Біртекті магнит өрісіндегі зарядталған бөлшек

Магнит өрісі зарядталған бөлшекті жылдамдатпайды — тек бұрады. Лоренц күші F = |q|vB әрқашан жылдамдыққа перпендикуляр, сондықтан бөлшек r = mv/(|q|B) радиусты шеңбермен қозғалады, ал бір айналым уақыты T = 2πm/(|q|B) жылдамдыққа тәуелсіз.
v₀ көрсеткісін сүйре, заряд пен массаны және өрісті өзгерт — шеңбердің қалай қайта салынатынын көр. Үш тәжірибе: шеңберлі орбита, өріс жолағына кіру және масс-спектрометр.

Құбылыстың мәні 30 секундта

Магнит тек қозғалып бара жатқан зарядты «сезеді»

Тыныш тұрған зарядты магнит өрісі байқамайды. Заряд қозғала бастағанда оған Лоренц күші әсер етеді: F = |q|·v·B (v ⟂ B болғанда). Заряд, жылдамдық және өріс неғұрлым үлкен болса, күш соғұрлым күшті.

Күш әрқашан жылдамдыққа көлденең

Ол алға итермейді де, тежемейді де — тек бұрады. Сондықтан жылдамдық пен кинетикалық энергия өзгермейді, ал жол шеңберге қисаяды. Бұл күштің жұмысы нөлге тең.

Жылдамырақ және ауырырақ — кеңірек, өріс күштірек — тарырақ

Радиус r = mv/(|q|B). Ал бір айналым уақыты T = 2πm/(|q|B) жылдамдыққа тәуелсіз: жылдам бөлшек үлкен шеңбермен, баяу бөлшек кіші шеңбермен жүгіреді, бірақ бір уақыт ішінде.

Не істеп көру керек

«v ×2» батырмасын бас та, төмендегі графиктерге қара: радиус екі есе өсті, ал T(v) графигіндегі нүкте сол көлденең сызықта қалды.
Заряд таңбасын немесе өріс бағытын қозғалыс кезінде ауыстыр: бөлшек кері бұрылады, ал шеңбердің центрі v көрсеткісінің екінші жағына өтеді.
«Өріске кіру» тәжірибесін таңда да, B-ны арттыр: алдымен бөлшек ауытқып шығады, ал радиус жолақтың енінен кішірейгенде өріс оны кері бұрып жібереді.
«Масс-спектрометр» тәжірибесін таңда: массалары әртүрлі үш бөлшек пластинаға әр жерге түсті. Қайсысы ең алыс түсті және неге?

Графиктер: не өзгереді, не өзгермейді

Жоғарғы сол жақта — бөлшектің координаталары: кезеңнің төрттен біріне ығысқан екі толқын. Жоғарғы оң жақта — энергия: магнит өрісінде ол көлденең (үзік сызық оның электр өрісінде қалай өсетінін көрсетеді). Төменде — басты нәтиже: r радиусы жылдамдықпен бірге өседі, ал T кезеңі өспейді.

x(t) және y(t) координаталары: кезеңнің ¼-не ығысқан екі толқын

Eк(t) энергиясы: магнит өрісі оны өзгертпейді

r(v) радиусы: жылдамдықпен бірге өседі

T(v) кезеңі: жылдамдыққа тәуелсіз

Тәжірибе

|q| заряд модулі 1,0 Кл

m масса 1,0 кг

|B| өріс индукциясы 1,0 Тл

v жылдамдық 3,00 м/с

α кіру бұрышы 0°

d өріс ені 3,5 м

Егер… болса, не болады

Баяулату / көрсету қарқыны

Солға сүйре — бәрі баяулайды (физика өзгермейді). Екі рет бас — 1× қайтады

1×

0,05×1×4×

Көрсету

жылдамдық көрсеткісі v

Лоренц күшінің көрсеткісі F

радиус r

бөлшектің ізі

метрлік тор

Сынақ

Сурет сахнаның өлшеміне бейімделеді, ал панельдегі сандар дәл — олар формулалар бойынша есептеледі. Тәжірибедегі сандар оқу үшін алынған: нақты электронның заряды 1,6·10⁻¹⁹ Кл, ал массасы 9,1·10⁻³¹ кг.

