Рычаг ережесі және қарапайым механизмдер

Рычагқа жүктерді іліп, оның тепе-теңдікте тұратын орнын тап: ұзын иіндегі бір жүк қысқа иіндегі бірнеше жүкті ұстап тұрады. M₁ және M₂ күш моменттерін салыстыр — осьтің жанындағы доғалар қайсысы үлкен екенін көрсетеді. Рычагты динамометрмен көлбеу тартып, күштің иіні қысқарғанда күштің қалай өсетінін көр. Содан кейін жүкті қозғалмайтын блокпен, жылжымалы блокпен және полиспастпен көтер: динамометр күштен неше есе ұтқаныңды, ал өлшегіш таспалар қашықтықтан неше есе ұтылғаныңды көрсетеді. Бұл — механиканың «алтын ережесі».

↓F₁, l₁, M₁— сол жақ жүк, оның иіні мен моменті ↓F₂, l₂, M₂— оң жақ жүк, оның иіні мен моменті →F— қолдың күші (динамометр көрсетуі) ↓P— жүктің салмағы ↑F— арқанның керілуі — бүкіл бойында бірдей ↕h, s— жүктің жолы және қолдың жолы

Түрлі түсті кесінді — күш иіні: осьтен күштің әсер ету сызығына (үзік сызық) дейінгі ең қысқа қашықтық. Осьтің жанындағы доғалар — M₁ және M₂ моменттері, олардың ұзындығы моменттерге пропорционал. Жүктер мен динамометрді рычаг бойымен тінтуірмен сүйреуге болады.

Механизм

Сол иін

F₁ 102 г-дық жүктер 3 × 1 Н

l₁ осьтен ілу нүктесіне дейінгі қашықтық 20 см

Оң иін

F₂ 102 г-дық жүктер 2 × 1 Н

l₂ осьтен ілу нүктесіне дейінгі қашықтық 20 см

Күш векторлары

Иіндер, әсер ету сызықтары және моменттер

Әр жүктің массасы мектеп зертханалық жинағындағыдай 102 г: оның салмағы 0,102 кг · 9,8 Н/кг ≈ 1 Н. Рычагтағы тесіктер 5 см сайын. Жүктерді жылжытқанда рычагты тіреулер ұстайды, содан кейін ол өзі босатылады.

F₁

l₁

M₁ = F₁l₁

Есепті шығарып, жауапты енгіз де, «Тексеру» батырмасын бас — қондырғы тәжірибені сенің деректеріңмен қайталайды.

Графиктер

Сол жақта — тепе-теңдік үшін қандай күш керек (рычагта — F = M/l гиперболасы: иін неғұрлым ұзын болса, күш соғұрлым аз; блоктарда — механизмдерді салыстыру). Оң жақта — «алтын ереже»: рычаг бұрылғандағы екі күштің жұмысы немесе жүкті көтергендегі пайдалы және жұмсалған жұмыс.

Рычаг — ең көне механизмдердің бірі: оны физика ғылымы пайда болмай тұрып-ақ пирамида құрылысшылары мен диірменшілер қолданған. Рычаг ережесін алғаш рет қатаң түрде б. з. д. III ғасырда Архимед «Жазық фигуралардың тепе-теңдігі туралы» еңбегінде дәлелдеді. Оған мына сөздер телінеді: «Маған тірек нүктесін беріңдер, мен Жерді орнынан қозғаймын». Яков Перельман «Қызықты механика» кітабында мұның неге түсетінін есептеген. Архимед 60 кг көтере алады делік, ал Жердің массасы 6·10²⁴ кг, яғни 10²³ есе көп. Жерді небәрі 1 см көтеру үшін рычагтың оның ұшы 10²³ есе ұзақ жол — 10¹⁸ км жүруі керек. Рычагты 1 м/с жылдамдықпен қозғаса, Архимедке шамамен 30 триллион жыл қажет болар еді. Күштен ұтыс әрқашан қашықтықтан ұтылумен өтеледі. Плутархтың айтуынша, Архимед қарапайым механизмдердің күшін бәрібір көрсеткен: блоктар жүйесінің көмегімен ол көп адам жағаға сүйрей алмаған жүкті кемені жалғыз өзі орнынан қозғаған.

