Бірқалыпты үдемелі қозғалыс графиктері: x(t), v(t), a(t)

Бастапқы координатаны x₀, бастапқы жылдамдықты v₀ және үдеуді a бер — арба жүреді, ал оның астында үш график қатар сызыла бастайды: координата, жылдамдық және үдеу. Уақыт курсоры оларды байланыстырады: әр сәтте арбаның қайда тұрғаны, қаншалықты жылдам жүретіні және үдеудің қайда бағытталғаны көрінеді. Жылдамдық графигінің астындағы аудан көз алдыңда x(t) графигіндегі орын ауыстыруға айналады, ал x(t) параболасына жүргізілген жанаманың көлбеулігі жылдамдыққа тең. «Бұрылыс» сценарийін таңда — жол мен орын ауыстырудың неге бірдей емес екенін көресің. Тәжірибеден кейін графиктердің бойымен тінтуірді не саусақты жүргізіп, қозғалыстың кез келген сәтіне орал.

x— координата v— жылдамдық проекциясы a— үдеу проекциясы v > 0 аудан — алға жол v < 0 аудан — кері жол

v(t) астындағы таңбалы аудан орын ауыстыруға Δx тең (x(t) графигіндегі нұсқама), a(t) астындағы аудан — жылдамдық өзгерісіне Δv. x(t)-ға жүргізілген ақ жанаманың көлбеулігі жылдамдыққа тең. Арба астындағы жасыл және қызыл жолақтар — алға және кері жол, олардың ұзындығы сол түсті аудандарға тең.

x₀ бастапқы координата 0 м

v₀ бастапқы жылдамдық (проекция) 0.0 м/с

a үдеу (проекция) +2.0 м/с²

T тәжірибе уақыты 5.0 с

Тежегіш: v = 0 болғанда дене кері жүрмей, тоқтайды (a → 0)

Көрсету жылдамдығы

v(t) және a(t) графиктерінің астындағы аудандар

Көлбеулік: x(t) жанамасы және v(t)-дағы үшбұрыш

Стробоскоп (тең Δt сайын белгі)

Бірқалыпты қозғалыспен салыстыру (v = v₀)

Графиктер болжамы (үзік сызық)

Қозғалыс x = x₀ + v₀t + at²/2 және v = v₀ + at дәл формулаларымен есептеледі, сондықтан экрандағы сандар есептердің жауаптарымен сәйкес келеді, ал көрсету жылдамдығы оларға әсер етпейді. Жүгірткілер шарттарды өзгертіп, тәжірибені басына қайтарады.

t — уақыт

x — координата

v_x — жылдамдық

a_x — үдеу

Δx — орын ауыстыру

s — жол

Δx / t — орташа жылдамдық (таңбасымен)

s / t — орташа жол жылдамдығы

Есепті шығар, жауапты енгізіп, «Тексеру» батырмасын бас — симулятор бұл тәжірибені бірден көрсетеді.

Жүрілген жол жылдамдық графигінің астындағы ауданға тең деген ой Декарттың координаталар жүйесінен 300 жылға жуық бұрын пайда болған. 1330-жылдары Оксфордтағы Мертон колледжінің ғалымдары (Уильям Хейтсбери, Ричард Суайнсхед) «орташа жылдамдық ережесін» тұжырымдады: тыныштықтан бірқалыпты үдей қозғалған дене осы уақыт бойы орташа жылдамдықпен қозғалған денемен бірдей жол жүреді. Шамамен 1350 жылы француз ғалымы Николай Орем бұл ережені сызбамен дәлелдеді: көлденеңінен уақытты, тігінен жылдамдықты салып, жолдың шыққан үшбұрыштың ауданы екенін, ал ол биіктігі екі есе аз тіктөртбұрыштың ауданына тең екенін байқады. Бұл — ғылым тарихындағы алғашқы графиктердің бірі. 1638 жылы Галилей «Әңгімелер мен математикалық дәлелдемелер» еңбегінде Оремнің пайымдауын қайталап, одан заң шығарды: тыныштықтан қозғалғанда тізбектес тең уақыт аралықтарындағы жолдар 1 : 3 : 5 : 7 қатынасындай болады. «Орнынан үдеу» сценарийін таңдап, стробоскопты қос — Галилейді өзің тексер.

