг білеуше бірдей сырғанайды. μ = 0 (мүлде тегіс) болғанда a = g·sinα, ал тік қабырғада (α = 90°) a = g — еркін түсу. Мысал: α = 30°, μ = 0,3 → a = 9,8·(0,5 − 0,3·0,866) ≈ 2,35 м/с². Жақшадағы өрнек теріс болса, a < 0: дене қозғалып келеді, бірақ үйкеліс тартатын күштен күшті — ол тежеледі (тоқтағанда сырғанау үйкелісі тыныштық үйкелісіне ауысады, a нөл болады). Өрнек тек сырғанап келе жатқан денеге қолданылады: тұрған дененің a = 0.

Түсу уақыты және жолдың соңындағы жылдамдық

$$t = \sqrt{\frac{2L}{a}},\qquad v = \sqrt{2aL}$$

Тыныштықтан тұрақты үдеумен: L жолдан кейінгі уақыт пен жылдамдық

▶ Толық түсіндірме

Үдеу тұрақты, сондықтан тыныштықтан s = at²/2 және v = at. Бірінші формуладан t-ны өрнектеп (s = L болғанда t = √(2L/a)), v = at = √(2aL) аламыз. Симулятор болжамын («Өлшеулер» беті) осы формулалармен есептейді — s(t) және v(t) графиктеріндегі нүктелер сұр үзік сызықтың дәл үстіне түседі. Мысал: L = 4 м, a = 2,35 м/с² → t = √(8/2,35) ≈ 1,84 с, v = √(2·2,35·4) ≈ 4,34 м/с. Бастапқы жылдамдық v₀ болса, уақыт at²/2 + v₀t = L теңдеуінен табылады, ал жылдамдық v = √(v₀² + 2aL). Бұл формулаларда масса жоқ: ауыр текше мәреге жеңілмен бір мезгілде жетеді.

Тежелу: дене қозғалып келеді, бірақ үйкеліс күштірек

$$a = -g(\mu\cos\alpha - \sin\alpha) < 0,\qquad s = \frac{v_0^2}{2|a|}$$

tg α < μ және бастапқы жылдамдық v₀ болғанда дене тежеледі де, s = v₀²/(2|a|) жолда тоқтайды

▶ Толық түсіндірме

Егер tg α < μ болса, тартатын күш үйкеліс шегінен аз. Тұрған дене тұра береді, бірақ оны итеріп жіберсең, оған сырғанау үйкелісі μN әсер етеді және ол тартатын күштен артық. Тең әсерлі күш қозғалысқа қарсы бағытталған: a = g(sinα − μ·cosα) < 0. Жылдамдық v = v₀ − |a|·t заңымен кемиді, дене t = v₀/|a| уақыттан кейін тоқтайды және s = v₀²/(2|a|) жол жүреді. Мысал: α = 10°, μ = 0,3, v₀ = 3 м/с → a = 9,8·(0,174 − 0,3·0,985) ≈ −1,19 м/с², t ≈ 2,51 с, s ≈ 3,77 м. Тежелу жолы беткей ұзындығынан (симуляторда 4 м) артық болса, текше соңына жетіп үлгереді. Жатық беткейде тоқтағаннан кейін сырғанау үйкелісі тыныштық үйкелісіне ауысады: Fү = mg·sinα, a = 0.

Энергия: ауырлық күшінің жұмысы қайда кетеді

$$mg\,s\sin\alpha = \frac{mv^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} + \mu mg\cos\alpha\cdot s$$