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Күш моменті

$$M = F\,l, \qquad [M] = \text{Н}\cdot\text{м}$$

F — күштің модулі, Н; l — күш иіні, м: айналу осінен күштің әсер ету сызығына дейінгі ең қысқа қашықтық

▶ Толық түсіндірме

Күш моменті күштің денені осьті айнала қаншалықты күшті бұратынын көрсетеді. Бір күштің әсер ету сызығы осьтен неғұрлым алыс өтсе, ол рычагты соғұрлым күшті айналдырады. Сондықтан есіктің тұтқасын есіктің шетіне орнатады, ал сомынды ұзын кілтпен бұрау оңай.

Иін — күш түсірілген нүктеге дейінгі қашықтық емес, осьтен күштің әсер ету сызығына түсірілген перпендикулярдың ұзындығы. Осьтен 40 см қашықтықта бекітілген динамометрді тік бағытқа 60° бұрышпен тартсақ, иін 20 см-ге дейін кемиді. Момент өзгермеуі үшін күш екі есе артуы керек. Әсер ету сызығы ось арқылы өтетін күш момент тудырмайды: оның иіні нөлге тең.

Рычаг ережесі (тепе-теңдік шарты)

$$M_1 = M_2 \quad\Leftrightarrow\quad F_1 l_1 = F_2 l_2 \quad\Leftrightarrow\quad \frac{F_1}{F_2} = \frac{l_2}{l_1}$$

Сағат тіліне қарсы айналдыратын момент сағат тілімен айналдыратын моментке тең болса, рычаг тепе-теңдікте болады. Күштер өз иіндеріне кері пропорционал

▶ Толық түсіндірме

Мысал: сол жақта осьтен l₁ = 20 см қашықтықта әрқайсысы 1 Н үш жүк ілулі (F₁ = 3 Н). Момент M₁ = 3 Н · 0,20 м = 0,60 Н·м. Оң жақтағы екі жүк (F₂ = 2 Н) рычагты M₂ = M₁ болғанда, яғни l₂ = M₁/F₂ = 0,60/2 = 0,30 м = 30 см болғанда теңгереді.

Рычагтың бір жағына бірнеше күш әсер етсе, олардың моменттері қосылады. Тепе-теңдікте рычаг тек горизонталь емес, кез келген күйде тыныштықта қалады: бұрылғанда екі иін де бірдей есе кемиді. Горизонталь күй ыңғайлы, өйткені иіндер рычагтағы бөліктерден бірден көрінеді.

Қозғалмайтын блок

$$F = P, \qquad s = h$$

P — жүктің салмағы, F — арқанды тартатын күш, s — арқан ұшының жолы, h — жүктің көтерілу биіктігі. Қозғалмайтын блок тек күштің бағытын өзгертеді

▶ Толық түсіндірме

Қозғалмайтын блок — иіндері тең рычаг: блоктың осі тірек нүктесі болады, ал екі күштің иіні де блоктың радиусына R тең. Рычаг ережесінен F·R = P·R, демек F = P. Арқанның керілуі оның бүкіл бойында бірдей, сондықтан күш арқанды қандай бұрышпен тартуға тәуелді емес.

Есесіне қозғалмайтын блок өз салмағыңды пайдаланып төмен немесе бүйірге тартуға мүмкіндік береді, ал жүк жоғары көтеріледі. Ту діңгегі, жалюзи, құдықтан шелек тартатын қондырғы осылай жасалған.

Жылжымалы блок және полиспаст

$$F = \frac{P}{n}, \qquad s = n\,h$$

n — жүгі бар жылжымалы блок ілінген арқан бөліктерінің саны (жылжымалы блок: n = 2). Күштен n есе ұтыс қашықтықтан n есе ұтылумен қатар жүреді

▶ Толық түсіндірме

Жылжымалы блоктағы жүк бір арқанның екі бөлігінде ілулі тұрады, әрқайсысының керілуі F-ке тең. Блоктың тепе-теңдік шарты: 2F = P, бұдан F = P/2. Рычаг ережесі де осыны береді: тірек нүктесі — арқан блокқа сол жақтан тиетін жер, жүк салмағының иіні R-ге, ал F күшінің иіні 2R диаметрге тең.

