Серпімсіз соққы: импульстің сақталу заңы

Ауа жолындағы екі арба соқтығысып, бір-біріне жабысады. Көк және қызыл нұсқамалар — арбалардың импульстері, алтын түсті — олардың Σp қосындысы: соққыда жеке импульстер өзгереді, ал қосынды сол күйі қалады. Кинетикалық энергияның қандай бөлігі жылуға айналатынын және жүйенің масса центрі неге соққыға дейінгідей қозғалатынын көр.

→p₁ — 1-арбаның импульсі →p₂ — 2-арбаның импульсі →Σp — импульстер қосындысы ◉жүйенің масса центрі

Дайын тәжірибелер

m₁ 1-арбаның массасы

v₁ 1-арбаның жылдамдығы

m₂ 2-арбаның массасы

v₂ 2-арбаның жылдамдығы

«+» — оңға, «−» — солға. 1-арба сол жақта, 2-арба оң жақта

Соққы түрі

Баяулату

Дайын тәжірибелер

M зеңбірек массасы

m снаряд массасы

v снаряд жылдамдығы

Жерге қатысты, оқпаннан ұшып шыққан бойда

α оқпан бұрышы °

μ үйкеліс коэффициенті (дөңгелектер тежелген)

Атуды баяу түсіру

Зымыран қайдан ұшады

u газдың зымыранға қатысты жылдамдығы

m₀/m_с массалар қатынасы · отын %

m₀ = 100 т — бастапқы масса, mₛ — отынсыз зымыранның массасы

t_жану қозғалтқыштың жұмыс уақыты

Көрсету жылдамдығы

Импульс пен жылдамдық нұсқамалары

Масса центрі

Өзіңді тексер

Есептеу дәл: қозғалыс уақыттың формулаларымен берілген, ал соққы, ату, көтерілу және отын біту сәттері теңдеулерден табылады, сондықтан сандар формулалармен сәйкес келеді және көрсету жылдамдығына тәуелді емес. Соққы мен ату лезде болады, ауа кедергісі жоқ, g = 9,8 м/с².

Соққыға дейін

p₁ = m₁v₁

p₂ = m₂v₂

Σp = p₁ + p₂

v_c = Σp / (m₁ + m₂)

масса центрінің жылдамдығы — соққыға дейін де, кейін де бірдей

Соққыдан кейін

v = (m₁v₁ + m₂v₂) / (m₁ + m₂)

E_k дейін

E_k′ кейін

Q = m₁m₂(v₁ − v₂)² / 2(m₁ + m₂)

жылуға кетті

Q / E_k

V = m v cosα / M

атқан бойдағы кері серпілу жылдамдығы

m v cosα

снарядтың көлденең импульсі

−M V

зеңбірек импульсі

m v sinα

тік импульс — оны тірек берді

E_сн / E_з = M / (m cos²α)

E_сн = mv²/2

E_з = MV²/2

s = V² / (2μg)

тоқтағанға дейінгі кері жол

t = V / (μg)

кері жылжу уақыты

μ = (m₀ − m_с) / t_жану

отын шығыны

F = μu

реактивті күш (тарту)

Қазір

m = m₀ − μt

v − u

жаңа ғана лақтырылған газдың ұшу орнына қатысты жылдамдығы

Есептен баста: 4 м/с жылдамдықпен қозғалған 3 кг арба қарсы 6 м/с жылдамдықпен келе жатқан 2 кг арбаға соғылады. Импульстер тең әрі қарама-қарсы, Σp = 0, — соққыдан кейін денелер тоқтайды, ал 60 Дж кинетикалық энергияның бәрі жылуға айналады. Сосын «Оқ білеуге» нұсқасын таңда: жеңіл әрі жылдам дене соғылғанда энергияның 91 %-ы жылуға кетеді. Соққыны серпімдіге ауыстыр — импульс дәл солай сақталады, бірақ жылу бөлінбейді.

