Орбиталар және ғарыштық жылдамдықтар: Ньютон тауы

Зеңбіректі биік таудың басына қойып, горизонталь бағытта ат, әр жолы жылдамырақ. Баяу ядро таудың жанына түседі, жылдам ядро алысырақ ұшады. Бір сәтте планетаның беті ядроның астынан ол құлағандай жылдамдықпен «кетіп қалады» — ядро енді ешқашан құламайды. Бұл бірінші ғарыштық жылдамдық v₁, ядро шеңбер бойымен ұшады. Одан да жылдам атсаң, орбита эллипске созылады, ал екінші ғарыштық жылдамдықта v₂ = √2·v₁ дене планетадан біржола ұшып кетеді. Үзік сызық ядроның қайда ұшатынын алдын ала көрсетеді; барлық жағдайды бірден көру үшін «Ньютон желпуішін» бас, ал Кеплердің екінші заңын тексеру үшін «тең аудандарды» қос.

планетаға құлау шеңбер (v₀ = v₁) эллипс парабола (v₀ = v₂) гипербола (v₀ > v₂) траектория болжамы →v— жылдамдық →F— тартылыс күші (планета центріне)

Зеңбірек горизонталь атады. Тартылыс күші әрқашан планета центріне бағытталған және жылдамдықтың бағытын бұрады; ядро жақындағанда F нұсқамасы 1/r² заңымен ұзарады. Ауа жоқ, планета айналмайды — Ньютонның ойша тәжірибесіндегідей.

Планета

h таудың биіктігі 400

v₀ атыс жылдамдығы 7.30

v₁v₂

Көрсету жылдамдығы

Траектория болжамы (үзік сызық)

v және F векторлары

Тең аудандар (Кеплердің 2-заңы)

«= v₁» және «= v₂» батырмалары ағымдағы биіктік үшін жылдамдықтың дәл мәнін қояды. Қозғалыс дәл формулалармен (Кеплер теңдеуі) есептеледі, сондықтан шеңбер «жайылмайды», ал көрсету жылдамдығы сандарға әсер етпейді.

v₁ = √(GM/(R+h))

v₂ = √2·v₁

v₀ / v₁

e — эксцентриситет

перицентр биіктігі

апоцентр биіктігі

a — үлкен жарты ось

T — период

E/m = v²/2 − GM/r

T²/a³

Есепті шығар, жауапты енгізіп, «Тексеру» батырмасын бас — симулятор бұл жағдайды бірден атыспен көрсетеді.

Ұшу графиктері

Ядроның жылдамдығы, биіктігі және энергиясы уақытқа тәуелді. Перицентрде жылдамдық ең үлкен, апоцентрде — ең кіші. Кинетикалық және потенциалдық энергиялар бір-біріне ауысады, ал толық E тұрақты: E < 0 — эллипс, E = 0 — парабола, E > 0 — гипербола.

Бұл ойша тәжірибені Исаак Ньютонның өзі ойлап тапқан. «Әлем жүйесі туралы» кітабында (1728 жылы, ол қайтыс болғаннан кейін жарияланған) ол таудың суретін салған: тастан барған сайын күштірек лақтырады, тас алысырақ түседі, ақыры Жерді айналып шығып, таудың басына қайта оралады. Ньютон осылай Айдың неліктен Жерге құламайтынын түсіндірді: ол да үнемі «құлап» келеді, бірақ бүйірге соншалықты жылдам ұшатындықтан, Жерге тимей өтіп кетеді. Шамамен 230 жылдан кейін Ньютонның суреті шындыққа айналды. 1957 жылғы 4 қазанда Қазақстандағы Байқоңырдан Жердің алғашқы жасанды серігі ұшырылды, ал 1961 жылғы 12 сәуірде дәл сол жерден Юрий Гагарин ұшты: оның «Востогы» планетаны 108 минутта айналып шықты. 1959 жылғы қаңтарда «Луна-1» станциясы алғаш рет екінші ғарыштық жылдамдыққа жетіп, Жерден біржола кетті және Күн жүйесінің жасанды планетасына айналды.