Жылжымалы блоктың өз салмағы P_бл болса, оны да көтеруге тура келеді: F = (P + P_бл)/n. Мысал: 20 кг жүк (P = 196 Н) және 1 кг жылжымалы блок (9,8 Н) 98 Н-ның орнына F = 205,8/2 ≈ 103 Н береді, ПӘК ≈ 95 %. Жылжымалы блокты жиі қозғалмайтын блокпен біріктіреді: күштен ұтыс сол күйі, бірақ төмен тарту ыңғайлы. Екі жылжымалы және екі қозғалмайтын блоктан тұратын полиспаст (n = 4) 40 кг жүкті шамамен 100 Н күшпен көтеруге мүмкіндік береді.

Механиканың «алтын ережесі»

$$F\,s = P\,h \qquad \frac{P}{F} = \frac{s}{h}$$

Қарапайым механизмдер жұмыстан ұтыс бермейді: күштен неше есе ұтсақ, қашықтықтан сонша есе ұтыламыз

▶ Толық түсіндірме

Рычаг үшін: ол кішкене бұрышқа бұрылғанда иіндердің ұштары иіндерге пропорционал жол жүреді: h₁/h₂ = l₁/l₂. Рычаг ережесімен F₁l₁ = F₂l₂ бірге бұл F₁h₁ = F₂h₂ береді — екі күштің жұмысы тең. Мысалы, 20 см-дегі 3 Н мен 30 см-дегі 2 Н теңгерілгенде рычагты 15°-қа бұру сол жүкті 5,2 см көтереді, ал оң жүк 7,8 см төмендейді: 3·0,052 ≈ 2·0,078 ≈ 0,16 Дж.

Жылжымалы блок үшін: жүкті h биіктікке көтеру үшін арқанның екі бөлігінің әрқайсысы h-қа қысқаруы керек, сондықтан арқан ұшы s = 2h жол жүреді. Қолдың жұмысы F·s = (P/2)·2h = P·h. Бұл ережені ежелгі ғалымдар (Александриялық Герон) тұжырымдаған, ал Галилей мен Стевин қатаң негіздеген.

Қарапайым механизмнің ПӘК-і

$$\eta = \frac{A_{\text{п}}}{A_{\text{з}}}\cdot 100\% = \frac{P\,h}{F\,s}\cdot 100\%$$

Aп = P·h — пайдалы жұмыс (жүкті көтеру), Aз = F·s — жұмсалған жұмыс (қолдың жұмысы). Нақты механизмде η < 100 %

▶ Толық түсіндірме

Жұмсалған жұмыс әрқашан пайдалы жұмыстан үлкен: оның бір бөлігі жылжымалы блокты көтеруге, осьтегі үйкеліске және арқанның иілуіне жұмсалады. Салмағы P_бл жылжымалы блок үшін үйкеліссіз η = P/(P + P_бл). 2 кг блоктағы 5 кг жүк: η = 49/(49 + 19,6) ≈ 71 %. Сол блоктағы 50 кг жүк: η ≈ 96 %.

ПӘК 100 %-дан артық бола алмайды: әйтпесе механизм жұмыстан ұтыс берер еді, ал бұл «алтын ережеге» және энергияның сақталу заңына қайшы.

Қарапайым механизмдер. Күшті түрлендіретін — оның модулін немесе бағытын өзгертетін құрылғыларды қарапайым механизмдер деп атайды. Оларға рычаг, блок, шығыр, көлбеу жазықтық, сына және бұранда жатады. Олардың көмегімен адам қолмен қозғай алмайтын жүктерді көтеріп, орнынан жылжытады. Бұл симуляторда рычаг пен блоктар жинақталған.

