Зеңбіректің тебуі: импульстің сақталу заңы

Зеңбірек снарядты атады — да, кері серпіледі. Баяу түсірілімде снаряд пен зеңбіректің көлденең импульстері тең әрі қарама-қарсы екені, Σpₓ = 0, ал олардың энергиялары ондаған есе айырмашылықта екені көрінеді. Оқпанды көтер, массалар мен үйкелісті өзгерт және кері жолды сызғышпен өлше.

→p₁ — 1-арбаның импульсі →p₂ — 2-арбаның импульсі →Σp — импульстер қосындысы ◉жүйенің масса центрі

Дайын тәжірибелер

m₁ 1-арбаның массасы

v₁ 1-арбаның жылдамдығы

m₂ 2-арбаның массасы

v₂ 2-арбаның жылдамдығы

«+» — оңға, «−» — солға. 1-арба сол жақта, 2-арба оң жақта

Соққы түрі

Баяулату

Дайын тәжірибелер

M зеңбірек массасы

m снаряд массасы

v снаряд жылдамдығы

Жерге қатысты, оқпаннан ұшып шыққан бойда

α оқпан бұрышы °

μ үйкеліс коэффициенті (дөңгелектер тежелген)

Атуды баяу түсіру

Зымыран қайдан ұшады

u газдың зымыранға қатысты жылдамдығы

m₀/m_с массалар қатынасы · отын %

m₀ = 100 т — бастапқы масса, mₛ — отынсыз зымыранның массасы

t_жану қозғалтқыштың жұмыс уақыты

Көрсету жылдамдығы

Импульс пен жылдамдық нұсқамалары

Масса центрі

Өзіңді тексер

Есептеу дәл: қозғалыс уақыттың формулаларымен берілген, ал соққы, ату, көтерілу және отын біту сәттері теңдеулерден табылады, сондықтан сандар формулалармен сәйкес келеді және көрсету жылдамдығына тәуелді емес. Соққы мен ату лезде болады, ауа кедергісі жоқ, g = 9,8 м/с².

Соққыға дейін

p₁ = m₁v₁

p₂ = m₂v₂

Σp = p₁ + p₂

v_c = Σp / (m₁ + m₂)

масса центрінің жылдамдығы — соққыға дейін де, кейін де бірдей

Соққыдан кейін

v = (m₁v₁ + m₂v₂) / (m₁ + m₂)

E_k дейін

E_k′ кейін

Q = m₁m₂(v₁ − v₂)² / 2(m₁ + m₂)

жылуға кетті

Q / E_k

V = m v cosα / M

атқан бойдағы кері серпілу жылдамдығы

m v cosα

снарядтың көлденең импульсі

−M V

зеңбірек импульсі

m v sinα

тік импульс — оны тірек берді

E_сн / E_з = M / (m cos²α)

E_сн = mv²/2

E_з = MV²/2

s = V² / (2μg)

тоқтағанға дейінгі кері жол

t = V / (μg)

кері жылжу уақыты

μ = (m₀ − m_с) / t_жану

отын шығыны

F = μu

реактивті күш (тарту)

Қазір

m = m₀ − μt

v − u

жаңа ғана лақтырылған газдың ұшу орнына қатысты жылдамдығы

Оқулықтағы есептен баста: 800 кг зеңбірек 10 кг снарядты 400 м/с жылдамдықпен көлденең атады — кері серпілу жылдамдығы V = mv/M = 5 м/с. Оқпанды 45° және 60°-қа көтер: тебу әлсірейді, өйткені импульстің тек көлденең бөлігі сақталады. «Снаряд зеңбіректей ауыр» нұсқасын қос — тебу атумен бірдей жылдам болады. Ал мұзда (μ = 0) зеңбірек тоқтамайды.

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Импульстің сақталу заңы

$$\vec p = m\vec v, \qquad m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2 = m_1\vec v_1^{\,\prime} + m_2\vec v_2^{\,\prime}$$

Тұйық жүйеде өзара әрекеттесуге дейінгі импульстер қосындысы одан кейінгі қосындыға тең

▶ Толық түсіндірме

Импульс — масса мен жылдамдықтың көбейтіндісі, жылдамдық бағытымен бағытталған вектор. Екі дене өзара әрекеттескенде олардың бір-біріне әсер ететін күштері тең әрі қарама-қарсы (Ньютонның үшінші заңы) және бірдей уақыт әсер етеді. Демек, бір дене FΔt импульс алады, екіншісі — −FΔt, ал қосынды өзгермейді.

Таңбалар маңызды: бір түзу бойымен қозғалыс үшін оң бағытты таңда да, «қарсы» жылдамдықтарды минус таңбасымен ал. Симуляторда p₁, p₂ нұсқамалары — денелердің импульстері, алтын Σp нұсқамасы — олардың қосындысы: соққыда, атуда және ғарыштағы зымыран қозғалтқышы жұмыс істегенде оның ұзындығы да, бағыты да өзгермейді.

Зеңбіректің тебуі

$$MV = mv\cos\alpha \;\Rightarrow\; V = \frac{mv\cos\alpha}{M}, \qquad s = \frac{V^2}{2\mu g}$$

v — снарядтың жерге қатысты жылдамдығы, α — оқпан бұрышы; s — μ үйкелісте тоқтағанға дейінгі кері жол

▶ Толық түсіндірме

Атқанға дейін Σp = 0. Оқ-дәрі газдары снарядты алға, зеңбіректі артқа итереді, ал ату кезінде көлденең бағытта сыртқы күштер іс жүзінде жоқ, сондықтан mv·cos α − MV = 0. Тік бағытта импульс сақталмайды: оқпан көтерілгенде снаряд жоғары mv·sin α импульсін алып кетеді, зеңбірек жерге басылады, ал Жер тірек реакциясының импульсімен жауап береді.

