Көкжиекке бұрыш жасай лақтырылған дене

Зеңбіректен атып, дененің неге парабола бойымен ұшатынын көр. Оның қозғалысы екі қарапайым қозғалыстан құралады: горизонталь бағытта ол бірқалыпты ұшады, ал тік бағытта жоғары лақтырылған доп сияқты алдымен баяулап, сосын жылдамдайды. Осьтердегі көлеңкелер мен стробоскоп мұны көрнекі көрсетеді, ал таблодағы сандар оқулықтағы формулалармен сәйкес келеді.

Қозғалыс графиктері

Пунктир — формулалар бойынша бүкіл ұшу, тұтас сызық денемен бірге сызылады. Салыстыр: vₓ өзгермейді, ал vᵧ бірқалыпты кемиді де, ең жоғарғы нүктеде нөлден өтеді.

v₀ бастапқы жылдамдық 15 м/с

θ горизонтқа лақтыру бұрышы 50°

h₀ лақтыру нүктесінің биіктігі 0 м

Қайда лақтырамыз

g еркін түсу үдеуі 9,8 м/с²

Дайын тәжірибелер

Көрсету жылдамдығы

Көрсету

қайда ұшатыны (пунктир)

v жылдамдық және g үдеу векторлары

жылдамдық проекциялары vₓ және vᵧ

стробоскоп: тең Δt сайынғы орындар

дененің x және y осьтеріндегі көлеңкесі

ауадағы доппен салыстыру

Ойын: «Нысанаға тигіз»

Ауаның кедергісі ескерілмейді (қызғылт сары доптан басқа), дене тегіс жерден h₀ биіктіктен лақтырылады. Орын мен жылдамдық дәл формулалармен есептеледі, сондықтан экрандағы сандар оқулықпен сәйкес келеді.

Қысқаша айтқанда: лақтырылған дене бір мезгілде екі қозғалысқа қатысады. Горизонталь бағытта ол бірқалыпты ұшады — vₓ = v₀·cos θ өзгермейді. Тік бағытта жоғары лақтырылған доп сияқты g үдеумен бірқалыпты үдемелі қозғалады. Осы екі қозғалыс қосылып, парабола береді. Мысал: v₀ = 20 м/с, θ = 30° — дене 5,1 м биіктікке көтеріліп, 2,04 с өткенде зеңбіректен 35,4 м жерге түседі. Осы сандарды қойып, тексеріп көр.

Сондай-ақ қараңыз

Бірқалыпты үдемелі қозғалыс графиктеріТүзу бойымен қозғалыстың x(t), v(t), a(t) графиктері — лақтырудың тік бөлігі сияқты Шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалысТағы бір қисық сызықты қозғалыс: жылдамдық жанама бойымен, үдеу центрге қарай Орбиталар және ғарыштық жылдамдықтарДенені Жердің жанынан «құлап» өтетіндей жылдам лақтыр — серік шығады

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Бастапқы жылдамдықтың проекциялары

$$v_{0x} = v_0\cos\theta, \qquad v_{0y} = v_0\sin\theta$$

Бастапқы жылдамдықты горизонталь және тік бөліктерге жіктейді. θ — жылдамдық векторы мен көкжиек арасындағы бұрыш.

▶ Толық түсіндірме

v₀ векторы — тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы, ал оның проекциялары — катеттер. Горизонталь катет θ бұрышқа іргелес, сондықтан v₀ₓ = v₀·cos θ, тік катет бұрышқа қарсы жатыр, сондықтан v₀ᵧ = v₀·sin θ. Тексеру: v₀ₓ² + v₀ᵧ² = v₀².

Мысал: v₀ = 20 м/с, θ = 30°. v₀ₓ = 20·0,866 = 17,32 м/с, v₀ᵧ = 20·0,5 = 10 м/с. Симуляторда лақтыруға дейін бұл екі көрсеткі зеңбіректің дәл жанында сызылған.

