Екі дененің серпімді соқтығысуы

Екі шар рельспен домалап келіп соқтығысады. Массалары мен жылдамдықтарын (таңба — бағыт) бер де, соққы кезінде не болатынын көр: шарлар импульспен қалай алмасады, энергия бір сәтке олардың сығылуында қалай жасырынады және толық импульс пен толық энергия неге өзгермейді.

30 секундта түсіну

Соққы — импульс алмасу

Шарлар жанасып тұрғанда бір-бірін шамасы бірдей, бірақ қарама-қарсы күшпен қысады (Ньютонның үшінші заңы). Бір шар қанша импульс жоғалтса, екіншісі сонша алады — сондықтан толық импульс өзгермейді.

Энергия жоғалмайды

Серпімді соққыда шарлар бір сәтке екі серіппедей сығылады: қозғалыс энергиясы сығылуда жасырынады да, сосын түгел қайтып оралады. Сондықтан соққыға дейінгі және кейінгі толық кинетикалық энергия бірдей. (Пластилин шарлар жабысып қалар еді, ал энергияның бір бөлігі жылуға кетер еді — бұл серпімсіз соққы.)

Жақындау = алыстау

Шарлар қандай жылдамдықпен жақындаса, дәл сондай жылдамдықпен алыстайды. Бұл ереже импульстің сақталу заңымен бірге соққыдан кейінгі жылдамдықтарды қиын есептеусіз береді.

Өзің байқап көр

«Массалар тең» батырмасын бас: шарлар жылдамдықтарымен жай ғана алмасады — жүгіріп келе жатқаны тоқтайды, тұрғаны оның жылдамдығымен кетеді.
«Жеңіл → ауыр» батырмасын бас: жеңіл шар кері серпіледі, ал ауыры әрең қозғалады — қабырғаға соғылған доп сияқты.
«Ауыр → жеңіл» батырмасын бас: жеңіл шар ауырдан жылдам алға ұшады — шамамен екі есе.
«Масса центрінен қарау» параметрін қос: бұл санақ жүйесінде шарлар жылдамдықтарын жай ғана қарсы бағытқа бұрады — сурет симметриялы болады.

Күнделікті өмірде

Бильярд және боулинг: шардың шарға соққысы дерлік серпімді — сондықтан жылдамдықпен алмасу да, серпілу де жұмыс істейді.
Газ молекулалары дерлік серпімді соқтығысады — молекулалық-кинетикалық теория мен газ қысымының түсіндірмесі осыған негізделген.
Ядролық реакторлар: нейтрондарды жеңіл ядролармен (су, графит) серпімді соққылар арқылы баяулатады — массалар жақын болған сайын баяулау күшті.

m₁ масса 1,0 кг

v₁ жылдамдық +2,0 м/с

m₂ масса 1,0 кг

v₂ жылдамдық −1,0 м/с

Жылдамдықтың таңбасы — бағыт: плюс — оңға, минус — солға. Шардың жылдамдығын сахнада да өзгертуге болады: «Басына» батырмасын басып, жебедегі шеңберден тарт.

Бір басумен байқап көр

Көрсету жылдамдығы

Тәжірибе шарттары

Қабырғалар: шарлар шетінен серпіледі

Масса центрінен қарау

Көрсету

Жылдамдық жебелері

Стробоскоп: тең уақыт аралығындағы іздер

Масса центрі

Соққы күштері

Соққы сәтін баяулату (тек көрсету)

Өзіңді тексер: соққыдан кейінгі жылдамдықты тап

Шарлар мінсіз серпімді, үйкеліс жоқ. Көрсетуді баяулатуға немесе жылдамдатуға болады — сандар өзгермейді. Нақты соққы секундтың үлесіне ғана созылады: «киноде» сығылуды көру үшін ол ұзартылған.

Графиктер: не және қалай өзгереді

Әр шардың жылдамдығы соққы кезінде өзгереді, ал толық импульс пен энергия — алтын сызықтар — тегіс жүреді. Энергия графигіндегі жасыл аймақ — бір сәтке шарлардың сығылуында «жасырынған» энергия.