Энергиялар массаларға кері бөлінеді: E_сн/E_з = M/m (α = 0 кезде). Атқаннан кейін үйкеліс зеңбіректі μg үдеумен тежейді, ол V/(μg) уақытта s = V²/(2μg) жол жүреді — енді зеңбірек импульсі сақталмайды, оны үйкеліс күші арқылы Жер алады.

Масса центрінің жылдамдығы

$$\vec v_c = \frac{m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2 + \dots}{m_1 + m_2 + \dots} = \frac{\sum \vec p}{\sum m}$$

Сыртқы күштер әсер етпесе, жүйенің масса центрі бірқалыпты түзу сызықты қозғалады

▶ Толық түсіндірме

Алымы — жүйенің толық импульсі, бөлімі — оның массасы. Σp өзгермейтіндіктен, масса центрінің жылдамдығы да өзгермейді. Ішкі күштер масса центрін жылжыта алмайды: адам қайықтың артына өтсе, қайық алға жылжиды; зеңбірек атса, «зеңбірек + снаряд» масса центрі орнында қалады.

Симуляторда масса центрі — алтын белгі. Соққыда ол соқтығысуға дейін де, кейін де бірдей жылдамдықпен жылжиды, ал жабысқан арбалар онымен бірге қозғалады. Ғарыштағы зымыранның «зымыран + лақтырылған газ» масса центрі зымыран ұшқан жерде тұрады, ал зымыранның өзі жүздеген километрге ұшып кетеді.

Атқанда энергия тең бөлінбейді

$$E = \frac{p^2}{2m}, \qquad \frac{mv^2/2}{MV^2/2} = \frac{M}{m\cos^2\alpha}$$

Снаряд пен зеңбіректің импульстері тең, ал энергия массаға кері пропорционал

▶ Толық түсіндірме

Кинетикалық энергияны импульс арқылы өрнектеу ыңғайлы: E = mv²/2 = p²/(2m). Көлденең атуда снаряд пен зеңбіректің импульстері модулі бойынша тең, сондықтан энергиялар массаларға кері қатынаста: E_сн/E_з = M/m. 800 кг зеңбірек пен 10 кг снаряд: импульстер бірдей болса да, снаряд 80 есе көп энергия алады.

Оқпан α бұрышқа көтерілсе, зеңбірек импульстің тек көлденең бөлігін алады, ал қатынас M/(m·cos²α)-ға дейін өседі. Екі денеге де энергияны оқ-дәрі газдары береді — мұнда жылдамдықтарды табуға энергияның сақталу заңы көмектеспейді, ал импульстің сақталу заңы көмектеседі. Сондықтан тебуге арналған есептер әрқашан импульстен басталады.

Зеңбірек неге кері серпіледі. Атқанға дейін зеңбірек пен снаряд тыныштықта, олардың қосынды импульсі нөлге тең. Оқ-дәрі газдары снарядты алға, зеңбіректі артқа итереді, ал бұл күштер тең (Ньютонның үшінші заңы). Ату секундтың мыңнан бір үлесіне созылады, бұл уақытта дөңгелектердің үйкелісі газ қысымымен салыстырғанда өте аз, сондықтан жүйенің көлденең импульсі сақталады: mv·cos α − MV = 0, бұдан V = mv·cos α / M. Мұндағы v — снарядтың жерге қатысты жылдамдығы.

Көтерілген оқпан. Снаряд импульсінің тік құраушысы mv·sin α сақталмайды: ату сәтінде зеңбірек жерге басылады, ал Жер тірек реакциясы күшінің импульсімен жауап береді (дөңгелектердегі жасыл нұсқама). Сондықтан оқпан неғұрлым тік болса, тебу соғұрлым әлсіз: 60°-та көлденең атудағыдан екі есе аз.

Импульстер тең — энергиялар тең емес. Энергияны импульс арқылы жазуға болады: E = p²/(2m). Импульстер тең болғанда жеңіл снаряд ауыр зеңбіректен M/m есе көп энергия алады (α бұрышта — M/(m·cos²α) есе). Сондықтан тебу емес, снаряд қауіпті, ал мылтықты атқыштың массасын «қосу» үшін иыққа тығыз қысады.

Атқаннан кейін. Үйкеліс зеңбіректі μg үдеумен тежейді, ол V/(μg) уақытта s = V²/(2μg) жол жүріп тоқтайды. Енді жүйеге сыртқы күш әсер етеді, сондықтан Σpₓ өсе бастайды — зеңбірек импульсі Жерге өтеді. «Зеңбірек + снаряд» масса центрі ату сәтінде орнында тұрады, тек сыртқы күштер әсерінен жылжиды: үйкеліс пен снарядтың жерге соғылуы.

Тағы қайда. Мылтықтың тебуі, өрт сөндіру шлангының серпілуі, адам секірген қайық — бәрі сол заң. Газды үздіксіз «атсаң», зымыранның реактивті қозғалысы шығады; денелер екі жаққа кетпей, жабысса — серпімсіз соққы. Модель идеал: ату лезде болады, ауа кедергісі жоқ, g = 9,8 м/с².