Горизонталь бойынша — бірқалыпты қозғалыс

$$v_x = v_0\cos\theta = \text{const}, \qquad x = v_0\cos\theta \cdot t$$

Горизонталь бағытта денеге ешқандай күш әсер етпейді, сондықтан горизонталь жылдамдық бүкіл ұшу кезінде өзгермейді.

▶ Толық түсіндірме

Ауырлық күші тік бағытталған, оның горизонталь проекциясы нөлге тең, демек aₓ = 0. Әр секунд сайын дене алға бірдей vₓ қашықтыққа жылжиды. Симуляторда мұны жердегі көк көлеңкеден көруге болады: x осіндегі стробоскоп белгілері бір-бірінен бірдей қашықтықта тұр. vₓ(t) графигінде бұл — горизонталь түзу.

Тік бойынша — бірқалыпты үдемелі қозғалыс

$$v_y = v_0\sin\theta - g t, \qquad y = h_0 + v_0\sin\theta \cdot t - \frac{g t^2}{2}$$

Тік жылдамдық әр секунд сайын g-ға азаяды: тік бағытта дене тура жоғары лақтырылған дене сияқты қозғалады. h₀ — лақтыру нүктесінің биіктігі.

▶ Толық түсіндірме

y осі жоғары, ал g үдеуі төмен бағытталған, сондықтан формулаларда минус тұр. vᵧ > 0 болғанша дене көтеріліп, тік бағытта баяулайды, ең жоғарғы нүктеде vᵧ = 0, содан кейін vᵧ < 0 болып, дене барған сайын жылдамырақ түседі. vᵧ(t) графигі — көлбеулігі −g болатын түзу, y(t) графигі — парабола.

Мысал: v₀ᵧ = 10 м/с, h₀ = 0. 0,5 с өткенде vᵧ = 10 − 9,8·0,5 = 5,1 м/с, y = 10·0,5 − 9,8·0,25/2 = 3,78 м.

Көтерілу уақыты және ең үлкен биіктік

$$t_1 = \frac{v_0\sin\theta}{g}, \qquad H = h_0 + \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$$

Ең жоғарғы нүктеде тік жылдамдық нөлге тең. Биіктік бастапқы жылдамдықтың тек тік проекциясына тәуелді.

▶ Толық түсіндірме

vᵧ = v₀·sin θ − g·t₁ = 0 теңдігінен t₁ шығады. t₁-ді y(t)-ға қойып, H-ты табамыз. Ең жоғарғы нүктеде дененің жылдамдығы нөл емес, vₓ = v₀·cos θ, ал үдеу бұрынғыдай g.

Мысал: v₀ = 20 м/с, θ = 30°, h₀ = 0. t₁ = 10/9,8 = 1,02 с, H = 10²/(2·9,8) = 5,10 м. θ = 90° болғанда (тік жоғары) H = v₀²/(2g) = 20,4 м — бұл берілген жылдамдық үшін шек.

Ұшу уақыты (жерден лақтыру)

$$T = \frac{2 v_0 \sin\theta}{g}$$

Егер дене жерден лақтырылып, сол деңгейге түссе, көтерілу мен түсу бірдей уақыт алады, сондықтан T = 2t₁.

▶ Толық түсіндірме

Формула y(T) = v₀·sin θ·T − g·T²/2 = 0 теңдеуінен шығады. Ұшу уақыты жылдамдықтың тек тік проекциясына тәуелді: v₀ᵧ бірдей лақтырылған денелер кез келген vₓ кезінде бірдей уақыт ұшады.

Мысал: v₀ = 20 м/с, θ = 30°: T = 2·10/9,8 = 2,04 с. Егер денені h₀ биіктіктен лақтырса, бұл формула жарамайды — биіктіктен лақтыру формуласын қара.