Қысқаша: өріс бөлшекті бұрады, бірақ оның жылдамдығы мен энергиясын өзгертпейді. Мысал: m = 1 кг, |q| = 1 Кл, B = 1 Тл, v = 3 м/с — радиус r = 3 м, кезең T = 2π ≈ 6,28 с, күш F = 3 Н. Осы сандарды қойып, таблодағы мәндермен салыстыр. «v ×2» батырмасымен жылдамдықты екі есе арттыр: радиус 6 м болады, ал кезең 6,28 с күйінде қалады.

Сондай-ақ қараңыз

Электр өрісіндегі зарядОнда күш өріс бойымен әсер етеді де, бөлшек жылдамданады. Магнит өрісімен салыстыр Лоренц күшіКүш қайда бағытталған және неге тәуелді Шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалысСол шеңбер, бірақ центрге тартқыш күшті өріс емес, жіп жасайды

НЕГІЗГІ ФОРМУЛАЛАР

Лоренц күші

$$\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B},\qquad F = qvB\sin\alpha$$

Магнит өрісінің қозғалыстағы зарядқа әсер ететін күші; v ⟂ B болғанда оның модулі F = |q|vB

▶ Толық түсіндірме

Лоренц күші — векторлық көбейтінді: F = q·v×B. Оның модулі F = |q|·v·B·sin α, мұндағы α — v мен B арасындағы бұрыш. α = 90° болғанда (бөлшек өрісті көлденең кесіп ұшқанда, симулятордағыдай) күш ең үлкен және |q|vB-ға тең; α = 0° болғанда (өріс сызықтары бойымен) ол нөлге тең — өріс мұндай бөлшекті «байқамайды», ол түзу ұшады. Бағыты: F ⊥ v және бір мезгілде F ⊥ B. Оң заряд үшін оны сол қол ережесімен табады: B сызықтары алақанға кіреді, төрт саусақ жылдамдық бойымен бағытталады, бүгілген бас бармақ күшті көрсетеді. Теріс зарядта күш қарама-қарсы жаққа бағытталады — симуляторда «+ / −» ауыстырғышы тек осыны өзгертеді. F ⊥ v болғандықтан, күш бөлшекті жылдамдата да, тежей де алмайды — тек бұра алады.

Шеңбер радиусы (Лармор радиусы)

$$r = \frac{mv}{|q|B}$$

v ⊥ B болғанда бөлшек қозғалатын шеңбердің радиусы — mv²/r = |q|vB теңдігінен

▶ Толық түсіндірме

Лоренц күші центрге тартқыш күштің рөлін атқарады: m·v²/r = |q|·v·B. v-ны қысқартсақ, r = mv/(|q|B) шығады. Формуланы оқу оңай: бөлшек жылдам әрі ауыр болса, радиус үлкен (оны бұру қиын: v мен m алымда), ал өріс күшті, заряд үлкен болса, радиус кіші (B мен |q| бөлімде). «v ×2», «m ×2», «B ×2», «q ×2» батырмаларымен тексер. Мысал: m = 1 кг, |q| = 1 Кл, B = 1 Тл, v = 3 м/с болғанда r = 3 м — әдепкіде тұрған шеңбер дәл осы. Егер v → 0 болса, r → 0: бөлшек тұрып қалады, өйткені тыныш тұрған зарядқа Лоренц күші әсер етпейді.

Кезең, жиілік және циклотрондық жиілік

$$T = \frac{2\pi m}{|q|B},\qquad f = \frac{1}{T},\qquad \omega = \frac{|q|B}{m}$$

Айналу кезеңі, жиілік және бұрыштық жиілік — ешқайсысы v жылдамдығына тәуелсіз

▶ Толық түсіндірме

Кезең — шеңбер ұзындығының жылдамдыққа қатынасы: T = 2πr/v. r = mv/(|q|B) қойсақ, алымдағы және бөлімдегі v қысқарып, T = 2πm/(|q|B) қалады. Бұл формуланың басты «ғажайыбы»: жылдам бөлшек үлкен шеңбер, баяу бөлшек кіші шеңбер сызады, бірақ бір айналым бірдей уақытқа созылады. Тексер: «v ×2» батырмасын бас — радиус екі есе өседі, ал T(v) графигіндегі нүкте көлденең сызықта қалады. f = 1/T жиілігі — секундына айналым саны, ал ω = 2π/T = |q|B/m бұрыштық (циклотрондық) жиілігі жылдамдық секундына қандай бұрышқа бұрылатынын көрсетеді. Циклотрон осыға негізделген: бөлшек сақинаны бірдей уақытта айналады, сондықтан жылдамдық өссе де, үдететін электр өрісін f = |q|B/(2πm) тұрақты жиілікпен қосуға болады. Мысал: m = 1 кг, |q| = 1 Кл, B = 1 Тл болғанда кез келген жылдамдықта T = 2π ≈ 6,28 с.