Ауырлық күшінің жұмысы = кинетикалық энергия өсімі + үйкелістен бөлінген жылу

▶ Толық түсіндірме

Ауырлық күші A = mg·sinα·s жұмыс істейді (mg·cosα құраушысы жұмыс істемейді — ол орын ауыстыруға перпендикуляр). Бұл жұмыс екі іске жұмсалады: денені үдетеді (кинетикалық энергия өсімі ΔEк = mv²/2 − mv₀²/2) және бетті қыздырады — бұл үйкеліс күшінің жұмысы, Q = μN·s = μ·mg·cosα·s. Симуляторда үш сан бір-біріне тәуелсіз жиналады («Өлшеулер» беті), ал «жұмыс − Eк − Q» балансы нөлге тең. Мысал: m = 2 кг, α = 30°, μ = 0,3, жол 4 м → A = 39,2 Дж, Q ≈ 20,4 Дж, Eк ≈ 18,8 Дж. Назар аудар: жылу жартысынан көп болды — үйкеліс энергияның едәуір бөлігін «жеп қойды». Масса үш қосылғыштың бәрінде бірдей кіреді, сондықтан үдеу оған тәуелді емес.

Мұнда не болып жатыр. Текше беткейде жатыр. Жер оны ауырлық күшімен mg төмен тартады — ол әрдайым тік төмен бағытталған. Беткей екі күшпен жауап береді: тірек реакциясы N (беткейге перпендикуляр — беткей текшенің «құлап кетуіне» жол бермейді) және үйкеліс күші Fү (беткей бойымен — ол сырғанауға кедергі жасайды). Қайсысы жеңетінін түсіну үшін ауырлық күшін екі бөлікке жіктейді: беткей бойымен mg·sinα (ол текшені төмен тартады) және оған көлденең mg·cosα (ол текшені беткейге қысады). Сызбада бұл бөліктер үзік сызықпен салынған, mg-мен бірге олар тіктөртбұрыш құрайды.

Үйкеліс «бейімделеді» — бірақ белгілі шекке дейін. Текше тұрғанда тыныштық үйкелісі тартатын күшті теңестіреді: Fү = mg·sinα. Беткей тіктеген сайын үйкеліс те артады — оны қызғылт сары көрсеткіден және «Кім күшті» жолақтарынан көресің. Бірақ тыныштық үйкелісінің шегі бар: Fү ≤ μN = μ·mg·cosα. mg·sinα осы шектен асып кеткенде, үйкеліс үлгермейді — текше үзіліп, сырғанай бастайды. Енді оған μN-ге тең сырғанау үйкеліс күші әсер етеді (мектеп есептерінде тыныштық және сырғанау үйкеліс коэффициенттерін тең деп алады).

Табалдырық және үдеу. Сырғанау басталу шарты: mg·sinα > μ·mg·cosα, яғни tg α > μ. Бұл болатын бұрышты шектік бұрыш дейді: α_шек = arctg μ (μ = 0,3 болғанда ол 16,7°, μ = 0,8 болғанда — 38,7°). Текше сырғанаса, оның үдеуі a = g(sinα − μ·cosα). Формулада масса жоқ: ол қысқарып кетті, сондықтан жеңіл және ауыр текшелер бірдей бұрышта қозғалады да, бірдей жүреді. Масса тек күштерді (N, Fү) және энергияны өзгертеді — «Өлшеулер» бетін қара.

Тағы нені көруге болады. α_шек-тен кіші бұрышта текшеге төмен қарай v₀ түрткі бер — ол аздап жүріп тоқтайды: сырғанау үйкелісі тартатын күштен күшті, үдеу теріс. Тежелу жолы s = v₀²/(2|a|) формуламен есептеледі және симуляциямен сәйкес келеді. Сары «елес беткей» α_шек табалдырығын көрсетеді. «Зертхана» режимінде бет жасырын, μ-ді өзің табуың керек — текше қозғалған бұрыштан: μ = tg α_шек. Үйкеліс коэффициентін іс жүзінде осылай өлшейді.

Есептеу қалай жасалған. Әр бөлікте үдеу тұрақты, сондықтан симулятор s = v₀t + at²/2 және v = v₀ + at дәл формулаларын қолданады, ал оқиғалар сәтін — тоқтауды және беткей шетіне жетуді — «ең жақын кадр» бойынша емес, теңдеуді шешіп табады. Экрандағы сандар кадр жиілігі мен көрсету жылдамдығына тәуелсіз және формулаларға сәйкес: тыныштықтан түсу уақыты t = √(2L/a), соңғы жылдамдық v = √(2aL).