Кулон заңы

Бір түзде жатқан екі зарядталған шарик. Зарядтардың шамасы мен таңбасын өзгерт, оларды жақындат немесе алыстат — күштің қалай өзгеретінін көр: жақындағанда өседі, таңба ауысқанда бағытын өзгертеді. «Зарядтарды босату» батырмасын бас — шариктердің осы күштің әсерінен қалай үдейтінін көресің.

30 секундта түсіну

Заряд екі түрлі болады

Қызыл шарик — оң заряд «+», көк шарик — теріс заряд «−». Аттас зарядтар тебіледі, әраттас зарядтар тартылады. Мұны көрсеткілерден көруге болады: таңбаны ауыстыр — олар бұрылып кетеді.

Күш зарядтар мен арақашықтыққа тәуелді

F = k·|q₁|·|q₂|/r². Заряд екі есе көп болса — күш екі есе артады. Арақашықтық екі есе артса — күш 4 есе, үш есе артса — 9 есе кемиді. Жақын жерде күш өте үлкен, алыста дерлік жоғалады.

Күштер әрқашан жұптасып жүреді

Бірінші заряд екіншісіне екіншісі біріншісіне әсер ететін күшпен дәл сондай күшпен, тек қарама-қарсы бағытта әсер етеді — бұл Ньютонның үшінші заңы. Бір заряд екіншісінен 40 есе үлкен болса да, көрсеткілердің ұзындығы бірдей.

Өзің байқап көр

«r ×2» батырмасын бас: арақашықтық екі есе артады, ал күш 4 есе кемиді. Сахна астындағы «F · r²» блогымен салыстыр — көбейтінді өзгерген жоқ.
«q₁ ×2» батырмасын бас: күш екі есе артты. Енді q₂-ні де жүгірткімен екі есе арттыр — күш 4 есе өсті.
«Үлкен және кіші» сахнасын таңда (20 және 0,5 нКл). Қай шариктің көрсеткісі ұзын? Екеуінікі бірдей — Ньютонның үшінші заңы.
Тартылу және тебілу үшін «Зарядтарды босату» батырмасын бас. Жақындағанда күш артып, шариктер барған сайын тез үдейді; алыстағанда күш әлсіреп, жылдамдық дерлік өспей қояды.

Күнделікті өмірде

Тарақ пен қағаз кесінділері: шашқа үйкелген тарақ бірнеше нанокулон заряд жинап, қағаз кесінділерін тартады. Бұл — сол Кулон заңы: қағазда тарақ жақ бетінде қарама-қарсы таңбалы заряд пайда болады.
Атом: электронды ядроның жанында Кулон күші ұстап тұрады. Сутек атомында (r ≈ 5,3·10⁻¹¹ м) ол небәрі ≈ 8·10⁻⁸ Н, бірақ массасы 9,1·10⁻³¹ кг электрон үшін бұл шамамен 10²³ м/с² үдеу.
Зауыттардағы электрсүзгілер мен лазерлік принтерлер: зарядталған шаң немесе тонер бөлшектері қарама-қарсы зарядталған пластинаға немесе барабанға тартылады.

Графиктер: күш арақашықтыққа және зарядқа қалай тәуелді

Сол жақта — F(r), 1/r² гиперболасы. Ромбылар «r екі есе кіші немесе екі есе үлкен болса не болады» дегенді көрсетеді: күш ×4 және ÷4. Оң жақта — F(q₁): түзу, өйткені күш зарядқа тура пропорционал. Төменде — «Зарядтарды босатудан» кейінгі қозғалыс кезіндегі энергия.