Шарлардың жылдамдықтары: тек соққы кезінде өзгереді

Импульс: әр шарда өзгереді, қосындысы өзгермейді

Энергия: қозғалыс + сығылу, қосындысы тұрақты

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Импульстің сақталу заңы

$$m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2'$$

Екі шардың соққыға дейінгі толық импульсы соққыдан кейінгі толық импульсқа тең

▶ Толық түсіндірме

Импульс — векторлық шама: p = mv (бір өлшемді есепте бағытты таңба береді). Соққы кезінде шарлар бір-бірін бірдей уақыт бойы шамасы тең, бағыты қарама-қарсы күштермен қысады (Ньютонның үшінші заңы), сондықтан бір шар жоғалтқан импульсті екіншісі алады да, қосынды өзгермейді. Бұл кез келген масса мен жылдамдық үшін, тіпті серпімсіз соққы үшін де дұрыс. Симуляторда бұл — алтын сызық: сахна астындағы «p» өлшегіште және импульс графигінде ол жақындау кезінде де, соққы кезінде де, одан кейін де қозғалмайды (шар қабырғаға соғылғанға дейін — қабырға сыртқы импульс қосады).

Кинетикалық энергияның сақталуы

$$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{m_1v_1'^2}{2} + \frac{m_2v_2'^2}{2}$$

Серпімді соққыда шарлардың кинетикалық энергияларының қосындысы соққыға дейін де, кейін де бірдей

▶ Толық түсіндірме

Серпімді соққыны серпімсіз соққыдан ажырататын дәл осы: серпімсіз соққыда энергияның бір бөлігі жылу мен деформацияға кетеді де, E азаяды. Серпімді соққыда энергия жоғалмайды, тек бір сәтке түрін өзгертеді: шарлар серіппедей сығылады, кинетикалық энергия сығылу энергиясына айналады да, сосын қайтып оралады. Симуляторда толық энергия E = E₁ + E₂ + E_сығ (сахна астындағы «E» өлшегіш) кез келген сәтте тұрақты, ал кинетикалық энергия E₁ + E₂ тек соққы кезінде төмендеп, қайтадан бұрынғы мәніне көтеріледі.

Серпімді соққыдан кейінгі жылдамдықтар

$$\begin{aligned} v_1' &= \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2v_2}{m_1 + m_2} \\ v_2' &= \frac{(m_2 - m_1)v_2 + 2m_1v_1}{m_1 + m_2} \end{aligned}$$

Орталық серпімді соққыдан кейін екі шардың жылдамдықтары

▶ Толық түсіндірме

Формулалар екі шарттан шығады: импульстің сақталу заңы және кинетикалық энергияның сақталу заңы. Жылдамдықтың таңбасы бағытты көрсетеді: плюс — оңға, минус — солға. Симуляторда бұл мәндер алдын ала көрінеді — сахна астындағы жолда және «дейін мен кейін» кестесінде («формула бойынша» бағаны), ал соққыдан кейін кесте симуляцияда шыққан мәнді көрсетеді: сандар сәйкес келеді. m₁ = m₂ қойсаң, v₁′ = v₂, v₂′ = v₁ шығады (жылдамдықтармен алмасу).

Жақындау жылдамдығы алыстау жылдамдығына тең

$$v_2' - v_1' = -(v_2 - v_1), \qquad e = \frac{v_2' - v_1'}{v_1 - v_2} = 1$$

Серпімді соққыда шарлардың салыстырмалы жылдамдығы таңбасын өзгертеді, бірақ модулін өзгертпейді

▶ Толық түсіндірме

Қалпына келу коэффициенті e — алыстау жылдамдығының жақындау жылдамдығына қатынасы. Серпімді соққыда e = 1: шарлар қандай жылдамдықпен жақындаса, дәл сондай жылдамдықпен алыстайды. Серпімсіз соққыда 0 ≤ e < 1, ал e = 0 болғанда шарлар жабысады. Бұл ереже импульстің сақталу заңымен бірге v₁′ және v₂′ үшін дәл сол формулаларды квадраттамай-ақ береді — кейде осылай есептеу тезірек. «Дейін мен кейін» кестесінде бұл — «жақындау → алыстау жылдамдығы» жолы.

Масса центрі: жылдамдық «шағылады»

$$v_c = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}, \qquad v_1' = 2v_c - v_1, \quad v_2' = 2v_c - v_2$$

Масса центрінің жылдамдығы соққыда өзгермейді, ал әр шардың жылдамдығы осыған қатысты «шағылады»

▶ Толық түсіндірме

Екі шардың масса центрі бірқалыпты қозғалады да, соққыны «байқамайды» — бұл сахнадағы көгілдір белгі (қабырғалар жоқ кезде). Онымен бірге қозғалатын жүйеден қарасақ («Масса центрінен қарау»), толық импульс нөлге тең, шарлар модулі бірдей импульспен жақындайды, ал соққыдан кейін әрқайсысы жылдамдығын жай ғана қарсы бағытқа бұрады: u′ = −u. Әдеттегі жүйеге оралсақ, v′ = 2v_ц − v шығады. Бұл — серпімді соққыдан кейінгі жылдамдықтарды табудың ең қысқа жолы.

