Реактивті қозғалыс және Циолковский формуласы

Зымыран қызған газды лақтырып үдейді: ол ауадан да, Жерден де емес, өз ағынынан итеріледі. Оны ашық ғарышта немесе ұшу алаңынан ұшыр, отын қорының азайып, жылдамдықтың өскенін бақыла — және зымыранның өз газын озып кететін сәтін ұста. Ғарышта зымыран импульсі мен лақтырылған газ импульсінің қосындысы әрқашан нөлге тең.

→p₁ — 1-арбаның импульсі →p₂ — 2-арбаның импульсі →Σp — импульстер қосындысы ◉жүйенің масса центрі

Дайын тәжірибелер

m₁ 1-арбаның массасы

v₁ 1-арбаның жылдамдығы

m₂ 2-арбаның массасы

v₂ 2-арбаның жылдамдығы

«+» — оңға, «−» — солға. 1-арба сол жақта, 2-арба оң жақта

Соққы түрі

Баяулату

Дайын тәжірибелер

M зеңбірек массасы

m снаряд массасы

v снаряд жылдамдығы

Жерге қатысты, оқпаннан ұшып шыққан бойда

α оқпан бұрышы °

μ үйкеліс коэффициенті (дөңгелектер тежелген)

Атуды баяу түсіру

Зымыран қайдан ұшады

u газдың зымыранға қатысты жылдамдығы

m₀/m_с массалар қатынасы · отын %

m₀ = 100 т — бастапқы масса, mₛ — отынсыз зымыранның массасы

t_жану қозғалтқыштың жұмыс уақыты

Көрсету жылдамдығы

Импульс пен жылдамдық нұсқамалары

Масса центрі

Өзіңді тексер

Есептеу дәл: қозғалыс уақыттың формулаларымен берілген, ал соққы, ату, көтерілу және отын біту сәттері теңдеулерден табылады, сондықтан сандар формулалармен сәйкес келеді және көрсету жылдамдығына тәуелді емес. Соққы мен ату лезде болады, ауа кедергісі жоқ, g = 9,8 м/с².

Соққыға дейін

p₁ = m₁v₁

p₂ = m₂v₂

Σp = p₁ + p₂

v_c = Σp / (m₁ + m₂)

масса центрінің жылдамдығы — соққыға дейін де, кейін де бірдей

Соққыдан кейін

v = (m₁v₁ + m₂v₂) / (m₁ + m₂)

E_k дейін

E_k′ кейін

Q = m₁m₂(v₁ − v₂)² / 2(m₁ + m₂)

жылуға кетті

Q / E_k

V = m v cosα / M

атқан бойдағы кері серпілу жылдамдығы

m v cosα

снарядтың көлденең импульсі

−M V

зеңбірек импульсі

m v sinα

тік импульс — оны тірек берді

E_сн / E_з = M / (m cos²α)

E_сн = mv²/2

E_з = MV²/2

s = V² / (2μg)

тоқтағанға дейінгі кері жол

t = V / (μg)

кері жылжу уақыты

μ = (m₀ − m_с) / t_жану

отын шығыны

F = μu

реактивті күш (тарту)

Қазір

m = m₀ − μt

v − u

жаңа ғана лақтырылған газдың ұшу орнына қатысты жылдамдығы

Зымыран Жерден ұшады: u = 3 км/с және m₀/m = 5 болғанда отын біткенше (80 с) ол 4,04 км/с жылдамдық алады — u·ln 5 ≈ 4,83 км/с-тан 0,78 км/с аз. Айырма — гравитациялық шығындар gt = 9,8·80 = 784 м/с. Жануды ұзақ ет (300 с): тарту салмақтан аз болады, ал зымыран отынның бір бөлігін жаққанша алаңда тұрады. Сосын ғарышқа ауыс: онда соңғы жылдамдық дәл u·ln(m₀/m)-ға тең және қозғалтқыштың жұмыс уақытына тәуелді емес. Бір сатыны бірінші ғарыштық жылдамдыққа 7,9 км/с дейін үдетіп көр.

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Импульстің сақталу заңы

$$\vec p = m\vec v, \qquad m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2 = m_1\vec v_1^{\,\prime} + m_2\vec v_2^{\,\prime}$$

Тұйық жүйеде өзара әрекеттесуге дейінгі импульстер қосындысы одан кейінгі қосындыға тең

▶ Толық түсіндірме

Импульс — масса мен жылдамдықтың көбейтіндісі, жылдамдық бағытымен бағытталған вектор. Екі дене өзара әрекеттескенде олардың бір-біріне әсер ететін күштері тең әрі қарама-қарсы (Ньютонның үшінші заңы) және бірдей уақыт әсер етеді. Демек, бір дене FΔt импульс алады, екіншісі — −FΔt, ал қосынды өзгермейді.

Таңбалар маңызды: бір түзу бойымен қозғалыс үшін оң бағытты таңда да, «қарсы» жылдамдықтарды минус таңбасымен ал. Симуляторда p₁, p₂ нұсқамалары — денелердің импульстері, алтын Σp нұсқамасы — олардың қосындысы: соққыда, атуда және ғарыштағы зымыран қозғалтқышы жұмыс істегенде оның ұзындығы да, бағыты да өзгермейді.

Реактивті күш

$$F = \mu u, \qquad \mu = \frac{\Delta m}{\Delta t}$$

μ — отын шығыны (секундтағы газ массасы), u — газдың зымыранға қатысты жылдамдығы

▶ Толық түсіндірме

Δt уақытта зымыран Δm = μΔt массалы газды лақтырып, оған артқа Δm·u импульс береді (зымыран жүйесінде). Ньютонның үшінші заңы бойынша газ зымыранды алға F = Δm·u/Δt = μu күшпен итереді. Бұған тірек керек емес: зымыран өз газынан итеріледі.