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Импульстің сақталу заңы

$$\vec p = m\vec v, \qquad m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2 = m_1\vec v_1^{\,\prime} + m_2\vec v_2^{\,\prime}$$

Тұйық жүйеде өзара әрекеттесуге дейінгі импульстер қосындысы одан кейінгі қосындыға тең

▶ Толық түсіндірме

Импульс — масса мен жылдамдықтың көбейтіндісі, жылдамдық бағытымен бағытталған вектор. Екі дене өзара әрекеттескенде олардың бір-біріне әсер ететін күштері тең әрі қарама-қарсы (Ньютонның үшінші заңы) және бірдей уақыт әсер етеді. Демек, бір дене FΔt импульс алады, екіншісі — −FΔt, ал қосынды өзгермейді.

Таңбалар маңызды: бір түзу бойымен қозғалыс үшін оң бағытты таңда да, «қарсы» жылдамдықтарды минус таңбасымен ал. Симуляторда p₁, p₂ нұсқамалары — денелердің импульстері, алтын Σp нұсқамасы — олардың қосындысы: соққыда, атуда және ғарыштағы зымыран қозғалтқышы жұмыс істегенде оның ұзындығы да, бағыты да өзгермейді.

Абсолют серпімсіз соққы

$$v = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$$

Денелер жабысып, бірге қозғалады; v₁, v₂ — жылдамдықтардың таңбалы проекциялары

▶ Толық түсіндірме

Соққыдан кейін денелердің ортақ бір v жылдамдығы болады, сондықтан импульстің сақталу заңы m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)v жауапты бірден береді. Ортақ жылдамдық масса центрінің жылдамдығына тең — ол соққыға дейін де сондай болған.

Оқулықтағы есеп: m₁ = 3 кг, v₁ = 4 м/с, m₂ = 2 кг, v₂ = −6 м/с (қарсы). Σp = 12 − 12 = 0, демек v = 0 — денелер тоқтайды. Осы дайын нұсқаны қосып, алтын нұсқаманың басынан-ақ нөл ұзындықта екенін, ал масса центрінің белгісі орнында тұрғанын көр.

Жылуға кеткен энергия

$$Q = E_{k} - E_{k}^{\prime} = \frac{m_1 m_2\,(v_1 - v_2)^2}{2\,(m_1 + m_2)}$$

Серпімсіз соққыда кинетикалық энергия кемиді; шығын тек салыстырмалы жылдамдыққа тәуелді

▶ Толық түсіндірме

v = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂) мәнін ½m₁v₁² + ½m₂v₂² − ½(m₁ + m₂)v² энергиялар айырмасына қойсаң, осы формула шығады. Импульс әрқашан сақталады, ал серпімсіз соққыда механикалық энергия сақталмайды: ол деформацияға, қызуға, дыбысқа кетеді.

Тыныштықтағы нысана үшін шығын үлесі Q/E_k = m₂/(m₁ + m₂): 5 кг білеуге кірген 0,5 кг оқ энергияның 91 %-ын жоғалтады, ал жеңіл денеге соғылған ауыр дене аз жоғалтады. Қарсы арбалар есебінде (Σp = 0) 100 % жоғалады: 60 Дж түгел жылуға айналады. Сахна астындағы «энергия» шкаласы мұны көрнекі көрсетеді.

Салыстыру үшін: серпімді соққы

$$v_1^{\prime} = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2 v_2}{m_1 + m_2}, \qquad v_2^{\prime} = \frac{(m_2 - m_1)v_2 + 2m_1 v_1}{m_1 + m_2}$$

Импульс та, кинетикалық энергия да сақталады; Q = 0

▶ Толық түсіндірме

Бұл жылдамдықтар екі теңдеуден шығады: импульстің сақталуы және энергияның сақталуы. Ыңғайлы тексеру: соққыдан кейінгі салыстырмалы жылдамдық модулі бойынша соққыға дейінгіге тең және оған қарама-қарсы, v₂′ − v₁′ = v₁ − v₂.