Дербес жағдай: бір шар тыныш тұр

$$v_2 = 0: \qquad v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_1, \qquad v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\,v_1$$

Егер 2-шар тұрған болса, соққыдан кейін 1-шардың жылдамдығы (m₁ − m₂)/(m₁ + m₂)·v₁, ал 2-шардікі 2m₁/(m₁ + m₂)·v₁

▶ Толық түсіндірме

Үш маңызды жағдай. Массалар тең (m₁ = m₂): v₁′ = 0, v₂′ = v₁ — соғылған шар тоқтайды, тұрған шар оның жылдамдығымен кетеді. Жеңіл шар ауырға (m₁ ≪ m₂): v₁′ ≈ −v₁, v₂′ ≈ 0 — жеңіл шар шамамен сол жылдамдықпен кері серпіледі, қабырғаға соғылған доп сияқты. Ауыр шар жеңілге (m₁ ≫ m₂): v₁′ ≈ v₁, v₂′ ≈ 2v₁ — ауыры дерлік баяулай қоймайды, ал жеңілі алға шамамен екі есе жылдам ұшады. Үшеуін де «Бір басумен байқап көр» түймелерімен байқап көр.

Мұнда не болып жатыр. Екі шар тегіс рельспен домалап келіп соқтығысады. «Серпімді» дегеніміз — шарлар жабыспайды және энергияны жылуға жоғалтпайды: соққыдан кейін олар толық импульс p = m₁v₁ + m₂v₂ де, толық кинетикалық энергия E = ½m₁v₁² + ½m₂v₂² де соққыға дейінгідей болып қалатындай болып ұшып кетеді. Жылдамдық таңбамен берілген: плюс — оңға, минус — солға қозғалыс, сондықтан бөлек бұрыш қажет емес.

Соққы кезінде не болады. Шарлар жанасып тұрғанда бір-бірін шамасы бірдей, бағыты қарама-қарсы күштермен қысады (Ньютонның үшінші заңы). Сондықтан бір шар қанша импульс жоғалтса, екіншісі сонша алады. Шарлар қысқа уақытқа екі серіппедей сығылады: қозғалыс энергиясы сығылуда «жасырынады» (энергия жолағының жасыл бөлігі), сосын түгелдей қайтып оралады. Нақты соққы секундтың үлесіне ғана созылады; симуляторда сығылуды көру үшін соққы айналасында көрсету баяулайды («кино»), бұл сандар мен формулаларға әсер етпейді.

Соққыдан кейінгі жылдамдықтарды қалай табуға болады. Екі сақталу заңынан v₁′ = ((m₁ − m₂)v₁ + 2m₂v₂)/(m₁ + m₂) және v₂′ = ((m₂ − m₁)v₂ + 2m₁v₁)/(m₁ + m₂) формулалары шығады. Қысқа жол да бар: масса центрінің жылдамдығын тап v_ц = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂) — соққыдан кейін әр жылдамдық осыған қатысты «айналады»: v′ = 2v_ц − v. Тағы бір пайдалы ереже: жақындау жылдамдығы алыстау жылдамдығына тең, v₂′ − v₁′ = −(v₂ − v₁).

Дербес жағдайлар. Массалар тең: шарлар жылдамдықтарымен жай ғана алмасады (бильярд шарлары сияқты). Жеңіл шар ауыр шарға соғылады: ол шамамен сол жылдамдықпен кері серпіледі, ал ауыры әрең қозғалады (қабырғаға соғылған доп сияқты). Ауыр шар жеңіл шарға соғылады: ауыры дерлік баяулай қоймайды, ал жеңілі алға шамамен екі есе жылдам ұшады.

Қалай пайдалану керек. Массалар мен жылдамдықтарды бер немесе дайын тәжірибені бас — сосын «дейін мен кейін» кестесін, сахна астындағы импульс пен энергия өлшегіштерін және графиктерді бақыла. «Масса центрінен қарау» параметрін қосып, бұл жүйеде шарлардың жылдамдықтарын жай ғана қарсы бағытқа бұратынын көр. «Өзіңді тексер» режимі есеп береді: соққыдан кейінгі жылдамдықты тап, сосын тәжірибемен тексер.