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Координата теңдеуі

$$x(t) = x_0 + v_{0x}\,t + \frac{a_x t^2}{2}$$

x₀ — бастапқы координата, v₀ₓ — бастапқы жылдамдық проекциясы, aₓ — үдеу проекциясы (тұрақты), t — қозғалыс басталғаннан бергі уақыт. x(t) графигі — парабола

▶ Толық түсіндірме

Формула үш сан белгілі болса, дененің кез келген сәттегі координатасын береді: дене басында қайда болды (x₀), қандай жылдамдықпен қозғалды (v₀ₓ) және қандай үдеумен қозғалады (aₓ). Үшеуі де таңбасымен алынады: вектор x осі бойымен бағытталса, проекция оң, оған қарсы бағытталса — теріс.

Мысал («Бұрылыс» сценарийі): x₀ = −4 м, v₀ = 6 м/с, a = −2 м/с². 3 с-тан кейін: x = −4 + 6·3 + (−2)·3²/2 = −4 + 18 − 9 = 5 м. 7 с-тан кейін: x = −4 + 42 − 49 = −11 м — арба бастау нүктесінен кері жаққа өтіп кетті. a = 0 болғанда формула бірқалыпты қозғалыс теңдеуіне x = x₀ + vt айналады, ал график түзу болады.

Жылдамдық және үдеу

$$v_x(t) = v_{0x} + a_x t, \qquad a_x = \frac{v_x - v_{0x}}{t} = \mathrm{const}$$

Жылдамдық сызықты өзгереді: v(t) графигі — түзу, оның көлбеулігі үдеуге aₓ тең. a(t) графигі — көлденең түзу

▶ Толық түсіндірме

Үдеу жылдамдықтың әр секунд сайын қаншаға өзгеретінін көрсетеді. a = 2 м/с² болғанда жылдамдық әр секунд сайын 2 м/с-қа артады, сондықтан v(t) графигі — көлбеулігі 2 (м/с)/с түзу. Симуляторда мұны сары үшбұрыш көрсетеді: көлденеңінен 1 с ішінде график дәл a-ға көтеріледі не төмендейді.

v мен a таңбалары бірдей болса, жылдамдық модулі артады (үдеу), қарама-қарсы болса — кемиді (тежелу). Тежелу кезінде жылдамдық нөлге жетіп, ал үдеу жойылмаса, жылдамдық проекциясы таңбасын өзгертеді — дене кері бұрылады. v(t) графигі уақыт осін жай ғана қиып өтеді, ал a(t) графигі өзгермейді.

Орын ауыстыру — жылдамдық графигінің астындағы аудан

$$\Delta x = x - x_0 = \frac{v_{0x} + v_x}{2}\,t, \qquad \Delta x = S_+ - S_-, \qquad s = S_+ + S_-$$

S₊ — v(t) графигінің астындағы v > 0 болатын аудан, S₋ — v < 0 болатын аудан. Орын ауыстыру таңбаны ескереді, жол s — ескермейді

▶ Толық түсіндірме

Бірқалыпты қозғалыста орын ауыстыру vt — жылдамдық графигінің астындағы тіктөртбұрыштың ауданы. Бұл кез келген қозғалыс үшін дұрыс: v(t) астындағы аудан орын ауыстыруға тең. Бірқалыпты үдемелі қозғалыста фигура — табандары v₀ мен v, биіктігі t трапеция, сондықтан Δx = (v₀ + v)/2 · t. Демек, a = const болғанда орташа жылдамдық бастапқы және соңғы жылдамдықтардың жарты қосындысына тең.

Дене кері бұрылса, графиктің бір бөлігі уақыт осінен төмен түседі. Бұл аудан — кері орын ауыстыру, ол «минус» таңбасымен алынады. Мысал: v₀ = 6 м/с, a = −2 м/с², t = 7 с. Бұрылысқа дейін (3 с) S₊ = 6·3/2 = 9 м, одан кейін (4 с, жылдамдық 0-ден −8 м/с-қа дейін) S₋ = 8·4/2 = 16 м. Орын ауыстыру Δx = 9 − 16 = −7 м, жол s = 25 м. Формуламен тексеру: Δx = (6 + (−8))/2 · 7 = −7 м.