Ұшу қашықтығы (жерден лақтыру)

$$L = v_{0x}\,T = \frac{v_0^2 \sin 2\theta}{g}, \qquad L_{max} = \frac{v_0^2}{g}\ (\theta = 45^\circ)$$

Қашықтық — горизонталь жылдамдықтың ұшу уақытына көбейтіндісі. Ол 45°-та ең үлкен; θ және 90° − θ бұрыштары бірдей қашықтық береді.

▶ Толық түсіндірме

L = v₀·cos θ · 2v₀·sin θ / g = v₀²·2sin θ·cos θ / g = v₀²·sin 2θ / g. Синус бірден артпайды, ал θ = 45° болғанда sin 2θ = 1. sin 2θ = sin(180° − 2θ) болғандықтан, 30° пен 60° бұрыштары бірдей қашықтық береді.

Мысал: v₀ = 20 м/с, θ = 30°: L = 400·0,866/9,8 = 35,35 м; 45°-та L_max = 400/9,8 = 40,8 м. Сахна астындағы L(θ) графигінде бұл қисық толық көрінеді.

Траектория теңдеуі — парабола

$$y = h_0 + x\tan\theta - \frac{g\,x^2}{2 v_0^2 \cos^2\theta}$$

x(t)-дан уақытты өрнектеп, оны y(t)-ға қойсақ, y-тің x-қа квадраттық тәуелділігі шығады — тармақтары төмен бағытталған парабола теңдеуі.

▶ Толық түсіндірме

t = x / (v₀·cos θ). Оны y = h₀ + v₀·sin θ·t − g·t²/2 өрнегіне қойып, формуланы аламыз. x бар бірінші қосылғыш — ауырлық болмаса дене ұшатын түзу (зеңбірек оқпаны бойымен). Екіншісі — дененің құлау салдарынан осы түзуден қаншалықты «төмен қалатыны»: дәл g·t²/2.

Теңдеу «дене x қашықтықтағы h биіктіктегі қабырғадан асып өте ме» деген есептерде көмектеседі: x-ты қойып, y-ті h-пен салыстыр.

h₀ биіктіктен лақтыру

$$T = \frac{v_0\sin\theta + \sqrt{v_0^2\sin^2\theta + 2 g h_0}}{g}, \qquad L = v_0\cos\theta \cdot T$$

Ұшу уақыты — y(T) = 0 теңдеуінің оң түбірі. Горизонталь лақтыруда (θ = 0) T = √(2h₀/g), жай жіберілген денедегідей.

▶ Толық түсіндірме

h₀ + v₀ᵧ·T − g·T²/2 = 0 теңдеуі T-ға қатысты квадрат теңдеу. Теріс түбірін алып тастаймыз. h₀ = 0 болғанда формула T = 2v₀·sin θ / g түріне келеді.

Мысал: h₀ = 20 м мұнарадан денені 15 м/с жылдамдықпен горизонталь лақтырды. T = √(2·20/9,8) = 2,02 с, L = 15·2,02 = 30,3 м. Жерге жеткендегі жылдамдық v = √(v₀² + 2gh₀) = √(225 + 392) = 24,8 м/с. Биіктіктен ең тиімді бұрыш 45°-тан кіші: tg θ* = v₀ / √(v₀² + 2gh₀).

Траекторияның кез келген нүктесіндегі жылдамдық

$$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{v_0^2 - 2g\,(y - h_0)}, \qquad \tan\alpha = \frac{v_y}{v_x}$$

Жылдамдық модулі тек лақтыру нүктесінен биіктікке тәуелді. α — жылдамдық векторының сол сәтте көкжиекпен жасайтын бұрышы.

▶ Толық түсіндірме

Екінші түрі — энергияның сақталу заңы: mv₀²/2 + mgh₀ = mv²/2 + mgy. Сондықтан бір биіктікте көтерілгенде де, түскенде де жылдамдық шамасы бірдей, ал h₀ = 0 болса, дене v₀ жылдамдықпен түседі. Ең кіші жылдамдық ең жоғарғы нүктеде, ол vₓ = v₀·cos θ-ға тең.