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Бірінші ғарыштық жылдамдық

$$\frac{GMm}{(R+h)^2} = \frac{mv_1^2}{R+h} \;\Rightarrow\; v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}, \qquad v_1\big|_{h=0} = \sqrt{gR}$$

G = 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг² — гравитациялық тұрақты; M мен R — планетаның массасы мен радиусы; h — орбитаның беттен биіктігі; g = GM/R² — беттегі еркін түсу үдеуі; Жер бетінде √(gR) ≈ 7,9 км/с

▶ Толық түсіндірме

Бірінші ғарыштық жылдамдық — горизонталь атылған дене планетаны шеңбер бойымен айналатын жылдамдық. Мұнда тартылыс күші толығымен центрге тартқыш күштің рөлін атқарады: ол жылдамдықтың модулін өзгертпейді, тек бағытын бұрады. Нәтижесінде радиусы r = R + h шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалыс шығады.

Жер үшін (GM = 3,986·10¹⁴ м³/с², R = 6 371 км) бетте v₁ = √(3,986·10¹⁴ / 6,371·10⁶) ≈ 7,91 км/с. ХҒС биіктігінде 400 км: v₁ = √(3,986·10¹⁴ / 6,771·10⁶) ≈ 7,67 км/с. Орбита неғұрлым биік болса, v₁ соғұрлым аз: 36 000 км биіктіктегі серік (геостационар орбита) небәрі 3,07 км/с жылдамдықпен қозғалады. Серіктің өз массасы формулаға кірмейді — бір биіктікте жеңіл және ауыр серіктер бірдей ұшады.

Екінші ғарыштық жылдамдық

$$\frac{mv_2^2}{2} - \frac{GMm}{R+h} = 0 \;\Rightarrow\; v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R+h}} = \sqrt{2}\,v_1$$

v₂ — дене планетадан біржола кететін ең кіші жылдамдық; v = v₂ болғанда траектория — парабола, v > v₂ болғанда — гипербола. Жер бетінде v₂ ≈ 11,2 км/с

▶ Толық түсіндірме

Планета өрісіндегі дененің потенциалдық энергиясы Eп = −GMm/r: ол теріс және шексіз алыстағанда нөлге ұмтылады. Ұшып кету үшін толық энергия нөлден кем болмауы керек: mv²/2 − GMm/r ≥ 0. Осыдан v₂ = √(2GM/r).

Мұнда жылдамдықтың бағыты маңызды емес: қай жаққа атсаң да (тек планетаға емес), v ≥ v₂ болғанда дене кетеді. Жер бетінде v₂ ≈ 11,2 км/с, Айда — 2,38 км/с, Юпитерде — 60 км/с. Егер v > v₂ болса, планетадан алыста денеде v∞ = √(v² − v₂²) жылдамдық қалады — басқа планеталарға ұшуды осылай есептейді.

Энергия және орбитаның пішіні

$$E = \frac{mv^2}{2} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2a}; \qquad E<0:\ e<1, \qquad E=0:\ e=1, \qquad E>0:\ e>1$$

a — үлкен жарты ось; e — орбитаның эксцентриситеті: e = 0 — шеңбер, 0 < e < 1 — эллипс, e = 1 — парабола, e > 1 — гипербола. Толық энергия сақталады

▶ Толық түсіндірме

Дене ұшып бара жатқанда оның кинетикалық және потенциалдық энергиялары бір-біріне ауысады, ал қосындысы өзгермейді (энергия графигінде — горизонталь сызық). Осы қосындының таңбасы дененің тағдырын анықтайды. E < 0 болғанда дене планетамен байланысты және эллипс бойымен қозғалады (шеңбер — дербес жағдай); E = 0 болғанда — парабола; E > 0 болғанда — гипербола бойымен.