Уақытсыз формула

$$v_x^2 - v_{0x}^2 = 2a_x\,\Delta x$$

Уақыт белгісіз немесе қажет емес кезде жылдамдықтар мен орын ауыстыруды байланыстырады. Тоқтағанға дейінгі тежелу жолы: s = v₀²/(2|a|)

▶ Толық түсіндірме

Формула v = v₀ + at және Δx = (v₀ + v)/2 · t теңдеулерінен уақытты шығарып тастағанда шығады: t = (v − v₀)/a, онда Δx = (v + v₀)(v − v₀)/(2a) = (v² − v₀²)/(2a).

Негізгі қолданысы — тежелу жолы. 10 м/с жылдамдықпен келе жатқан машина 2,5 м/с² үдеумен тежеледі: тоқтағанға дейін (v = 0) ол s = 10²/(2·2,5) = 20 м жүреді. Мұны «Автомобильдің тежелуі» сценарийінен көруге болады. Маңыздысы: тежелу жолы жылдамдықтың квадратына пропорционал өседі — жылдамдық екі есе артса, ол төрт есе ұзарады. Сондықтан жылдамдықты асыру өте қауіпті. «Өлшеулер» панелінде симулятор бұл формуланы қозғалыстың әр сәтінде тексереді.

Бұрылыс сәті және параболаның төбесі

$$t^{*} = -\frac{v_{0x}}{a_x}, \qquad x^{*} = x_0 - \frac{v_{0x}^2}{2a_x}$$

Егер v₀ мен a қарама-қарсы бағытталса, t* сәтінде жылдамдық нөлге тең, ал x* координатасы ең үлкен не ең кіші болады. Бұл нүктеде x(t) жанамасы көлденең

▶ Толық түсіндірме

Бұрылыс сәті v = 0 шартынан табылады: v₀ + at* = 0, бұдан t* = −v₀/a. t*-ты координата теңдеуіне қойсақ, параболаның төбесі шығады: x* = x₀ − v₀²/(2a). «Бұрылыс» сценарийі үшін: t* = −6/(−2) = 3 с, x* = −4 − 36/(2·(−2)) = −4 + 9 = 5 м.

Ең жиі қате — бұрылыс сәтінде дене «тұрып қалады» және үдеу нөлге тең деп ойлау. Жоқ: жылдамдық тек бір сәтке ғана нөлге тең, ал үдеу әрдайым бірдей, сондықтан дене бірден кері қозғала бастайды. Жоғары лақтырылған доп осылай қозғалады: ең жоғарғы нүктеде v = 0, бірақ a = g. Машина басқаша қозғалады: тоқтағаннан кейін тежегіш оны тыныштық үйкеліс күшімен ұстап тұрады, үдеу нөлге айналады және машина кері жүрмейді — a(t) графигіндегі айырмашылықты көру үшін «Тежегішті» қос.

Галилейдің тақ сандар ережесі

$$s_1 : s_2 : s_3 : s_4 : \ldots = 1 : 3 : 5 : 7 : \ldots \;(v_0 = 0), \qquad \Delta x_{n+1} - \Delta x_n = a\,\Delta t^2$$

sₙ — тыныштықтан бастағанда n-ші тең Δt уақыт аралығындағы жол. Кез келген бірқалыпты үдемелі қозғалыста көрші аралықтардағы орын ауыстырулар aΔt²-ге өзгеше

▶ Толық түсіндірме

Тыныштықтан бастағанда t уақытта жүрілген жол at²/2, яғни уақыттың квадратымен өседі: 1, 2, 3, 4 аралықта — 1, 4, 9, 16 «бірлік». Демек, әр келесі аралықта 1, 3, 5, 7 бірлік қосылады — тақ сандар. Галилей бұл ережені шарларды көлбеу науамен домалатып ашты және оны бірқалыпты үдемелі қозғалыстың басты белгісі деп санады.

Жалпырақ ереже кез келген бастапқы жылдамдықта орындалады: көрші тең Δt аралықтардағы орын ауыстырулар дәл aΔt²-ге өзгеше. «Бұрылыс» сценарийінде (a = −2 м/с², Δt = 1 с) стробоскоп +5, +3, +1, −1, −3 м орын ауыстыруларды береді: әрқайсысы алдыңғысынан 2 м кем. Зертханада стробоскопиялық фотосуреттер бойынша үдеуді осылай анықтайды: a = (Δx₂ − Δx₁)/Δt².