Симуляторда m₀ = 100 т, ал шығын μ = (m₀ − m_с)/t_жану, мұндағы m_с — отынсыз зымыран массасы. Жерден ұшқанда зымыран тек F > mg болғанда көтеріледі; тарту салмақтан аз болса, масса F/g-ге дейін азайғанша алаңда күтеді. Отын жанған сайын үдеу артады: a = F/m − g.

Циолковский формуласы

$$v = u\,\ln\frac{m_0}{m}, \qquad v = u\,\ln\frac{m_0}{m} - g\,t$$

m₀ — бастапқы масса, m — зымыранның қазіргі массасы; екінші өрнек — t = 0 сәтінде көтерілетін, g = const тік ұшу

▶ Толық түсіндірме

m массалы зымыран өзіне қатысты u жылдамдықпен dm массалы газды лақтырсын. Жүйенің импульсі сақталады: m·dv = u·dm, бұдан dv = u·dm/m. Масса m₀-ден m-ге дейін кемігенше осындай кішкене өсімшелерді қоссақ, v = u·ln(m₀/m) шығады. Жылдамдық қозғалтқыштың қанша уақыт жұмыс істейтініне тәуелді емес — тек u-ға және массалар қатынасына тәуелді.

m₀/m = e ≈ 2,72 болғанда зымыран жылдамдығы u-ға тең; одан әрі зымыран өз ағынынан тез ұшады, ал оның артындағы газ (жылдамдығы v − u) енді алға қозғалады. u = 3 км/с кезде 7,9 км/с алу үшін m₀/m = e^2,63 ≈ 14 керек: бастапқы массаның 93 %-ы — отын. Сондықтан зымырандар көпсатылы жасалады. Жерден ұшқанда жану кезінде гравитация gt-ны алып кетеді — жану неғұрлым ұзақ болса, шығын соғұрлым көп (зымыран бірден көтерілмесе, t көтерілу сәтінен бастап есептеледі).

Масса центрінің жылдамдығы

$$\vec v_c = \frac{m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2 + \dots}{m_1 + m_2 + \dots} = \frac{\sum \vec p}{\sum m}$$

Сыртқы күштер әсер етпесе, жүйенің масса центрі бірқалыпты түзу сызықты қозғалады

▶ Толық түсіндірме

Алымы — жүйенің толық импульсі, бөлімі — оның массасы. Σp өзгермейтіндіктен, масса центрінің жылдамдығы да өзгермейді. Ішкі күштер масса центрін жылжыта алмайды: адам қайықтың артына өтсе, қайық алға жылжиды; зеңбірек атса, «зеңбірек + снаряд» масса центрі орнында қалады.

Симуляторда масса центрі — алтын белгі. Соққыда ол соқтығысуға дейін де, кейін де бірдей жылдамдықпен жылжиды, ал жабысқан арбалар онымен бірге қозғалады. Ғарыштағы зымыранның «зымыран + лақтырылған газ» масса центрі зымыран ұшқан жерде тұрады, ал зымыранның өзі жүздеген километрге ұшып кетеді.

Зымыран қалай қозғалады. Зымыран газды өзіне қатысты u жылдамдықпен артқа лақтырады. Импульстің сақталу заңы бойынша газ импульсті артқа алып кетеді, ал зымыран дәл сондай импульсті алға алады: қозғалтқыш әр секунд сайын μ массаны лақтырып, F = μu реактивті күш жасайды. Бұған тірек керек емес, сондықтан зымыран бос ғарышта да үдейді — бұрандаға не дөңгелекке итерілетін ештеңе жоқ жерде.

Циолковский формуласы. m массалы зымыран dm газ үлесін лақтырсын. Жүйенің импульсі сақталады: m·dv = u·dm, яғни dv = u·dm/m. Масса m₀-ден m-ге дейін кемігенше осындай қадамдарды қоссақ, v = u·ln(m₀/m) шығады. Жылдамдық тек газдың ағып шығу жылдамдығына және массалар қатынасына тәуелді, отынның тез не баяу жанатынына тәуелді емес: ұзақ жану сол жылдамдықты береді, тек үдеу аз болады.

Зымыран өз газын озады. m₀/m = e ≈ 2,72 болғанда зымыран жылдамдығы u-ға тең. Одан әрі зымыран өз ағынынан тез ұшады, ал жаңа ғана лақтырылған газ (оның ұшу орнына қатысты жылдамдығы v − u) енді алға, зымыранның соңынан қозғалады. u = 3 км/с кезде 7,9 км/с алу үшін m₀/m ≈ 14 керек: бастапқы массаның 93 %-ы — отын. Сондықтан зымырандар көпсатылы жасалады және бос бактарын тастайды.

Жерден ұшу. Жерде зымыранды ауырлық күші төмен тартады: v = u·ln(m₀/m) − gt, қозғалтқыш неғұрлым ұзақ жанса, «гравитациялық шығындар» gt соғұрлым көп. Тарту салмақтан аз болса (μu < m₀g), зымыран массасы F/g-ге дейін кемігенше алаңда тұрады — көтерілу сәті t_көт = (m₀ − F/g)/μ. Отын біткен соң зымыран инерциямен жоғары ұшып, H = h_с + v_с²/(2g) биіктікке дейін тежеледі.

Дәл осы заң зеңбіректің тебуінде — үздіксіз ағынның орнына бір «ату» — және серпімсіз соққыда жұмыс істейді. Модель идеал: m₀ = 100 т, g = 9,8 м/с² тұрақты, ауа кедергісі жоқ, ұшу тік.