Мысал: v₀ = 20 м/с, θ = 30°: ең жоғарғы нүктеде v = 17,32 м/с, жерде қайтадан 20 м/с, төмен қарай 30° бұрышпен.

Бұрыш жасай лақтыру деген не. Денені көкжиекке θ бұрыш жасай v₀ жылдамдықпен лақтырды, ал әрі қарай оған тек ауырлық күші әсер етеді. Ауаның кедергісін ескермейміз. Сонда дененің үдеуі әрдайым бірдей: a = g ≈ 9,8 м/с², және ол тік төмен бағытталған. Бұл көтерілгенде де, ең жоғарғы нүктеде де, түскенде де орындалады. Тас, доп, шлангтан аққан су ағыны, зеңбірек ядросы осылай ұшады. Мұндай қозғалыстың траекториясы — парабола.

Бір қозғалыстың орнына екеу. Галилей байқаған басты идея: горизонталь қозғалыс пен тік қозғалыс бір-біріне кедергі жасамайды. Бастапқы жылдамдықты екі проекцияға жіктейді: v₀ₓ = v₀·cos θ және v₀ᵧ = v₀·sin θ. Горизонталь бағытта күш әсер етпейді, сондықтан vₓ = v₀ₓ тұрақты және x = v₀ₓ·t. Бұл — бірқалыпты қозғалыс. Тік бағытта g әсер етеді, сондықтан vᵧ = v₀ᵧ − g·t және y = h₀ + v₀ᵧ·t − g·t²/2. Бұл — бірқалыпты үдемелі қозғалыс, дәл v₀ᵧ жылдамдықпен тік жоғары лақтырылған дененің қозғалысындай. Симуляторда мұны көлеңкелерден көруге болады: жердегі көк көлеңке тең Δt ішінде тең қашықтықтар өтеді, ал y осіндегі жасыл көлеңке бірте-бірте баяу көтеріліп, тоқтайды да, барған сайын жылдамырақ түседі.

Ұшу кезіндегі жылдамдық. Жылдамдық векторы әрқашан траекторияға жанама бойымен бағытталған. Оның горизонталь бөлігі vₓ өзгермейді, ал тік бөлігі vᵧ әр секунд сайын 9,8 м/с-қа азаяды. Ең жоғарғы нүктеде vᵧ = 0, бірақ жылдамдықтың өзі нөлге тең емес: дене vₓ жылдамдықпен алға ұшуын жалғастырады. Бұл — бүкіл ұшудағы ең кіші жылдамдық. h₀ = 0 болса, дене жерге өзі лақтырылған v₀ жылдамдықпен және сол θ бұрышпен, тек төмен қарай бағытталып түседі. Кез келген нүктедегі жылдамдық: v = √(vₓ² + vᵧ²) = √(v₀² − 2g(y − h₀)). Ол дененің жоғары не төмен ұшып бара жатқанына емес, тек биіктікке тәуелді.

Биіктік, уақыт және қашықтық. Көтерілу уақытын vᵧ = 0 шартынан табамыз: t₁ = v₀·sin θ / g. Ең үлкен биіктік H = v₀²·sin²θ / (2g). Жерден лақтырғанда көтерілу мен түсу бірдей уақыт алады, сондықтан толық ұшу уақыты T = 2v₀·sin θ / g. Ұшу қашықтығы — горизонталь жылдамдықтың ұшу уақытына көбейтіндісі: L = v₀ₓ·T = v₀²·sin 2θ / g. Мысал: v₀ = 20 м/с, θ = 30°. Сонда v₀ₓ = 17,32 м/с, v₀ᵧ = 10 м/с, t₁ = 1,02 с, H = 5,10 м, T = 2,04 с, L = 35,35 м. Осы мәндерді симуляторға қойып, «Өлшеулер» панеліндегі әр санды тексер.