Рычаг және күш иіні. Рычаг — қозғалмайтын тіректі айнала алатын қатты дене. Күш иіні l — тірек нүктесінен күш әсер ететін түзуге (күштің әсер ету сызығына) дейінгі ең қысқа қашықтық. Жүк горизонталь рычагқа ілулі тұрса, иін осьтен ілу нүктесіне дейінгі қашықтыққа тең. Ал динамометрмен көлбеу тартсаң, иін қысқарады да, рычагты ұстап тұру үшін үлкенірек күш керек болады. Симуляторда иін түрлі түсті кесіндімен, ал күштің әсер ету сызығы үзік сызықпен салынған.

Күш моменті және рычаг ережесі. Күштің айналдырушы әсері оның модуліне ғана емес, иініне де байланысты. Оны күш моменті M = F·l сипаттайды, ол ньютон-метрмен (Н·м) өлшенеді. Рычагты сағат тіліне қарсы айналдыратын күштің моменті оны сағат тілімен айналдыратын күштің моментіне тең болса, рычаг тепе-теңдікте болады: M₁ = M₂, яғни F₁l₁ = F₂l₂. Бұдан F₁/F₂ = l₂/l₁: рычагқа әсер ететін күштер олардың иіндеріне кері пропорционал. 40 см иіндегі салмағы 1 Н жүк 5 см иіндегі 8 Н-ды теңгереді. Моменттер тең болмаса, рычаг үлкен момент жағына бұрылады.

Қозғалмайтын және жылжымалы блок. Блок — арқан асылған науалы дөңгелек. Қозғалмайтын блоктың осі бекітілген, ол күштен ұтыс бермейді: F = P. Есесіне ол күштің бағытын өзгертеді — төмен не бүйірге тартсаң, жүк жоғары көтеріледі. Қозғалмайтын блок — иіндері тең рычаг, әр иіні блоктың радиусына тең. Жылжымалы блок жүкпен бірге көтеріледі. Жүкті арқанның екі бөлігі ұстап тұрады, әрқайсысы F күшпен керілген, сондықтан 2F = P және F = P/2 — күштен 2 есе ұтыс. Жылжымалы блок — иіндері 2R және R болатын рычаг. Жүкті арқанның n бөлігі ұстайтын полиспаст күштен n есе ұтыс береді.

Механиканың «алтын ережесі». Ешбір қарапайым механизм жұмыстан ұтыс бермейді: күштен неше есе ұтсақ, қашықтықтан сонша есе ұтыламыз. Блоктар үшін F·s = P·h, мұндағы s — арқан ұшының жүрген жолы, h — жүктің көтерілу биіктігі. Жылжымалы блокпен жүкті 40 см көтеру үшін арқанды 80 см, ал төрт жіпті полиспастпен 1,6 м тарту керек. Рычаг бұрылғанда күштер түсірілген нүктелер иіндерге пропорционал жол жүреді: h₁/h₂ = l₁/l₂, сондықтан F₁h₁ = F₂h₂. «Рычагты бұру» немесе «Жүкті көтеру» батырмасын басып, «Өлшеулер» қойындысында жұмыстарды салыстыр.

Механизмнің ПӘК-і. Нақты механизмде жүкпен бірге жылжымалы блоктың өзін де көтеріп, үйкелісті жеңу керек. Сондықтан пайдалы жұмыс Aп = P·h әрқашан жұмсалған жұмыстан Aж = F·s кіші. η = Aп/Aж·100 % қатынасын пайдалы әрекет коэффициенті (ПӘК) деп атайды. Жылжымалы блоктың массасын беріп, F күшінің өсіп, ПӘК-тің кемитінін көр. Ауыр блок әсіресе жеңіл жүкте тиімсіз.

Не істеп көруге болады. 1) Бір жүкті сегіз жүкке қарсы теңгер — ол үшін жүктерді қай жерге ілу керек? 2) Динамометрді 8-бөлікке қойып, 60°-қа еңкейт: иін екі есе қысқарады, ал күш екі есе артады. 3) Қозғалмайтын блокта арқанды тарту бұрышын өзгерт: динамометрдің көрсетуі өзгермейді. 4) 40 кг жүкті полиспастпен көтер — шамамен 100 Н күш жеткілікті, бірақ арқанды 4 есе ұзақ тартуға тура келеді. 5) «Өзіңді тексер» қойындысында алдымен жауапты есепте, содан кейін оны тәжірибемен тексер.