Энергияның сақталу заңынан орбитадағы жылдамдық формуласы шығады: v² = GM(2/r − 1/a). Перицентрде r аз — жылдамдық ең үлкен, апоцентрде — ең кіші. Дөңгелек орбита үшін r = a, сонда v₁ шығады; a → ∞ болғанда v₂ шығады.

Кеплердің екінші заңы (аудандар заңы)

$$\frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{1}{2}\,r\,v_\perp = \text{const}$$

ΔS — «планета центрі — серік» кесіндісі Δt уақытта сызатын аудан; v⊥ — жылдамдықтың осы кесіндіге перпендикуляр құраушысы

▶ Толық түсіндірме

Аз Δt уақытта серік v·Δt-ға ығысады, ал планета центрінен жүргізілген кесінді ауданы ½·r·v⊥·Δt жіңішке үшбұрыш сызады. Тартылыс күші центрге бағытталған және момент тудырмайды, сондықтан импульс моменті L = m·r·v⊥ сақталады — демек, ауданның сызылу жылдамдығы орбитаның кез келген нүктесінде бірдей.

Симуляторда орбита 12 тең уақыт аралығына бөлінген, секторлар біреуінен кейін боялған. Перицентрде серік жылдам әрі жақын — сектор қысқа әрі кең, апоцентрде баяу әрі алыс — ұзын әрі жіңішке. Салынған секторлар бойынша өлшенген аудандар ½·r₀·v₀·Δt-ға тең.

Кеплердің үшінші заңы және айналу периоды

$$\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM}; \qquad e=0:\quad T = \frac{2\pi (R+h)}{v_1} = 2\pi\sqrt{\frac{(R+h)^3}{GM}}$$

T — айналу периоды; a — орбитаның үлкен жарты осі (дөңгелек орбита үшін, e = 0, a = R + h)

▶ Толық түсіндірме

Айналу периодтарының квадраттары үлкен жарты осьтердің кубтарындай қатынаста болады. T²/a³ қатынасы бір планетаның барлық серіктері үшін бірдей және тек оның массасына тәуелді — сондықтан Айдың периоды мен орбита радиусын өлшеп, Жерді «өлшеуге» болады.

Мысал: 400 км биіктікте (a = 6 771 км) T = 2π·√((6,771·10⁶)³ / 3,986·10¹⁴) ≈ 5 545 с ≈ 92 мин. Сол биіктіктен 9 км/с жылдамдықпен a ≈ 10 850 км және T ≈ 3 сағ 07 мин: үлкен жарты ось 1,6 есе, период 1,6^1,5 ≈ 2 есе өсті.

Жер серігі неге құламайды. Зеңбіректен ұшып шыққан ядроға тек планетаның центріне бағытталған тартылыс күші F = GMm/r² әсер етеді (Ньютонның тәжірибесіндегідей ауаның кедергісі ескерілмейді). Сондықтан ядро үнемі құлап келеді. Бірақ планетаның беті дөңгелек: ядро бүйірге ұшып бара жатқанда, оның астындағы жер төмен қарай «иіледі». Жылдамдық жеткілікті үлкен болса, ядро құлау уақытында бүйірге соншалықты ығысады, бетке дейінгі қашықтық өзгермейді. Ол құлап келеді, бірақ жерге түсе алмайды — бұл орбиталық қозғалыс. ХҒС-тағы ғарышкерлер салмақсыз, себебі олар станциямен бірге үздіксіз еркін құлап келеді.

Бірінші ғарыштық жылдамдық. Радиусы r = R + h дөңгелек орбитада тартылыс күші денеге центрге тартқыш үдеу береді: GMm/r² = mv²/r. Осыдан v₁ = √(GM/(R+h)). Жер бетінде (h = 0) бұл √(gR) ≈ 7,9 км/с, ХҒС биіктігінде (400 км) — 7,67 км/с, ал бір айналым шамамен 92 минутқа созылады. Орбита неғұрлым биік болса, қажетті жылдамдық соғұрлым аз, ал период соғұрлым үлкен. Айда v₁ небәрі 1,68 км/с, Юпитерде — 42 км/с.