Неге 45°. Қашықтық формуласында sin 2θ тұр, ол 2θ = 90° болғанда, яғни θ = 45° кезінде ең үлкен. Сонда L_max = v₀²/g. Қосындысы 90° болатын бұрыштар (30° пен 60°, 15° пен 75°) бірдей қашықтық береді, себебі sin 60° = sin 120°. Бірақ үлкен бұрышпен дене биігірек әрі ұзағырақ ұшады. Мұны сахна астындағы оң жақ графиктен көруге болады: L(θ) қисығы 45°-қа қатысты симметриялы. Егер h₀ биіктіктен лақтырса, ең тиімді бұрыш 45°-тан кіші болады: 10 м мұнарадан v₀ = 20 м/с жылдамдықпен 39,3° бұрышпен лақтырған тиімді, сонда дене жерден лақтырғандағы 40,8 м-дің орнына 49,8 м ұшады.

Биіктіктен лақтыру және горизонталь лақтыру. Егер денені h₀ биіктіктен лақтырса, ұшу уақытын y(T) = 0 теңдеуінен табады: T = (v₀ᵧ + √(v₀ᵧ² + 2gh₀))/g, ал қашықтық бұрынғыдай L = v₀ₓ·T. Мұнда L = v₀²·sin 2θ / g формуласы енді жарамайды. Горизонталь лақтыруда (θ = 0) басында тік жылдамдық жоқ, сондықтан дене жай жіберілгендегідей дәл сонша уақыт құлайды: T = √(2h₀/g). 20 м биіктіктен бұл кез келген горизонталь жылдамдықта 2,02 с. «Лақтыру мен құлау» тәжірибесімен тексер.

Басқа планеталар және ауа. Барлық формулада g бөлімінде тұр. Айда g = 1,62 м/с², Жердегіден 6 есе аз, сондықтан сол жылдамдықпен лақтырылған дене 6 есе биік әрі 6 есе алыс ұшады. Юпитерде (g = 24,8 м/с²) керісінше — 2,5 есе жақын. Нақты ауада доп парабола бойымен ұшпайды: кедергі оның жылдамдығын азайтады, түсер кезде траектория тіктеу болады, ал қашықтық айтарлықтай қысқарады. 25 м/с жылдамдықпен 45° бұрышпен тебілген футбол добы вакуумда 63,8 м ұшар еді, ал ауада — шамамен 40 м. Ол үшін ең тиімді бұрыш енді 45° емес, шамамен 41–43°. «Ауадағы доппен салыстыру» режимін қосып, қызғылт сары қисыққа қара.

Есептердегі жиі қателер. Ең жоғарғы нүктеде жылдамдық нөлге тең деп есептейді, ал шын мәнінде тек vᵧ нөлге тең. Ең жоғарғы нүктеде үдеу де жоғалады деп ойлайды, ал ол үнемі g-ға тең. Синус пен косинусты шатастырады: горизонталь проекция — v₀·cos θ, тік проекция — v₀·sin θ (бұрыш көкжиектен өлшенеді). T = 2v₀·sin θ / g және L = v₀²·sin 2θ / g формулаларын биіктіктен лақтыруға қолданады. Горизонталь жылдамдық құлау уақытына әсер етпейтінін ұмытады.

Симулятор қалай жасалған. Дененің орны мен жылдамдығы кадр бойынша жуықтап емес, x(t) және y(t) дәл формулаларымен есептеледі, сондықтан таблодағы сандар оқулықпен соңғы таңбасына дейін сәйкес келеді және көрсету жылдамдығына тәуелді емес. Ең жоғарғы нүкте мен жерге түсу сәті дәл есептеледі. Доптың ауадағы ұшуы (массасы 0,43 кг, диаметрі 22 см) 4-ретті Рунге — Кутта әдісімен сандық есептеледі. Түтін, ұшқын және шаң — тек әшекей, есептеуге әсер етпейді. Жерде g = 9,8 м/с² деп алынған.