Архимед заңы

Динамометрге ілінген денені шүмегіне дейін толтырылған ыдысқа түсір де, ығыстырылған сұйықтың өлшеуіш стақанға қалай ағатынын бақыла. Дене қаншаға «жеңілдесе», сол сұйықтың салмағы да дәл сонша. Содан кейін жіпті қи — дене бата ма, қалқып шыға ма, әлде сұйықтың ішінде ілініп тұра ма, көресің.

Динамометрдің биіктігі (түсіру ↔ көтеру)

Дене

Дененің тығыздығы ρ 2700 кг/м³

Сұйық

Сұйықтың тығыздығы ρ 1000 кг/м³

Дененің көлемі V 1,0 л

Дененің пішіні

Күш көрсеткілері (P, Fₐ, T, N)

Сұйықтың денеге қысымы — Fₐ қайдан шығады

Баяу ×¼

Өзіңді тексер: сұрақ + тәжірибе

Ыдыс шүмекке дейін толтырылған: дене ығыстырған сұйықтың бәрі өлшеуіш стақанға ағады, ал таразы сол сұйықтың салмағын көрсетеді. g = 9,8 м/с². Күш көрсеткілері бір масштабта салынған.

Не істеп көруге болады:
1) «Динамометрмен тәжірибе» батырмасын бас та, тілшені бақыла: дене суға кіріп жатқанда көрсеткіш азаяды, ал толық батқанда өзгермей қалады.
2) Стақан астындағы таразының көрсеткішін Архимед күші Fₐ-мен салыстыр — олар тең.
3) «Сұйықтың қысымы» режимін қос: денеге астынан үстіңгі жағынан гөрі күштірек қысады — Fₐ осы айырмадан пайда болады.
4) Тығынды, мұзды немесе болатты таңда, «Босату» батырмасын бас та, ережені тексер: дененің тығыздығы сұйықтың тығыздығынан аз болса, ол жүзеді.

Сондай-ақ қара

Қатынас ыдыстарЕкі сұйығы бар U-түтік, әр пішінді ыдыстар және зонд-манометр: p = ρgh Паскаль заңы: Паскаль шарыПаскаль заңы: ағындар жан-жаққа бірдей атқылайды, p = F/S + ρgh Гидравликалық прессАвтокөлікті қолмен көтер, кірпішті жанш: F₂/F₁ = S₂/S₁ және «алтын ереже»

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Архимед күші

$$F_A = \rho_{\text{ж}}\,g\,V_{\text{погр}}$$

Ығыстырушы күш дене ығыстырған сұйықтың салмағына тең және жоғары бағытталған. ρ_ж (симуляторда ρ_с) — сұйықтың тығыздығы (дененің емес!), V_погр (V_бат) — дененің батқан бөлігінің көлемі, g = 9,8 м/с²

▶ Толық түсіндірме

Ығыстырылған сұйықтың массасы m_с = ρ_с·V_бат, оның салмағы m_с·g — бұл F_A. Формулаға дененің массасы да, тығыздығы да, тереңдік те кірмейді: тек сұйық пен батқан көлем маңызды.

Мысал: көлемі 1 л шар суға жартылай батқан. V_бат = 0,5 л = 5·10⁻⁴ м³, F_A = 1000·9,8·5·10⁻⁴ = 4,9 Н. Сол шарды сынапқа (13 600 кг/м³) толық батырса, F_A = 13 600·9,8·10⁻³ ≈ 133 Н. Симуляторда бұл сан ығыстырылған сұйық аққан стақанның астындағы таразы көрсеткішімен сәйкес келеді.