Магнит күшінің жұмысы және кинетикалық энергия

$$A = 0,\qquad E_k = \frac{mv^2}{2} = \mathrm{const}$$

Лоренц күші орын ауыстыруға перпендикуляр, сондықтан оның жұмысы нөлге тең, ал бөлшектің кинетикалық энергиясы тұрақты

▶ Толық түсіндірме

Күштің жұмысы — A = F·s·cos β, мұндағы β — күш пен орын ауыстыру арасындағы бұрыш. Лоренц күшінде жолдың әр нүктесінде β = 90°, cos 90° = 0, сондықтан A = 0. Кинетикалық энергия туралы теорема бойынша ΔEк = A = 0 — демек, жылдамдық модулі мен Eк = mv²/2 өзгермейді. Eк(t) графигі көлденең сызық болады, ал қызғылт сары үзік сызық салыстыру үшін модулі сондай күш жылдамдық бойымен әсер етсе, энергияның қалай өсетінін көрсетеді (электр өрісі осылай әрекет етеді: F = qE зарядты жылдамдатады). Магнит өрісі бөлшекті тек бұра алады. Импульс вектор ретінде тұрақты емес: оның модулі mv сол күйінде, ал бағыты үздіксіз өзгереді. ҰБТ-ға сұрақ: «магнит өрісі зарядталған бөлшектің кинетикалық энергиясын өзгерте ала ма?» — жоқ, өзгерте алмайды.

Өріс жолағына кіру: ауытқу бұрышы

$$\sin\varphi = \frac{d}{r},\qquad r = \frac{mv}{|q|B}$$

Бөлшек ені d өріс шетіне перпендикуляр кіріп, φ бұрышқа ауытқып шығады; r ≤ d болса, өріс оны кері бұрады

▶ Толық түсіндірме

Өрістен тыс жерде бөлшек түзу ұшады, ішінде — r радиусты доғамен қозғалады. Егер ені d жолақтың шетіне перпендикуляр кірсе, доғаның центрі кіру шеті сызығында жатады, ал гипотенузасы r, катеті d тік бұрышты үшбұрыштан sin φ = d/r шығады. Өріс күшті (r кіші) болған сайын бұрыш үлкен. r ≤ d болғанда бөлшек алыс шетке жете алмайды: жарты шеңбер жасап, сол шеттен кіру нүктесінен 2r қашықтықта қайтып шығады. Мысал: v = 5 м/с, m = |q| = B = 1, d = 3,5 м болғанда r = 5 м, sin φ = 0,7, φ ≈ 44,4°. Ені шектеулі магнит өрісі туралы есептер ҰБТ-да жиі кездеседі.

Масс-спектрометр

$$x = 2r = \frac{2mv}{|q|B},\qquad m = \frac{|q|Bx}{2v}$$

Бөлшек жарты шеңбер сызып, пластинаға саңылаудан x = 2r қашықтықта түседі — массаны осы қашықтықтан анықтайды

▶ Толық түсіндірме

Жылдамдығы v бірдей бөлшектер пластинадағы саңылау арқылы өріске перпендикуляр кіреді. Әрқайсысы диаметрі 2r жарты шеңбер сызып, пластинаға саңылаудан x = 2r = 2mv/(|q|B) қашықтықта түседі. q, v және B бірдей болғанда қашықтық массаға пропорционал: екі есе ауыр бөлшек екі есе алыс түседі. x-ты өлшеп, массаны m = |q|Bx/(2v) формуласымен табады. Изотоптарды (мысалы, ¹²C және ¹³C) осылай ажыратады, химияда, медицинада және криминалистикада заттың құрамын анықтайды. Симуляторда v = 3 м/с және қалған параметрлер 1-ге тең болғанда m, 1,5m және 2m массалы бөлшектер 6, 9 және 12 м қашықтықта түседі.