Күштің арақашықтыққа тәуелділігі F(r): кері квадрат

Күштің зарядқа тәуелділігі F(q₁): тура пропорционалдық

Қозғалыс кезіндегі энергия: потенциалдық кинетикалыққа айналады, толық энергия өзгермейді

«Зарядтарды босату» батырмасын бас — мұнда энергия графигі пайда болады

Дайын сахналар

q₁ бірінші заряд 5,0 нКл

+ −

q₂ екінші заряд 5,0 нКл

+ −

+ + / − − — таңбалары бірдей — тебілу
+ − — таңбалары әртүрлі — тартылу

r центрлер арасындағы қашықтық 0,40 м

Бір басумен байқап көр

m әр шариктің массасы 0,20 г

Көрсету жылдамдығы

Көрсету

өріс күш сызықтары мен жүгіретін нүктелер

жарқыл — өріс потенциалы

r арақашықтық сызғышы

Модель: вакуумдағы екі нүктелік заряд, k = 9·10⁹ Н·м²/Кл² (мектептегі мәні). «Зарядтарды босату» режимінде массасы бірдей m шариктер жылдамдықсыз басталады; ауырлық күші де, ауаның кедергісі де жоқ, шариктер r ≈ 0,08–0,12 м кезінде түйіседі. Қозғалыс қадаммен емес, нақты формуламен есептеледі.

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Кулон заңы

$$F = k\,\frac{|q_1|\,|q_2|}{r^2}$$

Вакуумдағы екі нүктелік зарядтың бір-біріне әсер ететін күшінің модулі

▶ Толық түсіндірме

Бір нүктелік заряд екіншісіне әсер ететін күш |q₁|·|q₂| зарядтар модульдерінің көбейтіндісіне тура пропорционал және олардың арасындағы r қашықтығының квадратына кері пропорционал. Таңбалар формулаға кірмейді — олар тек бағытты анықтайды: таңбалары бірдей — тебілу, әртүрлі — тартылу (сахнада F₁ және F₂ көрсеткілері не бір-бірінен алыстайды, не бір-біріне қарай бағытталады). Екі зарядқа әсер ететін күштер модулі бойынша тең, бағыты қарама-қарсы — бұл Ньютонның үшінші заңы. Кері квадрат — формуланың басты бөлігі: қашықтық екі есе азайса — күш 4 есе, үш есе азайса — 9 есе артады. Мысал: q₁ = q₂ = 5 нКл = 5·10⁻⁹ Кл, r = 0,4 м → F = 9·10⁹ · (5·10⁻⁹)² / 0,4² ≈ 1,4·10⁻⁶ Н. Заң нүктелік зарядтар (немесе өлшемі r-ден әлдеқайда кіші шариктер) үшін вакуумде орындалады.

Кулон тұрақтысы

$$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9\cdot10^{9}$$

Вакуумге арналған Кулон заңындағы коэффициент: k ≈ 9·10⁹ Н·м²/Кл², ε₀ ≈ 8,85·10⁻¹² Ф/м

▶ Толық түсіндірме

k тұрақтысы СИ жүйесінде зарядтарды, қашықтықты және күшті байланыстырады: k = 1/(4πε₀) ≈ 9·10⁹ Н·м²/Кл² (нақтырақ 8,99·10⁹; мектеп есептерінде 9·10⁹ алынады, симулятор да солай есептейді). Ол гравитациялық тұрақты G ≈ 6,67·10⁻¹¹ Н·м²/кг²-тан шамамен 20 ретке үлкен, сондықтан электр күштері гравитациялық күштерден дерлік әрқашан күшті: атом деңгейінде гравитацияны ескермеуге болады, ал планета деңгейінде зарядтар бір-бірін бейтараптайды да, тартылыс жеңеді. Диэлектрлік өтімділігі ε ортада күш ε есе азаяды: F = k·|q₁q₂| / (ε·r²). Су үшін ε ≈ 81, сондықтан суда зарядтар вакуумге қарағанда шамамен 80 есе әлсіз әрекеттеседі — тұздың суда иондарға ыдырайтыны сондықтан.