Бірқалыпты үдемелі қозғалыс деген не. Дененің жылдамдығы кез келген тең уақыт аралықтарында бірдей өзгерсе, қозғалыс бірқалыпты үдемелі деп аталады. Бұл кезде үдеу a = (v − v₀)/t тұрақты. Жоғары лақтырылған немесе ауа кедергісіз құлаған дене, бірқалыпты үдеген автомобиль, мұз бетімен тоқтағанша сырғыған шайба осылай қозғалады. Есептерде барлық шамалар x осіне проекциямен алынады: вектор оске қарсы бағытталса, оның проекциясы теріс. Сондықтан симулятордағы vₓ пен aₓ «минус» таңбасымен де болады.

Үш график — бір қозғалыс. Үдеу графигі a(t) — көлденең түзу. Жылдамдық графигі v(t) = v₀ + at — көлбеу түзу, оның көлбеулігі үдеуге тең: әр секунд сайын жылдамдық a-ға өзгереді (графиктегі сары үшбұрыш). Координата графигі x(t) = x₀ + v₀t + at²/2 — парабола: a > 0 болғанда оның тармақтары жоғары, a < 0 болғанда төмен бағытталған. Параболаға кез келген нүктеде жүргізілген жанаманың көлбеулігі сол сәттегі жылдамдыққа тең (ақ сызық). v = 0 болған жерде жанама көлденең — бұл параболаның төбесі және бұрылыс сәті t* = −v₀/a.

Жылдамдық графигінің астындағы аудан — орын ауыстыру. Орын ауыстыру Δx = x − x₀ v(t) графигінің астындағы фигураның ауданына тең. Бірқалыпты үдемелі қозғалыс үшін бұл — трапеция: Δx = (v₀ + v)/2 · t. Уақыт осінен жоғары аудан (v > 0, жасыл) «плюс» таңбасымен, остен төмен аудан (v < 0, қызыл) «минус» таңбасымен алынады. Жол — аудандардың таңбасыз қосындысы. «Бұрылыс» сценарийінде (x₀ = −4 м, v₀ = 6 м/с, a = −2 м/с²) арба 3 с алға жүріп, S₊ = 9 м жол жүреді, ал келесі 4 с кері жүріп, S₋ = 16 м жүреді. Орын ауыстыру Δx = 9 − 16 = −7 м, ал жол s = 9 + 16 = 25 м. Дәл осылай a(t) графигінің астындағы аудан жылдамдықтың өзгерісіне Δv тең.

Өзің байқап көр. 1) «Орнынан үдеу» сценарийі (a = 2 м/с²): стробоскоп арбаны әр секунд сайын белгілейді, ал жол кесінділері 1, 3, 5, 7, 9 м — тақ сандар ережесі. 2) «Автомобильдің тежелуі»: v₀ = 10 м/с және a = −2,5 м/с² болғанда машина 4 с-тан кейін v₀²/(2|a|) = 20 м жүріп тоқтайды да, одан әрі тұрып қалады — тежегіш оны тыныштық үйкеліс күшімен ұстап тұрады. «Тежегіш» белгісін алып таста — арба кері жүреді: жоғары лақтырылған тас осылай қозғалады. 3) «Бірқалыпты қозғалыспен салыстыру» опциясын қос: күлгін арба тұрақты v₀ жылдамдықпен жүреді, ал олардың арасындағы алшақтық дәл at²/2 заңымен өседі.

Жиі кездесетін қателер. Бұрылыс сәтінде үдеу де нөлге тең деп ойлау: шын мәнінде v = 0, ал a өзгермейді, сондықтан дене бірден кері қозғала бастайды. Дене кері бұрылғанда жол мен орын ауыстыруды шатастыру. x(t) графигін траектория деп қабылдау: арба түзу бойымен жүреді, ал парабола — координатаның уақытқа тәуелділігі. «Өзіңді тексер» қосымша бетіндегі есептерді шығар — жауаптан кейін симулятор сол тәжірибені бірден көрсетеді.