Архимед күші қайдан шығады: қысымдар айырмасы

$$F_A = (p_2 - p_1)\,S = \rho_{\text{ж}}\,g\,(h_2 - h_1)\,S = \rho_{\text{ж}}\,g\,V$$

p₁ = ρ_жgh₁ — жоғарғы жаққа түсетін қысым, p₂ = ρ_жgh₂ — төменгі жаққа, S — жақтың ауданы, (h₂ − h₁)·S = V — дененің көлемі

▶ Толық түсіндірме

Сұйық денеге жан-жағынан қысым түсіреді, ал қысым тереңдік артқан сайын өседі. Бүйір жақтарға түсетін қысым күштері тең және қарама-қарсы бағытталған — олар бірін-бірі теңгереді. Тереңірек жатқан төменгі жаққа сұйық жоғарғы жаққа қарағанда күштірек қысады. Осы күштердің айырмасы жоғары бағытталған — бұл ығыстырушы күш.

Мысал: қыры a = 10 см куб суға толық батқан, жоғарғы жағы h₁ = 5 см, төменгі жағы h₂ = 15 см тереңдікте. p₁ = 1000·9,8·0,05 = 490 Па, p₂ = 1000·9,8·0,15 = 1470 Па, S = 0,01 м². F_A = (1470 − 490)·0,01 = 9,8 Н = ρ_с·g·V. Кубты тереңірек түсірсең, екі қысым да бірдей шамаға өседі, ал айырмасы өзгермейді. Сондықтан Архимед күші тереңдікке тәуелді емес. Жақтардағы қысым көрсеткілерін көру үшін симуляторда «Сұйықтың қысымы» режимін қос.

Дененің сұйықтағы салмағы (динамометр көрсеткіші)

$$P_1 = P - F_A = (\rho_{\text{т}} - \rho_{\text{ж}})\,g\,V$$

P — дененің ауадағы салмағы, P₁ — дене сұйыққа толық батқандағы динамометр көрсеткіші; ρ_т — дененің тығыздығы. «Салмақ кемуі» P − P₁ Архимед күшіне тең

▶ Толық түсіндірме

Архимед күшін тәжірибеде осылай өлшейді: денені ауада, содан кейін сұйықта өлшеп, айырмасын табады. F_A = P − P₁. Дененің массасы өзгермейді — оның серіппені созатын күші ғана өзгереді.

Мысал: көлемі 1 л алюминий куб ауада P = 2700·9,8·0,001 = 26,5 Н тартады. Суда динамометр P₁ = (2700 − 1000)·9,8·0,001 = 16,7 Н көрсетеді. Демек, F_A = 26,5 − 16,7 = 9,8 Н. Стақанға аққан 1 л су дәл осынша тартады. Дене түбіне тиіп тұрса, салмақтың бір бөлігін түбі ұстайды да, динамометр P − F_A-дан аз көрсетеді.

Дененің салмағы

$$P = mg = \rho_{\text{т}}\,g\,V$$

m — дененің массасы, ρ_т — дене затының тығыздығы, V — оның толық көлемі. Салмақ дененің қандай сұйықта екеніне және қаншалықты батқанына тәуелді емес

▶ Толық түсіндірме

Денеге әсер ететін ауырлық күші mg әрқашан бірдей. Сұйықта ол емес, Архимед күші өзгереді — бату тереңдігі есебінен. Сондықтан жүзіп жүрген дене F_A салмағына теңесетін орынды табады.

Мысал: көлемі 2 л, тығыздығы 600 кг/м³ білеушенің массасы m = 600·0,002 = 1,2 кг, салмағы P = 1,2·9,8 ≈ 11,8 Н. Суда ол қалқып шығып, 60 %-ға батады: сонда V_бат = 1,2 л және F_A = 1000·9,8·0,0012 ≈ 11,8 Н. Симулятордағы P және F_A көрсеткілері бірдей ұзындыққа келеді.

Жүзіп жүрген дене: қандай бөлігі су астында

$$F_A = P \;\Rightarrow\; \frac{V_{\text{погр}}}{V} = \frac{\rho_{\text{т}}}{\rho_{\text{ж}}}$$

Жүзіп жүрген дене көлемінің бет астындағы үлесі дене тығыздығының сұйық тығыздығына қатынасына тең

▶ Толық түсіндірме

Жүзіп жүрген дене тепе-теңдікте: F_A = P. Формулаларды қоямыз: ρ_с·g·V_бат = ρ_д·g·V. g қысқарады, сонда V_бат/V = ρ_д/ρ_с. Бату тереңдігі дененің өлшеміне емес, тек тығыздықтардың қатынасына тәуелді: бір ағаштан жасалған кішкентай білеуше де, үлкен тақтай да бірдей үлеске батады.