Электр өрісі арқылы әрекеттесу

$$E = k\,\frac{|Q|}{r^2},\qquad F = |q|\,E$$

Бір заряд электр өрісін жасайды, екіншісі сол өрісте күш сезінеді: «алыстан әсер» өріспен ауыстырылады

▶ Толық түсіндірме

Кулон заңын өріс арқылы жазу ыңғайлы. r қашықтықтағы Q заряды кернеулігі E = k·|Q|/r² (өлшем бірлігі — Н/Кл) электр өрісін жасайды, ал сол өрістегі q зарядына F = |q|·E күші әсер етеді. E-ні қойсақ, бастапқы Кулон заңы шығады. Өріс зарядтардың бір-бірін қалай «біліп» тұратынын түсіндіреді: әрекеттесуді өріс жарық жылдамдығымен жеткізеді, лезде емес. Сахнадағы күш сызықтары — осы өрістің суреті: сызықтар қалың болған сайын өріс күшті. r екі есе азайса, екінші заряд тұрған нүктедегі өріс 4 есе артады, сонымен бірге F = qE күші де артады. Мысал: Q = 5 нКл, r = 0,4 м → E = 9·10⁹ · 5·10⁻⁹ / 0,4² ≈ 280 Н/Кл; сондай q = 5 нКл зарядқа F = 280 · 5·10⁻⁹ ≈ 1,4·10⁻⁶ Н күш әсер етеді — өлшемдер панеліндегі сол сан.

Бүкіләлемдік тартылыс заңымен салыстыру

$$F_g = G\frac{m_1m_2}{r^2},\qquad G \approx 6.67\cdot10^{-11}$$

Екі заң да кері квадраттық, бірақ электр күші бірнеше ретке үлкен, ал гравитация тек тартады

▶ Толық түсіндірме

Кулон заңы мен бүкіләлемдік тартылыс заңының құрылымы бірдей: алымында «көздердің» көбейтіндісі, бөлімінде қашықтықтың квадраты. Айырмашылық тұрақтылар мен таңбаларда: k ≈ 9·10⁹ және G ≈ 6,67·10⁻¹¹ (G үшін масса кг-мен, Н·м²/кг²), ал электр зарядтарының екі түрі бар және олар тебіле алады, ал масса тек тартады. Мысал: әрқайсысы 1 г, заряды 1 мкКл екі шарик 1 см қашықтықта F = 9·10⁹ · (10⁻⁶)² / (10⁻²)² = 90 Н күшпен әрекеттеседі. Әр шариктің салмағы небәрі 0,0098 Н — электр күші шамамен 9000 есе үлкен. Ал олардың гравитациялық тартылысы G·m²/r² ≈ 6,7·10⁻¹³ Н кулон күшінен шамамен 10¹⁴ есе кіші. Екі протон үшін бұл қатынас ≈ 10³⁶.

Екі зарядтың потенциалдық энергиясы

$$E_{\text{п}} = k\,\frac{q_1 q_2}{r}$$

Нүктелік зарядтар жұбының әрекеттесу энергиясы: тебілгенде оң, тартылғанда теріс

▶ Толық түсіндірме

Екі нүктелік зарядтың әрекеттесу энергиясы Eп = k·q₁q₂/r, мұнда зарядтар таңбасымен алынады. Тебілгенде (q₁q₂ > 0) энергия оң және жақындаған сайын артады: аттас зарядтарды жақындату үшін жұмыс істеу керек. Тартылғанда (q₁q₂ < 0) энергия теріс: зарядтар жақындаған сайын ол кемиді. Зарядтарды босатсақ, потенциалдық энергия кинетикалыққа айналады: Eп + Eк = const. «Зарядтарды босату» режимінде де солай: алыстағанда Eп нөлге дейін кемиді, бүкіл энергия кинетикалық болады, ал әр шариктің жылдамдығы v = √(k|q₁q₂| / (m·r₀)) мәніне ұмтылады. Мысал: q₁ = q₂ = 5 нКл, r = 0,4 м → Eп = 9·10⁹ · 25·10⁻¹⁸ / 0,4 ≈ 5,6·10⁻⁷ Дж.