Жылдамдық v₁-ден кіші. Ядро эллипстің бір бөлігімен қозғалады, атылған нүкте — центрден ең алыс нүкте (апоцентр). Егер бұл эллипс планетаның бетін қиса, ядро құлайды: 400 км биіктіктен v = 7,0 км/с жылдамдықпен — 12,6 минуттан кейін, 5 170 км ұшып, ал 7,5 км/с жылдамдықпен — 28 минуттан кейін, 12 280 км ұшып. Бірақ планетадан биікте v₁-ден баяу да ұшуға болады: 2 000 км биіктіктен 6,8 км/с жылдамдықпен атылған ядро (ол жерде v₁ = 6,90 км/с) құламайды — 1 530 км-ге дейін төмендеп, қайта оралады.

v₁ мен v₂ аралығында — эллипс. Енді атылған нүкте планетаға ең жақын нүкте (перицентр), ал орбита эллипске созылады, оның бір фокусында планетаның центрі жатады (Кеплердің бірінші заңы). 400 км биіктіктен 9 км/с жылдамдықпен серік 8 560 км-ге дейін көтеріліп, 3 сағ 07 минуттан кейін қайтып келеді. Энергияның сақталу заңы бойынша v²/2 − GM/r = const: алыстаған сайын дене баяулайды, жақындаған сайын үдейді.

Екінші ғарыштық жылдамдық. Біржола ұшып кету үшін кинетикалық энергия тартылысты жеңуге жетуі керек: mv²/2 ≥ GMm/r, яғни v ≥ v₂ = √(2GM/r) = √2·v₁. Жер бетінде v₂ ≈ 11,2 км/с. v = v₂ болғанда дене парабола бойымен ұшып кетеді, ал алыстағы жылдамдығы нөлге ұмтылады. v > v₂ болғанда траектория — гипербола, планетадан алыста денеде v∞ = √(v² − v₂²) жылдамдық қалады. Толық энергияға қарау ыңғайлы: E < 0 — дене планетамен байланысты (эллипс), E = 0 — парабола, E > 0 — гипербола.

Кеплер заңдары. «Тең аудандарды» қос: планета центрінен серікке дейінгі кесінді тең Δt уақыт аралықтарында тең аудандар сызады (екінші заң). Перицентр маңында сектор қысқа әрі кең, апоцентр маңында — ұзын әрі жіңішке. Бұл импульс моментінің сақталуының салдары: r·v⊥ = const. Үшінші заң: T²/a³ = 4π²/GM — бір планетаны айналатын барлық орбиталар үшін бірдей, бұл санды «Өлшеулер» бетінде әр түрлі атыстар үшін салыстыр.

Симулятор қалай есептейді. Қозғалыс қадаммен интегралданбайды, дәл есептеледі: жылдамдық пен биіктік бойынша орбитаның эксцентриситеті мен үлкен жарты осі табылады, ал t уақыттағы орын Кеплер теңдеуінен анықталады. Сондықтан дөңгелек орбита қанша айналым болса да мінсіз шеңбер болып қалады, ал құлау уақыты мен орны «ең жақын кадрда» емес, дәл табылады.

Не істеп көруге болады. 1) «v₁» батырмасын басып, ат — ядро T периодтан кейін тауға оралады. 2) Жылдамдықты 7-ден 11 км/с-қа дейін баяу жылжытып, үзік сызықтың доғадан шеңберге, эллипске және параболаға айналғанын бақыла. 3) 9,5 км/с жылдамдықта тең аудандарды қос. 4) Тауды 2 000 км-ге көтеріп тексер: жылдамдық 7,9 км/с-тан аз, бірақ ядро құламайды. 5) Тәжірибені Айда және Юпитерде қайтала. 6) «Өзіңді тексер» бетінде алдымен есепте, содан кейін атыспен тексер.