Мысалдар: тығын (240 кг/м³) суда 24 %-ға батады, мұз (900 кг/м³) — 90 %-ға (судың үстінде тек 10 %, «айсбергтің ұшы» деген сөз осыдан). Ағаш (800 кг/м³) майда (900 кг/м³) 89 %-ға, болат (7800 кг/м³) сынапта (13 600 кг/м³) 57 %-ға батады. Тепе-теңдік орнықты: денені батырсаң, F_A өсіп, оны кері итереді; көтерсең, F_A азайып, дене қайта түседі. Симуляторда бұл бірте-бірте басылатын тербеліс болып көрінеді.

Денелердің жүзу шарты

$$\frac{V_{\text{погр}}}{V} = \min\left(1,\ \frac{\rho_{\text{т}}}{\rho_{\text{ж}}}\right)$$

ρ_т > ρ_ж — дене батады; ρ_т = ρ_ж — сұйықтың ішінде ілініп тұрады; ρ_т < ρ_ж — жартылай батып жүзеді (ρ_т — дене, ρ_ж — сұйық)

▶ Толық түсіндірме

Дененің салмағын P = ρ_д·g·V дене толық батқандағы ең үлкен Архимед күшімен F_A = ρ_с·g·V салыстырайық. Егер ρ_д > ρ_с болса, толық батқанда да F_A < P: дене түбіне кетеді, ал түбі оны N = P − F_A күшімен ұстап тұрады. Егер ρ_д = ρ_с болса, толық батқанда F_A = P, және дене қай тереңдікте қалдырса, сонда тұра береді. Торсылдағы бар балықтар және цистерналары толтырылған сүңгуір қайық осылай болады. Егер ρ_д < ρ_с болса, дене қалқып шығып, ρ_д/ρ_с үлесіне батып жүзеді.

Мысал: болат (7800 кг/м³) суда батады, ал сынапта (13 600 кг/м³) жүзеді. Қорғасын (11 300 кг/м³) да сынапта жүзеді, ал алтын (19 300 кг/м³) тіпті сынапта да батады. Сахнаның астындағы оң жақ график бәрін бірден көрсетеді: бірге дейін түзу (жүзеді), одан кейін 100 %-дағы көлденең сызық (батады).

Заң не дейді. Сұйыққа немесе газға батырылған кез келген денеге жоғары бағытталған ығыстырушы күш — Архимед күші әсер етеді. Ол дене ығыстырған сұйықтың салмағына тең: F_A = ρ_с·g·V_бат. Формулада дененің емес, сұйықтың тығыздығы және дененің тек батқан бөлігінің көлемі тұр. Дененің неден жасалғаны және қанша тартатыны Архимед күшіне әсер етпейді: көлемдері бірдей алюминий және қорғасын шарларды су бірдей күшпен ығыстырады.

Ығыстырушы күш қайдан шығады. Сұйықтағы қысым тереңдік артқан сайын өседі: p = ρ_с·g·h. Дененің төменгі жағы жоғарғы жағынан тереңірек, сондықтан сұйық астынан үстінен гөрі күштірек қысады. Бүйір жақтарға түсетін қысым күштері тең және бірін-бірі теңгереді. Айырма қалады: F_A = (p₂ − p₁)·S = ρ_с·g·(h₂ − h₁)·S = ρ_с·g·V. Мысал: қыры 10 см куб суға толық батқан, жоғарғы жағы 5 см тереңдікте. Үстіндегі қысым 490 Па, астындағы (15 см тереңдікте) 1470 Па. Айырма (1470 − 490)·0,01 м² = 9,8 Н — бұл дәл ρ_с·g·V = 1000·9,8·0,001. Мұны өз көзіңмен көру үшін симуляторда қысым көрсеткілерін қос.