Мұнда не болып жатыр. Бір түзде екі кішкентай зарядталған шарик жатыр. Қызыл шарик — оң заряд «+», көк шарик — теріс заряд «−». Әр шарик екіншісіне күшпен әсер етеді — бұл Кулон күші. Таңбалары бірдей (+ + немесе − −) болса, шариктер тебіледі; әртүрлі болса — тартылады. Сахнада күшті F₁ және F₂ көрсеткілері бейнелейді: тартылғанда жасыл, тебілгенде қызғылт сары. Түрлі-түсті сызықтар — зарядтардың электр өрісі: олар «+» зарядтан шығып, «−» зарядқа кіреді, ал бойымен жүгіретін нүктелер өріс бағытын көрсетеді.

Кулон заңы: F = k·|q₁|·|q₂| / r². Күш зарядтардың көбейтіндісіне тура пропорционал және олардың арасындағы қашықтықтың квадратына кері пропорционал. Заряд екі есе көп болса — күш екі есе артады. Қашықтық екі есе артса — күш 4 есе, үш есе артса — 9 есе кемиді. Мұны тексеру оңай: сахна астындағы «F · r²» блогы зарядтар өзгермесе, кез келген қашықтықта көбейтіндінің k·|q₁|·|q₂| -ге тең қалатынын көрсетеді. k ≈ 9·10⁹ Н·м²/Кл² тұрақтысы орасан зор, ал мұндағы зарядтар өте кішкентай — нанокулондар (1 нКл = 10⁻⁹ Кл, бұл шамамен 6 миллиард электрон), сондықтан күш микроньютондармен өлшенеді. Салыстыру үшін: 1 м қашықтықта тұрған екі 1 Кл заряд 9·10⁹ Н күшпен тебілер еді — бұл шамамен 900 мың тонна жүктің салмағы.

Ньютонның үшінші заңы. Бірінші заряд екіншісіне екіншісі біріншісіне әсер ететін күшпен дәл сондай күшпен, тек қарама-қарсы бағытта әсер етеді. Сондықтан F₁ және F₂ көрсеткілерінің ұзындығы әрқашан бірдей — бір заряд екіншісінен 40 есе үлкен болса да («Үлкен және кіші» сахнасы). Үлкен заряд «күштірек» емес: күш q₁·q₂ көбейтіндісіне тәуелді, ал ол жұп үшін ортақ.

«Зарядтарды босату» режимі. Массасы бірдей m шариктер жылдамдықсыз басталады. Тартылғанда жақындаған сайын күш артады, сондықтан шариктер барған сайын тез үдеп, соқтығысады. Тебілгенде күш қашықтықпен кемиді, ал жылдамдық шекті мәнге ұмтылады. Қозғалыс қадаммен емес, энергияның сақталу заңынан шығатын нақты формулалармен есептеледі. Жұптың потенциалдық энергиясы Eп = k·q₁q₂/r кинетикалық энергияға айналады, ал олардың қосындысы тұрақты қалады — мұны энергия графигінен көруге болады.

Қалай пайдалану керек. Кез келген шарикті тышқанмен немесе саусақпен сүйре, q₁, q₂, r жүгірткілерін жылжыт. «r ×2», «r ÷2», «q₁ ×2» және «q₂ таңбасы» батырмалары тәжірибені бір басумен жасап, нәтижені бірден түсіндіреді. «Өлшемдер» қойындысында күштер, өріс, «салмақ-баламасы» және қозғалыс болжамы бар. Өзіңді тексер: q₁ = q₂ = 5 нКл және r = 0,40 м болғанда күш шамамен 1,4·10⁻⁶ Н, ал r = 0,20 м болғанда — 5,6·10⁻⁶ Н.