Симуляторда соққы түрін ауыстыр: сол массалар мен жылдамдықтарда алтын Σp нұсқамасы өзгермейді, ал Q жылуы нөлге тең болады. Импульс кез келген соққыда сақталады, энергия — тек серпімдіде.

Масса центрінің жылдамдығы

$$\vec v_c = \frac{m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2 + \dots}{m_1 + m_2 + \dots} = \frac{\sum \vec p}{\sum m}$$

Сыртқы күштер әсер етпесе, жүйенің масса центрі бірқалыпты түзу сызықты қозғалады

▶ Толық түсіндірме

Алымы — жүйенің толық импульсі, бөлімі — оның массасы. Σp өзгермейтіндіктен, масса центрінің жылдамдығы да өзгермейді. Ішкі күштер масса центрін жылжыта алмайды: адам қайықтың артына өтсе, қайық алға жылжиды; зеңбірек атса, «зеңбірек + снаряд» масса центрі орнында қалады.

Симуляторда масса центрі — алтын белгі. Соққыда ол соқтығысуға дейін де, кейін де бірдей жылдамдықпен жылжиды, ал жабысқан арбалар онымен бірге қозғалады. Ғарыштағы зымыранның «зымыран + лақтырылған газ» масса центрі зымыран ұшқан жерде тұрады, ал зымыранның өзі жүздеген километрге ұшып кетеді.

Импульс және тұйық жүйе. Дененің импульсі p = mv — жылдамдық бағытымен бағытталған вектор. Жүйеге сыртқы күштер әсер етпесе (немесе олар теңгерілсе, ауырлық күші мен тегіс жолдың реакциясы сияқты), оның толық импульсі өзгермейді: m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁′ + m₂v₂′. Соққыда арбалар бір-біріне бірдей уақыт тең әрі қарама-қарсы күштермен әсер етеді (Ньютонның үшінші заңы), сондықтан біреуі қанша импульс алса, екіншісі сонша жоғалтады.

Абсолют серпімсіз соққы. Денелер жабысып, әрі қарай бірге v = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂) жылдамдықпен қозғалады. Жылдамдықтар таңбасымен алынады: қарсы қозғалыс — минус таңбасымен. Импульс сақталады, ал кинетикалық энергия сақталмайды: оның Q = m₁m₂(v₁ − v₂)²/(2(m₁ + m₂)) бөлігі пластилиннің деформациясы мен қызуына кетеді. Нысана тыныштықта болса, энергияның m₂/(m₁ + m₂) үлесі жоғалады: сондықтан білеуге кірген оқ энергиясын түгелге жуық жылуға береді, ал жеңіл денеге соғылған ауыр дене аз жоғалтады.

Серпімді соққымен салыстыру. Пластилиннің орнына серіппелі бампер қойсақ, соққы серпімді болады: импульс те, энергия да сақталады, денелер екі жаққа кетеді. Бірдей арбалар жылдамдықтарымен алмасады. Басты қорытынды: импульс кез келген соққыда сақталады, механикалық энергия — тек серпімдіде.

Масса центрі. Масса центрінің жылдамдығы v_c = Σp/Σm. Σp өзгермейтіндіктен, масса центрі (алтын белгі) соққыға дейін де, кейін де бірдей жылдамдықпен жылжиды, ал жабысқан арбалар дәл онымен бірге жүреді. Σp = 0 болғанда масса центрі орнында тұрады — соққыдан кейін денелер тоқтайды.

Не істеп көруге болады. Σp = 0 болатындай жылдамдықтарды таңда. «Оқ білеуге» мен «Ауыр жеңілге» нұсқаларын сахна астындағы энергия шкаласы бойынша салыстыр. Дәл осы заң зеңбіректің тебуін және зымыранның реактивті қозғалысын түсіндіреді. Модель идеал: жол үйкеліссіз, соққы лезде болады.