Динамометрмен тәжірибе. Ауада динамометр дененің салмағын P көрсетеді. Денені сұйыққа түсіргенде көрсеткіш P − F_A-ға дейін азаяды: дене салмағын «жоғалтқандай» болады. Ығыстырылған сұйық шүмек арқылы стақанға ағады, ал стақан астындағы таразы оның салмағын көрсетеді — дәл сол F_A. Мысалы, көлемі 1 л алюминий куб 26,5 Н тартады, ал суда динамометр 16,7 Н көрсетеді. 9,8 Н айырма — стақанға аққан 1 л судың (1 кг) салмағы.

Тереңдіктің маңызы жоқ. Дене сұйыққа кіріп жатқанда V_бат өседі — F_A да өседі, ал динамометр көрсеткіші азаяды. Дене толық батқан соң, оны қаншалықты терең түсірсең де, F_A өзгермейді: қысым үстінен де, астынан да бірдей өседі, ал олардың айырмасы сол күйінде қалады. Мұны сахнаның астындағы сол жақ графиктен көруге болады: «толық» белгісінен кейін сызықтар көлденең жүреді.

Батады, жүзеді немесе ілініп тұрады. Салмақты P = ρ_д·g·V ең үлкен Архимед күшімен ρ_с·g·V (дене толық батқан) салыстырайық. Көлем мен g бірдей, сондықтан бәрін тығыздықтардың қатынасы шешеді. Егер ρ_д > ρ_с болса, дене батып, түбіне жатады, ал түбі оны N = P − F_A күшімен итереді. Егер ρ_д = ρ_с болса, дене сұйықтың ішінде кез келген тереңдікте ілініп тұрады. Егер ρ_д < ρ_с болса, дене қалқып шығып, F_A = P болатындай ғана батады: V_бат/V = ρ_д/ρ_с. Мұз (900 кг/м³) суда 90 %-ға, қарағай (500 кг/м³) 50 %-ға батады. Болат шар (7800 кг/м³) сынапта (13 600 кг/м³) 57 %-ы батып жүзеді, ал тығын сынапта небәрі 1,8 %-ға батады.

Бұл қайда кездеседі. Болат кеме жүзеді, өйткені оның корпусы қуыс: ол соншалық көп су ығыстырады, кеменің ішіндегі ауамен қоса орташа тығыздығы судың тығыздығынан аз болады. Сүңгуір қайық балласт цистерналарына су толтырып батады, ал суды сығылған ауамен үрлеп шығарып, қалқып шығады. Балық торсылдағының көлемін өзгертеді. Ареометр сұйық неғұрлым жеңіл болса, соғұрлым терең батады — оның көмегімен сүттің, аккумулятор қышқылының, антифриздің тығыздығын өлшейді. Архимед заңы газдарда да орындалады: ыстық ауа немесе гелий толтырылған әуе шары өзі ығыстырған ауадан жеңіл болғандықтан көтеріледі.

Есептердегі жиі қателер. F_A формуласына сұйықтың орнына дененің тығыздығын қояды. Жүзіп жүрген дене үшін батқан бөлігінің орнына толық көлем V алады. Тереңде ығыстырушы күш көп деп ойлайды. Дененің сұйықтағы салмағын (динамометр көрсеткіші P − F_A) Архимед күшімен шатастырады. Өзіңді «Өзіңді тексер» режимінде сына: әр жауаптан кейін симулятор тәжірибе жасап, шын мәнінде не болатынын көрсетеді.

Симулятор қалай жасалған. Ыдыс шүмегіне дейін толтырылған: дене ығыстырған сұйықтың бәрі өлшеуіш стақанға ағады. Сұйық деңгейі көлемнің сақталуынан дәл есептеледі. Дененің қозғалысында салмақ, Архимед күші, жіптің керілуі, сұйықтың кедергісі және түбіне соғылу ескерілген. Табло мен «Өлшеулер» панеліндегі сандар оқулықтағы формулалармен сәйкес келеді, g = 9,8 м/с².