Мұнда не болып жатыр. Зарядталған бөлшек магнит өрісінде ұшады. Заряд тыныш тұрғанда өріс оны «байқамайды»; заряд қозғала бастаған бойда оған Лоренц күші F = q·v×B әсер етеді. Бұл күш жылдамдыққа қатаң перпендикуляр. Мұндай күш алға итермейді де, тежемейді де — тек жылдамдық векторын бұрады, дәл бас үстінде айналдырған тасты жіп бұратыны сияқты. Сондықтан траектория — шеңбер, ал жылдамдық модулі өзгеріссіз қалады.

Радиус және кезең. Лоренц күші центрге тартқыш күштің рөлін атқарады: mv²/r = |q|vB, одан r = mv/(|q|B) — Лармор (циклотрон) радиусы. Бөлшек неғұрлым жылдам әрі ауыр болса, шеңбер соғұрлым кең; өріс күшті, заряд үлкен болған сайын шеңбер тарырақ. Басты тосын жайт — T = 2πr/v = 2πm/(|q|B) кезеңі жылдамдыққа тәуелсіз: жылдам бөлшек үлкен шеңбермен, баяу бөлшек кіші шеңбермен жүгіреді, бірақ бір айналымға кететін уақыт бірдей. Циклотрон осыған негізделген: бөлшек сақинаны бірдей уақытта айналады, сондықтан үдететін электр өрісін тұрақты жиілікпен қосуға болады.

Магнит өрісі жұмыс істемейді. Лоренц күші траекторияның әр нүктесінде орын ауыстыруға перпендикуляр, сондықтан A = 0, ал кинетикалық энергия E_к = mv²/2 тұрақты. Бұл электр өрісінен басты айырмашылық: онда F = qE күші өріс бойымен бағытталып, бөлшекті жылдамдатады да, E_к өседі. E_к(t) графигіндегі үзік сызық сондай шамадағы күш жылдамдық бойымен әсер етсе, энергияның қалай өсетінін көрсетеді.

Бөлшек қай жаққа бұрылады. Айналу бағытын заряд таңбасы мен өріс бағыты анықтайды. Өріс бізге қарай (⊙) және заряд оң болса, бөлшек сағат тілімен айналады (сол қол ережесі: B сызықтары алақанға кіреді, төрт саусақ жылдамдық бойымен, бас бармақ күшті көрсетеді). Теріс заряд немесе бізден ары қарайғы өріс (⊗) айналуды кері бұрады. Таңбаны немесе өрісті қозғалыс кезінде ауыстыр — бөлшек бірден басқа жаққа бұрылады, ал шеңбердің центрі v көрсеткісінің екінші жағына өтеді.

Үш тәжірибе. «Шеңберлі орбита» — өріс барлық жерде, бөлшек шеңбермен жүреді; метрлік тор мен масштаб радиусты экранда-ақ өлшеуге мүмкіндік береді. «Өріске кіру» — өріс тек ені d жолақта бар: сыртында бөлшек түзу ұшады, ішінде доға бойымен жүреді, сосын қайтадан түзу, бірақ φ бұрышпен, мұнда sin φ = d/r. Радиус жолақтың енінен кіші болса, өріс бөлшекті кері бұрып жібереді. «Масс-спектрометр» — заряды мен жылдамдығы бірдей, массасы әртүрлі үш бөлшек пластинаға 2r = 2mv/(|q|B) қашықтықта түседі: ауыр болған сайын алысырақ. Массаны және изотоптарды осылай ажыратады.

Қайда кездеседі. Химия мен криминалистикадағы масс-спектрометрлер, бөлшек үдеткіштері мен циклотрондар, көпіршікті камералар, электрон-сәулелік түтіктер, күн желінің зарядталған бөлшектерін ауытқытып, полярлық шұғыланы тудыратын Жердің магнит өрісі. Тәжірибедегі сандар оқу үшін алынған: нақты электронның заряды 1,6·10⁻¹⁹ Кл, массасы 9,1·10⁻³¹ кг.

Симуляторды қалай пайдалану керек. «Бастау» батырмасын бас та, бөлшектен тінтуірмен сүйреп v₀ жылдамдығын орнат. Жүгірткілермен |q|, m, |B|, v мәндерін өзгерт; «v ×2», «m ×2», «B ×2», «q ×2» батырмалары не өзгеретінін бірден көрсетеді (үзік шеңбер — бұрынғы орбита, ал оң жақтағы таблода r, F, Eк). «Өлшеулерде» барлық сандар формулалар бойынша есептеліп, бір-бірімен салыстырылады. «Сынақты» қосып, берілген радиусқа, бұрышқа немесе пластинадағы белгіге параметрлерді таңда.